7.1.2复数的几何意义-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
高中数学 必修2(人教版)7.1.2复数的几何意义
题型二 复数的模的计算——自主完成 例3 (1)已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则| z |＝________.
解析：(方法一)因为复数z＝3＋4i，所以 z ＝3－4i，故| z |＝ 32＋－42＝5.
(方法二)：| z |＝|z|＝ 32＋42＝5. 答案：5
(2)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi| ＝( )
方法归纳
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点 在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复 数对应的点确定后，从原引出的指向该点的有向线段，即为复 数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复 平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之 间的转化．
跟踪训练1 (1)已知a为实数，若复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i 为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数 ∴aa2－－43≠a－0 4＝0 ∴aa＝ ≠44或a＝－1 ∴a＝－1 ∴z＝a－ai＝－1＋i在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位 于第二象限． 答案：B
4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：由z＝1＋2i得|z|＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
题型一 复数的几何意义——微点探究
微点1 复数与复平面内点的位置关系
例1
(1)当
2 3
<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对
应的点所在象限为( )
7.1.2 复数的几何意义
【数学讲义】7.1复数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册讲义
高中数学必修第二册第七章复数（人教A 版2019）7.1复数的概念【基础梳理】 要点一、复数的概念我们把形如a bi +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C={}R b a bi a ∈+,|叫做复数集，其中.1i 2-= 复数的分类对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即CR ≠⊂.复数相等的充要条件在复数集C={}R b a |bi a ∈+，中任取两个数a bi +，c di +【a ，b ，c ，d ∈R 】，规定：a bi +与c di +相等当且仅当a=c 且b=d ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义 复数z=a+bi()b a Z ,复平面内的点一一对应−−−→←.这是复数的一种几何意义.复数的几何意义---与向量对应 复数z=a+bi→−−−→←OZ平面向量一一对应,这是复数的另一种几何意义.复数的模和共轭复数 1.向量→OZ模叫做复数z=a bi +,的模或绝对值，记作z或bia +.即z=bia +=22b a +，其中a,b ∈R ，z表示复平面内的点Z ()b a ,到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=a bi+是一个实数a，它的模就等于a()的绝对值a.共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用-z表示，即如果z=a+bi,那么-z=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.【课堂探究】例1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A. 2﹣2iB. 2+iC. ﹣+D. + i【答案】A【解析】解：的虚部为2，以=﹣2+ i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．例2已知z∈C，满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1，故选：C．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入，化简即可得出．【课后练习】1.已知复数是纯虚数，则实数（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】 D【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，故答案为：D【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
7-1-2复数的几何意义(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做
复数的几何意义 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课前回顾
两个复数相等的条件
+ i= + i
⟺
= ， =
复数的分类
实数(b 0)
复数
z= + i 虚数(b 0)纯虚数(a 0，b 0)
非纯虚数(a 0，b 0)
教学目标
1、理解复数的几何意义；
2、掌握复平面的实轴、虚轴的概念;
3、理解复数的模，共轭复数的概念，并会用与求解相关问题.
自学指导
阅读教科书第70-71页内容，完成《优化设计》自主预习部分.
思考:
实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 复
数有什么几何意义呢？
一一对应
z＝a＋bi(a,b∈R)
有序实数对(a,b)
z＝a＋bi(a,b∈R)
一一对应
一一对应
有序实数对(a,b)
平面直角坐标系中的点
平面直角坐标系中的点
用复平面内的点表示复数
如图, 点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z＝a＋bi可用点Z(a,b)表示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴
叫做实轴，y轴叫做虚轴.
y
b
O
Z:a+bi
a
x
例如：
0在复平面内表示的原点(0, 0) ，
一一对应
平面向量 OZ
y
b
Z:a+bi
图中向量OZ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，
记作|Z|或|a+bi|. 即
| Z || a bi | a b (a,b R).
2
2
O
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
1. 复数的加法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2=(a＋bi)+(c＋di )=__(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)_i___， 口诀：虚实各相加 说明：复数加法的结果还是一个复数，类似多项式相加
2.复数的加法交换律、结合律
对任意设z1, z2, z2∈C，有
我们规定：复数的减法是加法的逆运算，把满足(c di) (x yi) a bi 的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di的差，记作：(a bi) (c di)
说明：复数减法的结果还是一个复数，类似多项式相减
应用举例
例1 计算 (5－6i)+(－2－i)－ (3+4i).
∵|z+i|+|z-i|=2, ∴点Z到Z1、Z2的距离之和等于2. 又∵|Z1Z2|=2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动, 求|ZZ3|的最小值,
y Z2(0,1)
Z
Ox
∵Z1Z3⊥Z1Z2 ∴ |z+i+1|min=|Z1Z3|=1.
Z3(-1,-数模的最值问题）
1.如果复数z满足 z i z i 2 ,那么 z i 1 的最小值是
.
