数学建模易拉罐最优设计 演示文稿
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐的优化设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
数学建模易拉罐的设计问题
数学建模易拉罐的设计问题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--易拉罐的形状和尺寸的最优设计一旅五队赵久国（40）摘要现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。
带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。
本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。
我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。
关键词： 355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值对比分析优化设计第一步：对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。
第二步：假设：1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样.2.易拉罐的体积一定.3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。
其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233222()()2422,s r a a r a h r har a r a hra hav v r h h rππππππππππ=+⨯++⨯-=++++==第三步：根据前两步建立模型：2g(,)min (,)0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。
数模题目易拉罐的设计 ppt课件
约束条件： 原料约束：每周可以使用的规格1的镀锡板为2 万张，规格2 的镀锡板为5万张，即
x1 20000
（2）
x2 x3 x4 50000
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配套约束：罐盖厚度为罐底厚度的三倍，所 以设罐盖为3个罐底重合而成。则一个罐身与 四个罐底配套，即
( 3 x 1 x 2 2 x 3 ) * 4 2 x 1 1 0 x 2 4 x 3 1 6 x 4
1 0 x 1 6 x 2 4 x 3 1 6 x 4 0（3）
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模型求解：
将模型（1）~（3）输入LINDO， 程序如下：
Max 735x1+509x2+565.6x3+452.8x4 ST
x1<=20000 x2+x3+x4<=50000 10x1-6x2+4x3-16x4<=0 end gin 4
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20000.000000 -1.000000
X2 0.000000 -1.000000
X3 30000.000000 -1.000000
X4 20000.000000 -1.000000 结果分析： 即模式5使用2万次，模式6不使用，模式7使用3万次 ，模式8使用2万次。与前面的结果一致，则该模型可 行。
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为 3： 1的条件下，建 立易拉罐用料模型s （r ） 2 rd （爲 2r ），由微积分方法求最优解，结论：易拉r罐高与直径之比2： 1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2： 1的条件下，将 易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：min s （r,h ）2g （r,h ） r h v 0 s.t r 0h 0用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为 3: 1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比 2: 1的条件下，将上面为正圆 台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设 计。
模型用数学软件求得最优解结论：易拉罐总高：底直径=2: 1，上下底之比=1: 2，与实际比较分析了 各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1： 0.4更别 致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样 易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐最优设计数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非（R才W 卄（R 「亍r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
圆台面积 s （r ） r 2偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。
将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。
也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。
通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。
本文还对模型进行了推广。
关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。
但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。
为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。
需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。
(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。
（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。
(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。
进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。
最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 数学建模比赛论文
摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。
