易拉罐的设计

a2
)
要使生产易拉罐的材料最少，我们可以建立优化模型：
min
v2
bh1(r
a b) 2b2 (r
a) 2b3
2b (r 2 3
ra
a2)
2r 2b 2brh2 (4b2r b2h2 2b3) 4b3
St{
v
r
2h2
h1 3
(r
2
ra
a2
)
ra
r, a, h1, h2, 0
再利用 lingo 软件（见附录二（2））求得 h1=13.2446,r=31.03326,a=29.45056,h2=108.1197;显然这与我 们所测的数据罐高 123.7（h1+h2=121.3643),罐柱内径 61.29/2， 罐盖内径 58.1/2，上圆台高 13.5 是比较接近的。
模型（3）的建立：
二、问题分析
在易拉罐设计的实际情况中，问题分析
在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内的体积大于饮料
的净含量(我们通常饮料的净含量为 355ml 而它实际的体积大约为
365ml），同时考虑饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐
壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省(我
们用所用材料的体积来衡量）。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 一．问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口 可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来， 这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。 当然，对于单个的易拉罐来说， 这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿 个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
就易拉罐的形状和尺寸的最优设计而言，考虑了易拉罐罐 底为何设计成弧形的拱面，这样设计对易拉罐有何作用，如 何设计易拉罐各部分材料的厚度以及形状，并证明所需要的 材料是最省的，即对产家而言所需的费用是最省的，然而在 此基础上还需考虑到罐内气体对易拉罐各部分的应力以及 易拉罐的承受能力，并用数学的方式进行表达和证明，说明
此模型通过实际数据，将理论分析和实际状况进行比较， 有较强的现实意义。能兼顾安全 实用 方便 美观 经济，理 论引用可信度较高。但在模型中没有考虑接口处的材料，假 如在材料上作出调整，利用强度更高的材料，那么对罐底和 罐壁之间连接角度作出调整，将搭接角度改小。由于时间关
系，对罐底、罐盖和罐壁的厚度等对比没有做深入的研究。 期望能在此方面加以改革，以达到最经济的效果。
a h1
b h2
r
v2 圆柱体材料的体积 v3 上圆台的材料体积 v4
圆台的体积=
圆柱的高*（圆底半径2 3
圆底半径*圆顶半径
圆顶半径2）
v3 (r b)2 (h 2b) r 2h
2r 2b 2brh2 (4b2 b2h2 2b3 )
v4
(h1
2b) 3
[(r
b)2
(r
(
y)
0(d
2b)
(r2
2b)2 d
yd
(
y)
(r2
2b)2 (d 2
2b)
v7 v外 v内
r 2b 2bdr2 4b2r2 2b2d 4b3
v5 2r 2b 2brh3 (4b2r b2h3 2b3) bh1(r a b)
2b2
(r
a)
2b3
2b 3
(r
2
ra
a2
（5）、相同类型易拉罐的容积相同； （6）、易拉罐均能承受内部压力； （7）、我们在测量数据时不考虑温度等其它因素对材料的影 响。
四、模型中符号的说明
（模型 1）、r:罐内半径； h：罐内高； b：罐壁厚度； 2b：罐底和罐盖的厚度。
（模型 2）、r：罐内半径； a:上圆台上部分内径； h2:圆柱体罐内高； h1:上圆台内高； b：罐壁厚度。
ar h1
b d
r2
h3 h4
V5=圆柱体材料的体积 v8+上圆台的材料体积 v4+下圆台材
料的体积 v6+拱形材料的体积 v7
v8 (r b)2 h3 r 2h3
2r 2b 2brh3 (4b2r b2h3 2b3)
v6
h4
3
[(r
b)2
(r
b)(r2
b) (r2
b)]