2.若复数z满足 z 3 i 1,求 z 的最大值和最小值.
y
3
O
x
M
B
1
A
复数加法及 其几何意义
梳理总结
复数加法 运算律
复数减法及 其几何意义
复数减法的模 的几何意义
再见
Z1(a,b)
x
5. 复数的减法几何意义 复数的减法还可以按照向量的减法来进行.
应用举例
复数的几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
[跟踪训练 2]
1、在复平面内,A,B,三点对应的复数分别为1,2＋i,－1＋2i. （1）求向量 ―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形,求D对应的复数．
解析（1）设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： ―O→A ＝(1,0)，―O→B ＝(2,1)，―O→C ＝(－1,2)， 所以―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(1,1)， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝(－2,2)，―B→C ＝―O→C －―O→B ＝(－3,1)， 所以―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－
[跟踪训练 1]
1、实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－6 ＋(x2－2x－15)i 的点 Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线 x－y－3＝0 上．
解析 因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15 也是实数．
x2＋x－6<0，
(1)当实数 x 满足
即－3<x<2 时，点 Z 位于第
自主预习,回答问题
阅读课本70-72页,思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实 数还是虚数？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问 题。
知识清单
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 2复数 z＝a＋bia，b∈R
x2－2x－15<0，
三象限．
(2)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即 3x＋6＝0，
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上．
【人教A版】高中数学必修第二册第七章：7.1.2复数的几何意义 教学设计
【人教A版】高中数学必修第二册第七章7．1.2 复数的几何意义教学设计(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [跟踪训练1] 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线y＝－x上．题型二复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数． [跟踪训练2] (1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是( )A．0 B．1C．2 D．33．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.4．已知复数z＝3＋a i，且|z|<5，则实数a的取值范围是____.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>04．(多选)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则( )A．x＝3 B．y＝4C．x＋y i＝－3＋4i D．|x＋y i|＝55．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z－2＝____.7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是____.8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是____.三、解答题9．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．(1)若m＝1，且|z－|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；(2)当m为何值时，|z－|最小？并求|z－|的最小值．1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．2．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值对，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．7．1.2 复数的几何意义(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.答案(1)－3i (2)四(3) 3 (4)5－6i题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．[跟踪训练1] 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线y ＝－x 上． 解 (1)由题意得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由题意，得m 2－2m －15＝－(m 2＋5m ＋6)，整理，得2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或m ＝－3.所以当m ＝32或m ＝－3时，复数z 对应的点在直线y ＝－x 上.题型二 复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)点B 对应的复数．[解] 由题意得O 为原点，OA →＝(3,2)，OC →＝(－2,4)． (1)∵AO →＝－OA →＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO →表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)， ∴CA →表示的复数为5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋OC →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)， ∴OB →表示的复数为1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．[跟踪训练2] (1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．答案 (1)－6－8i (2)见解析解析 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.(2)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)． 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)． 由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎨⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 题型三 复数的模例3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的模的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＜1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.2．(多选)若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点Z 在虚轴上，则a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 AC解析 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选AC.3．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝____，b ＝____. 答案 2 4解析 因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4.4．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<5，则实数a 的取值范围是____. 答案 －4<a <4解析 |z |＝32＋a 2<5，解得－4<a <4.5．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.一、选择题1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)，复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)，点Z 1与Z 2关于实轴对称．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵23<m <1，∴2<3m <3，∴0<3m －2<1且－13<m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0 D ．a <－1或a >0答案 A解析 依题意有a 2＋22<－22＋12，解得－1<a <1.4．(多选)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则( )A ．x ＝3B ．y ＝4C ．x ＋y i ＝－3＋4iD ．|x ＋y i|＝5答案 BCD解析 由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ， 所以⎩⎨⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选BCD.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z －2＝____.答案 －2－3i解析 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2，3)．所以z 2＝－2＋3i ，z －2＝－2－3i.7．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是____.答案 －12<k <0或1<k <2解析 根据题意，有⎩⎨⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎨⎧－12<k <2，k <0或k >1，所以实数k 的取值范围是－12<k <0或1<k <2.8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是____.答案 5解析 由已知，得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由OC →＝xOA→＋yOB →， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题9．已知复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )．(1)若m ＝1，且|z －|＝|x ＋(x －1)i|，求实数x 的值；(2)当m 为何值时，|z －|最小？并求|z －|的最小值． 解 (1)由m ＝1，得z ＝3＋4i ，z －＝3－4i ， 则由|z －|＝|x ＋(x －1)i|， 得32＋－42＝x 2＋x －12，整理得x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3. (2)|z －|＝1＋2m2＋[－3＋m]2＝5m 2＋10m ＋10＝5m ＋12＋5≥ 5，当且仅当m ＝－1时，|z －|取得最小值，最小值为 5.1．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形的ABCD 的点D 对应的复数．解 解法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即D (3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i.解法二：由已知得向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，其中O 为坐标原点．∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)，即点D 对应的复数为3＋3i. 2．已知x 为实数，复数z ＝x －2＋(x ＋2)i. (1)当x 为何值对，复数z 的模最小？(2)当复数z 的模最小时，复数z 在复平面内对应的点Z 位于函数y ＝－mx ＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．解(1)|z|＝x－22＋x＋22＝2x2＋8≥22，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2 2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以1m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2，当且仅当n2＝2m2,2m＋n＝2时等号成立．所以m＝2－2，n＝22－2.所以1m＋1n的最小值为32＋2，此时m＝2－2，n＝22－2.。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 7.1.2 复数的几何意义
解(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点
在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得m=1或m=所以当m=1或m=-
5
2
5
2
,
时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
探究点二 复数与复平面内向量的对应
(1)由题意得m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.
