离散数学单元测试题

近世代数单元测试题（一） （院系：软件学院 年级：2007级）
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）
1．设S={a,b}，则S 上总共可定义的二元运算的个数是（ ）
B.8 2．设集合{1,2,3,...,10}A =，下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的（ ）。

A ．*max{,}x y x y =
B ．*min{,}x y x y =
C ．*(,)x y GC
D x y = 即,x y 的最大公约数
D ．*{,}x y LCM x y = 即,x y 的最小公倍数
3．下面定义的哪种运算关于给定的集合是封闭的（ ）。

A ． 集合S ={1,-1}关于普通的减法运算
B ． 集合S ={0,1}关于普通的加法运算
C ． 集合}|12{+∈-=Z x x S 关于普通的加法运算
D ． 集合{2|}n S n Z +=∈关于普通的乘法运算
4．在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的（ ）
*b =a -b *b =max{a ,b } *b =a +2b *b =|a-b |
5．对自然数集N ，下列哪种运算是不可结合（ ）。

A ．*3a b a b =++
B ．*min{,}a b a b =
C ．*2a b a b =+
D ． *(mod3)a b ab =
6．设ο是正整数集+Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax =ο（即取a 与b 中的
最大者），那么ο在+
Z 中（ ）
A ．不适合交换律；
B ．不适合结合律；
C ．存在单位元；
D ．每个元都有逆元。

二、填空题
1．集合A={a , b , c }上总共可定义的二元运算的个数为______。

2、设S 是非空有限集，代数系统(),,P S <>U I 中，()P S 对U 运算的单位是 ________，()P S 对I 运算的单位元____。

4．设{0,1,2,...,1}n n =-Z ，在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中，,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法，则n Z 对⊕运算的单位元是______， n Z 对⊗的单位元是_______。

5．设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6}，G 关于模7乘法构成代数系统，群G 的幺元是_________，元素3与______互为逆元。

三、判断题
1. 设(N,*)是代数系统，其中N 为自然数集，*为二元运算，定义为：对任何的a,b?N ，有a*b=a ，则*是可结合的。

（ ）
2. 在一个代数系统中，若一个元素的逆元是惟一的，则运算必定是可结合的。

（ ）
3. 设*是S 上的可结合运算，若a ?S 是可逆的，则a 也是可消去的。

（ ）
4. 设*是S 上的可结合运算，若a ?S 是可消去的，则a 也是可逆的。

（ ）
5. 设(A ,ο,*)是一个代数系统，对于任意的a ,b ?A ，有a οb =a ，而*是A 上的任意二元运算，则*对ο不一定是可分配的。

（ ）
四、解答题
1、在实数集合R 上定义二元运算*226X Y XY X Y =--+
（1） 验证*是否满足交换律和结合律。

（2） 求*的单位元。

（3） 对任何实数X ，求其逆元。

2．设代数系统,*A <>，其中{,,,}A a b c d =，*运算定义如下表，请指出*运算是否是可交换的；是否有单位元；如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。

*
a b a
b
c
d a b c d b c d c d a c d a b d a b c
3．设代数系统>⊕=<},,{b a P V ，⊕为集合的求对称差运算，求V 的所有子代数，并说明哪些是非平凡的真子代数。

4．设代数系统{1,2,3},,1V =<>o ，其中x y o 表示求x 和y 之中的较大的数，求V 的所有子代数，并说明哪些是非平凡的真子代数。