针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。
针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。
首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。
再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。
最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。
针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。
通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。
同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。
最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。
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模型的建立与求解
• 问题一：取一个饮料容量为355毫升的易拉罐，例如:355 毫升的可口可乐饮料罐，测量出我们验证模型所需要的数 据（易拉罐各部分的直径、高度、厚度等），并把数据表 加以说明。 • 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？ 其结果是否可以说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 （半径和高度之比）。 • 问题三：设易拉罐的中心纵断面上面部分是一个正圆台， 下面部分是一个正圆柱体。 • 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于 易拉罐形状和尺寸的最优设计。 • 问题五：用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体 验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤以 及难点
结论
• 在本题中着重以环保、减少企业的成本、保证消 费者的健康、矿产资源的前景、多样性、新颖时 尚、个性化和青少年追求注重感情和直觉冲动性 购买色彩浓烈等方面来考虑。 • 从该设计的易拉罐的模型来讲，模型追求新颖时 尚，追求个性化，注重感情和直觉，冲动性购买 色彩浓烈。在当今的青少年中他们的自我意识加 强了，有自己的性格、志向、兴趣等，在各类活 动中都会有意无意地表现自己的特殊性。而该易 拉罐模型刚好追随了大多数青少年的目光，加工 的饮料也就会受到大家的关注。
关键词
• • • • • • 最优设计， 易拉罐， 材料 ， 形状， 尺寸， 模型
问题的重述
• 为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案.，所谓的 最佳生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源 及生产能力，在一定时间内，将配置实现最优化的利用、 调度，获得合理范围内的最大收益。真对生产易拉罐的公 司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形 状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、生 产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否 有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联 系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最佳 方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓 的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。下面我们就对易 拉罐的形状和尺寸进行讨论易拉罐的最优设计问题。
• 问题三的求解:
当我们在分析问题三时，我们需要求出的是易拉罐形 状和尺寸的最优设计是什么，我们知道它的最优设计就是 在容量不变的情况下，怎么样设计才能使使用的材料最少， 同时还能够保证易拉罐形状和性能的不变。根据立体几何 的性质可以得知，正圆柱体是在表面积不变的情况下，表 面积最小（即耗材最少）的图形；所以我们要研究的最优 设计只是这个易拉罐下部分和上部分的比例以及上部分的 斜率问题，根据几何图形最优设计问题我们可以知道接口 处的角度大小和上下部分高的比例大小直接关系到整个易 拉罐的耗材优化设计
参考文献：
• [1] 叶其孝 姜启源等译数学建模。第三版。北京： 机械工业出版社 2005.1 • [2] 苏金明，王永利 MATLAB实用指南，北京：北京电子工业出版社 2004.10 • [3] 徐全智、杨晋浩 数学建模，北京：高等教育出版社 2004.2 • [4] 袁振东 数学建模方法 ， 江苏：华东师范大学出版社 2003.1 • [5]王兵团 数学建模基础，北京：清华大学出版社、北京交通大学出 版社 2005.10 • [6]清源计算机工作室，MATLAB6.0高级应用----图形图象处理。北京： 机械工业出版社，2001. • [7] 袁震东、蒋鲁敏、束金龙，数学建模简明教程，江苏：华东师范 大学出版社，2002 • [8] 洪毅 林健良 ， 陶志穗 数学模型 北京：高等教育出版社2004.5 • [9]邦迪，默蒂，图论极其应用，吴望名等译，北京：科学出版社， 1984
市场上常见的易拉罐形状
饮料罐模型设计
模型的改进
缺点： • 1、 对于模型中出现的实际的复杂问题作了很多简化，最终得到的数值与所 测数值有偏差。 • 2、 测量易拉罐的数据有误差 • 易拉罐的设计主要考虑的方面有 • 1、尺寸比例的经济性及科学性； • 2、人体工学； • 3、力学性质； • 4、易拉罐内部留有的空余部分； • ５、放置时运输时的稳定性。我们的模型中第1、3、5、方面已考虑到，与改 进模型需进一步考虑2、4、方面。第三方面也可进一步考虑。根据参考文献， 罐底球面的强度取决于以下几个因素：材料的弹性模量、底部直径、材料的 强度、球面半径。材料愈薄，强度愈低，因此轻量化技术要求减少罐底直径 及设计特殊的罐底形状。工艺试验表明，罐底沟外壁夹角若 大于40 ，将大大 减小罐底耐压。凸模圆弧R不能小于3倍的料厚。但R太大，将会减小强度。 球面和罐底沟内壁圆弧R1，至少为3倍料厚，减小罐底沟内壁夹角 ，将增加 强度，生产中大多数采用10 以下
易拉罐的形状和尺寸的最优设 计问题
信息1001 小海
摘要
• 利用数学分析的方法，建立在同样容积和 材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积 的数学模型。运用圆柱与正圆台最小面积 的知识，结合图形得出一组解 , 通过进一步 讨论、分析验证此解的合理性，最后利用 MATLAB 软件求得其最优解的几何图形， 并通过PHOTOSHOP画出了产品的实物图， 从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳 生产方案.