我们将模型看做上、中、下三个部分，假设易拉罐上部分 为一个圆台，中间部分为一个正圆柱，下面看做为一个圆台 并有一个拱面。罐内半径为 r，上圆台上部分内径为 a，上圆 台高为 h1，圆柱体罐内高位 h3，下圆台高为 h4，罐底内半 径为 r2，罐底拱高为 d，罐壁厚度为 b。设制作易拉罐所用 材料体积为 v5。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部 分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测 量的易拉罐的形状和尺寸
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉 罐形状和尺寸的最优设计。
七、建模体会
对于数学建模，我认为他是为了建立一个与生活密切相 关的模型，而这个模型又应该是基于实际的情况通过数学的 理论得到的。通过数学建模的学习与实践，我们懂得了数学 建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼。用数学语言符 号描述问题的内在联系，然后用适当的数学工具建立相应的 数学模型，进而用数学知识、数学软件等求出模型的解，并 验证模型的合理性。用该数学模型解释现实问题，甚至解决 一些当前生产、生活中的技术难关，并将部分模型应用于实 际生产中，给社会带来巨大的经济效益。数学建模的关键步 骤可以归纳为：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、 模型检验及模型应用等。对于我们来说，如何解读实际问题， 掌握各种信息与数据，抓住其本质，再用所学的数学知识建 立模型是难点。
h4
3
(r 2
rr2
r22 )
h4b(b r r2 )
对于拱形，我们可以把它看做为抛物线， y kx2
(r2, d)
y
(r2, d )
0
x
易求
y
dx2 r2 2
我们以 y 轴为旋转轴对 y 求积分；
v内
d x2d ( y)
0
d
0
r22 yd ( y) r22d
d
2
v外
0(d
2b)x2d
模型（3）、r：罐内半径； a：上圆台上部分内径； h3：圆柱体罐内高； h4：下圆台高； r2：罐底内半径； d：罐底拱高； b：罐壁厚度。
五、模型的建立
模型（1）的建立：
假设易拉罐为正圆柱体，罐内半径为 r，罐内高为 h， 罐 壁厚度为 b，根据假设（1）可知罐底和罐盖的厚度为 2b， 设制作易拉罐所用材料的体积为 v1，易拉罐的容积为 v。
问题三中，对比问题一中所测的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的 厚度是罐壁的 2 倍，因此我们在解决此问题是可以假设罐盖、罐底的 两倍，再利用规划方法所求得的数据与测量数据进行比较，以及观察 市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，做出关 于易拉罐形状和尺寸的最优模型。
三、模型假设
（1）、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖﹑罐底的 厚度是罐壁的两倍； （2）、易拉罐的各接口处的材料忽略不计； （3）、易拉罐各部分所用的材料相同； （4）、单位体积材料的价格一定；
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请 你们完成以下的任务：பைடு நூலகம்
1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测 量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等， 并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明 出处。
2b2
(r
a)
2b3
2b 3
(r
2
ra
a2
)
h4b(b
r
r2
)
r 2b 2bdr2 4b2r2 2b2d 4b3
St{
v
r 2h3
h1
3
(r 2
ra
a2)
h4
3
(r 2
rr2
r22 )
v外
r, a, r2 , h1, h3, h4 , d 0