2 -2-8 < 0,
(2)由题意, 2
+ 3-10 > 0,
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
限.
2.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量
的模等于(
A.√5
)
B.2√5
C.4
D.√13
答案 D
解析 由于四边形 OABC 是平行四边形,故 = ,因此| |=| |
=|3-2i|=√13.
3.(多选题)(2022湖南长沙南雅中学高一期中)已知复数z=1+i(其中i为虚数
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
人教A版(2019)必修第二册 7-1-2复数的几何意义 课件(18张)
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.
【精品】7.1.2复数的几何意义-高中数学必修第二册课件
当b 0时，z z.即任一实数的共轭复数是它本身.
探究点 1 复数与复平面内的点 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z 在复平面内对应
的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有2aa2－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，
位于第三象限，故选 C. 【答案】 C
4．若复数 z1＝2＋bi 与复数 z2＝a－4i 互为共轭复数，则 a＝________，b＝ ________． 解析：因为 z1 与 z2 互为共轭复数，所以 a＝2，b＝4. 答案：2 4
这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
课堂典例
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
课堂典例
思考：
(1)复数的模能否比较大小？模相等的两个复数相等吗？ (2)满足|z|=2(z∈R)的z值有几个？
（2）虚轴上的点除原点外都表示纯虚数；
（3）各象限内的点表示实部和虚部都不为零的虚数.
引入新知
1.复数的几何意义
这是复数的一种几何意义.
课堂典例 概念1.复数的几何意义 y
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的点位于
( C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的
点不可能位于
( B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)z＝－1－2i 对应点 Z(－1，－2)，位于第三象限. (2)复数 z＝(3m－2)＋(m－1)i 在复平面内的对应点 P(3m－2，m－1)， 当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<23时，P 在第三象限，当32<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝23时，P 在 y 轴上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B．
第七章
复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
素养目标·定方向
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第七章 复数
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素养目标
学法指导
1．理解可以用复平面内的点或以原点
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第七章 复数
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2．复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为 (a，b)而不是(a，bi). (2)复数与向量的对应：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与O→Z相等的向量有 无数个.
典例 1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平
面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上.
[分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应
满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范
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第七章 复数
3．对复数模的三点说明
数学（必修·第二册RJA）
(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而
复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小
的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不
能比较大小. (2)数的角度理解：复数 a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个
虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小. (3)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离.|z1－z2|表示复数 z1，
z2 对应的点之间的距离.
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第七章 复数
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关键能力·攻重难
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
题型探究 题型一 复数与复平面内点的关系
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第七章 复数
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[要点解读] 1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵 坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示. (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数. (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原 点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是 实数.
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必备知识·探新知
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点1 复平面
建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 叫 做 __复__平__面___ ， x 轴 叫 做 __实__轴___，y轴叫做__虚__轴___.实轴上的点都表示_实__数____；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数.
围)
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
[解析] 因为 z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数 z 在复平面内对应的点 Z 的坐标为(a2－4,2a－3).
(1)若点 Z 在实轴上，则有 2a－3＝0，解得 a＝23.
(2)若点 Z 在第二象限，则有a22a－－43<>00，，
－2<a<2， 即a>32，
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围) 时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件， 通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值修·第二册RJA）
【对点练习】❶ (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应
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第七章 复数
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知识点4 共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部__相__等___，虚部___互__为__相__反__数__时，这两 个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示方法：复数 z 的共轭复数用－z 表示，即如果 z＝a＋bi，那么－z ＝__a_－__b_i __.
为起点的向量来表示复数及它们之间
的一一对应关系.(直观想象)
1．类比向量的坐标表示理解复数
2．掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等 的几何意义及模的概念.
概念.(直观想象)
2．类比向量的形式特征，感受复
3．掌握用向量的模来表示复数的模的 数的形式特征.
方法并能够解决与模有关的问题.(直观
想象)
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第七章 复数
解得23<a<2．
(3)若点 Z 在抛物线 y2＝4x 上，则有(2a－3)2＝4(a2－4)，整理得 12a
－25＝0，解得 a＝2152.
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第七章 复数
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[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部 就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
实轴
虚轴
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第七章 复数
知识点2 复数的几何意义
Z(a,b)
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点3 复数的模
向量O→Z的模称为复数 z＝a＋bi 的模或绝对值，记作_|_z_|_或__|a__＋__b_i|. 即|z|＝|a＋bi|＝___a_2＋__b_2__，其中 a，b∈R.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一 个实数 a，它的模就等于___|a__|_(a 的绝对值).