问题的求解过程
• 首先我们通过使用工具对市场上面常见的传统型易拉罐测量得出我们 需要验证模型所需要的数据（易拉罐的直径，高度，厚度，梯形台高， 上面直径，下直径，坡度）。 • 其次，我们假设易拉罐是一个正圆柱体，我们通过利用数学的方法计 算求出它的最优设计方案结果，并验证说明我们所测得的易拉罐的形 状和尺寸．我们 并在此建立目标函数来说明问题的最优化． • 再次：我们设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱 体，通过建立数学模型、求解模型来说明什么是易拉罐的最优设计以 及最优设计的结果，运用我们测量得到的数据来验证这个模型的正确 性． • 最后，通过对易拉罐的了解和洞察力，合理的设计出我们自己心目中 易拉罐的最优形状和尺寸,利用绘图工具绘制出我们设计的实物图和集 合图形.并且对我们设计的模形与传统的易拉罐作对比分析,,合理的预 测出我们设计的模型的优势,同时我们也可以分析我们设计的模型的潜 在入侵者的威胁、替代品的威胁、买方的还价能力、供方的讨价能力、 现有企业的竞争等各种条件分析来预测我们模型的市场长期和短期的 影响力度。
表1 、铝易拉罐和纸易拉罐比较表
模型的假设
• • • • • 1假设易拉罐各个部分的厚度是均匀的。 2假设易拉罐各个部分的材料是一样的。 3易拉罐的上端卷口材料的影响很小,可不计。 4易拉罐底端的曲面简化成为一个平面 。 5易拉罐拉环不加考虑。
符号说明
• • • • • • V正圆台的体积 S再圆台的表面积 R易拉罐下底面的半径 r易拉罐上底面的半径 H易拉罐圆柱部分的高度 h易拉罐圆台部分的高度易拉罐圆台部分的 倾斜角
问题的求解
• 问题一的求解: 我们通过用角尺,直尺,软尺,卡尺,铸模尺,测瓶尺等一系 列工具测得的易拉罐各部分结果分别为：厚度 0.32， 下 直径为 67.7 ，高 124.7， 梯形台高 11.2 ，上直径64.5 ， 坡度 0.68； • 问题二的求解: 在问题二中整个易拉罐都被看作为正圆柱体，根据制 造过程中消耗铁皮的多少来判别优劣，即最优易拉罐应该 具有的最小表面S,使易拉罐为最优化应做到同样容积的易 拉罐用最少的材料。我们为此在这里建立数学函数用来说 明易拉罐的最优化，我们从以下三方面来着手，首先是写 出易拉罐的面积的表达式，其次是易拉罐在半径外多少时 有最小值，最后是求出底半径与设置的时候， 不仅要考虑到外观美，还要重点考虑资源的最优 利用。考虑到做上、下底面和侧面所用材料的厚 度是不同。若设上、下底面单位面积的厚度为p， 侧面的厚度为q (p≠q)，则做一个易拉罐所需材料 的为s=p·2πr2+q·2πr*h。要使具有最少的材料， 则s=π·(2p·r2+qrh+qrh) ≥π·(2pr2·r4h2)1/3，当且 仅当2pr2= q*r*h=q*r*h，即h=2p· r/q时材料最少。 此时，易拉罐就不再是等边圆柱体。
• 问题四的求解 • 由饮料的特性我们知道纸制易拉罐的主要 技术问题是如何确保易拉罐罐体的物理性 能、耐磨性、耐压强度、保鲜性能、密封 性。我们如何来解决这个问题成为我们推 广纸制易拉罐制作工程中的重中之重。下 面我们就来讨论一下关于纸制易拉罐制作 过程中的技术问题:
• (1)落料易拉伸复合工序。拉伸时，坯料边缘的材料沿着径 向形成杯，因此在塑性流动区域的单元体为双向受压，单 向受拉的三向应力状态，由于受凸模圆弧和拉伸凹模圆弧 的作用，杯下部壁厚约减薄10%，而杯口增厚约25%。杯 转角处的圆弧大小对后续工序(罐体成形)有较大的影响， 若控制不好，易产生断罐。因此落料拉伸工序必须考虑以 下因素：杯的直径和拉伸比、凸模圆弧、拉伸凹模圆弧、 凸、凹模间隙、铝材的机械性能、模具表面的摩擦性能、 材料表面的润滑、拉伸速度、突耳率等。突耳的产生主要 由2个因素确定：一是金属材料的性能，二是拉伸模具的 设计。突耳出现在杯的最高点同时也是最薄点，将会对罐 体成形带来影响，造成修边不全，废品率增高。
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体验数学建模
• 数学是研究现实世界数量关系和空间形式 的科学，而应用数学去解决各类实际问题 时，建立数学模型是必要的一步，也是最 关键的一步，同时也是最困难的一步。 • 懂得好的数学建模不仅仅只依靠数学知识， 而且也要与实际生活工作的经验紧密结合。
建立数学模型的过程 • 首先，要对实际问题观察、分析（抓住主要方面）； • 其次，对实际问题进行必要的抽象、简化作出合理的假 设； • 第三，确立模型中的变量和参数且根据规律列出变量间 的关系 • 第四，运用数学知识解析或近似的求解这个数学问题； • 第五，以原型的数据检验数学模型并对数学解决作出解释 和评价。 • 第六，验证数学结果是否能解释或预测实际问题出现的现 象。