在生活中我们还要考虑到易拉罐运输、受力、存放等因素 的考虑。根据横梁受力原理：当梁的支座从两端向中间移时， 其载荷会提高。根据此原理，我们在设计易拉罐的罐底时将 圆环向内移动 0.2r，在拱形中在竖向载荷的作用下拱脚有处 水平力的存在，正是由于有这水平力的作用，使拱内产生轴 压力，并大大减少了拱的弯矩。我们在设计易拉罐罐底时设 计了一个拱形。当两个易拉罐上下放置的时候罐底的外径要 比罐顶的内径要略小。我们在设计易拉罐的时候使得 a-r2=6b。 当 r 2=0.8r,a-r2=6b,h1=1.75h4,h1=0.132h3,v=365000,b=0.135, d=10.11 时 。 我 们 用 lingo （ 见 附 录 3 ） 求 得 ； r=31.01062,h3=103.4775,h1=13.65902,h4=7.805157,a=25.6184
r
b h
v1 (r b)2 (h 4b) r 2h
2rbh hb2 4br2 8b2r 4b3
则易拉罐容积为:
v r2h
要使生产易拉罐的材料最少，我们可以建立优化模型：
min v 2rbh hb2 4br 2 8b2r 4b3
{ St= v r2h r 0, h 0 利用 lingo 软件（见附录一）求得：r=30.74452, h=122.9781
显 然 这 与 我 们 所 测 的 易 拉 罐 的 罐 高 123.7 ， 罐 柱 内 半 径 61.29/2 时非常接近的。可知当罐高是罐柱内径的两倍时，在 容积一定时正圆柱体易拉罐所用材料最少，这也和我们在目 前在市场上见到的易拉罐形状基本相同。
模型（2)的建立:
我们将模型看做上、下两个部分，假设易拉罐的上部分为一 个圆台，下部分为圆柱体。罐内半径为 r，上圆台内径为 a，圆 柱体罐内高为 h2，上圆台内高为 h1，罐壁厚度为 b，根据假 gf 设（1）可知罐底和罐盖的厚度为 2b，设制作易拉罐所用 材料的体积为 v2,易拉罐的容积为 v。
在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量测量如下数据如 下表：
罐高
123.7
罐柱内径
61.29
上圆台高
13.5
下圆台高
7.7
罐盖内径
58.17
罐底厚度
0.29
罐盖厚度
0.29
罐底拱高
10.11
圆柱体高
102.5
罐壁厚度
0.135
问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为 衡量最优设计的标准；
9,r2=24.80849。这和我们实际所测的数据比较接近。这样设 计出来的易拉罐在满足材料最少的情况下，又保证了它在运 输、受力、放置时的合理性。
六、模型评价与改进
通过对实物的测量，得到关于易拉罐的数据，这为我们后 边验证模型提供了现实依据。
同时我们的模型简单易懂﹑理解轻松，在对一个问题的解 答上，我们发现了最优模型，即正圆柱体的圆柱高度是圆柱 底面的两倍，但是在现实生活中并不是这样的。于是我们考 虑了圆柱上底的造价不同于其他地方，还考虑盖的厚度问 题，运用 LINGO 变成得出答案发现，理论值与现实测量值 相符。这就是现实生活中为什么易拉罐不是正圆柱体的原 因。当在圆柱体上加了一个圆台后，让图形更加贴近现实图 形，并同时建立了两种模型，找到了这种非线性函数下的最 优解。最后通过对模型的改进，给出了易拉罐的最优设计模 型。
b)(a
b)
(a
b)2 ]
h1 3
(r 2
ra
a2)
bh1(r
a
b)
2b2
(r
a)
2b3
2b 3
(r
2
ra
a2
)
v2
bh1 (r
a
b)
2b2 (r
a)
2b3
2b 3
(r 2
ra
a2)
2r 2b 2brh2 (4b2r b2h2 2b3) 4b3
则易拉罐容积为：
v
r
2h2
h1
3
(r
2
ra
)
h4b(b
r
r2
)
r 2b 2bdr2 4b2r2 2b2d 4b3
则易拉罐容积为：
v
r 2h3
h1
3
(r 2
ra
a2)
h4
3
(r 2
rr2
r22 )
v外
要使生产易拉罐的材料最少，我们可以建立优化模型：
min v5 2r 2b 2brh3 (4b2r b2h3 2b3 ) bh1(r a b)
利用 lingo 软件（见附录二（1））求得 h1=121.6228,r=a=30.74452,h2=1.355268；而所得结果 r=a 和 h2=1.355268 与我们所观察到的易拉罐是有所不同的，但我们可
以知道正圆柱体的易拉罐要比上部分是圆台，下部分是圆柱的易 拉罐要更省材料。我们根据我们所测的数据：罐柱内径 61.29， 罐盖内径 58.17，上圆台高 13.5，罐高 123.7。我们可以设 a=0.949r,h1=0.1225h2;