9.1.2余弦定理(第一课时)
人教版普通高中数学B版必修第四册 第九章 9.1.2余弦定理
将问题一般化— 已知三角形两边和夹角求第三边问题， 即：在△ABC中已知a，b和C，求a.
得到一般规律：
余弦定理
同理有：
你能对定理进行归纳概括么
合作探究，解决问题
余弦定理： 三角形任何一边的平方， 等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍.
深入探索公式应用
问题5. 通过观察分析余弦定理的结构特点， 说一说余弦定理刻画了哪些量的关系？
问题2：
方法汇总：
若测量出角C，如何根据已知求出AB长？ 坐标法、向量法
合作探究，解决问题
问题3： 采用坐标法，为了简化计算，应该如何建立直角坐标系？ 问题4： 角C为直角时，如何求边c？能否利用向量法证明勾股定理? 若角C不是直角，该如何利用向量法求解边c？
小组合作至少选用一种方法求解
合作探究，解决问题
人教版普通高中数学B版必修第四册 第一章 第二节第1课时
《余弦定理》
创设情景，提出问题
甲同学距离公园8米，乙距离甲3米，求乙离公园多少米？ 解： （1）甲、乙、公园三点共线时，易知所求为11或5（米）；
（2）甲、乙、公园不共线时，情境中的问题可转化为 解三角形问题：
创设情景，提出问题
问题1： 现有工具测角仪仅能使用一次， 你能请设计合理的方案求解么？
典例解析，深化理解
小组合作，群体提升 问题3（课后思考）. 利用余弦定理可以推导出思考题中的结论，能否用思考题中的结论 证明余弦定理？
典例解析，深化理解
课堂练习，巩固所学
归纳小结、群体交流
1.余弦定理的作用. 2.本节课的其他收获.
谢谢 看
观
人教版普通高中数学B版必修第四册 第一章 第二节第2课时
《余弦定理》
9.1.2-余弦定理课件(共48张PPT)高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册第九章解三角形
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,
余弦定理(第一课时)
余弦定理（第一课时）课例：浙江省宁波市北仑中学 史芝佐点评：浙江省宁波市北仑中学 安凤吉一、课例与分评（一）教学目标1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
[ 点评：知识目标分级详细、适当，能力目标和德育目标具体，并且有很强的针对性，这是上好一节课的前提条件 ]（二）教学重点、难点重点：余弦定理及其发现和证明。
难点：余弦定理的证明。
关键：建立适当的直角坐标系。
（三）教具三角板，投影仪，投影片1、2[ 点评：重点、难点、关键抓得准，才能在教学过程中采取有效的措施，突出重点、突破难点，从而实现教学目标 ]（四）教学过程1．复习提问T （师，下同）：叙述任意角的三角函数的定义。
（在黑板上作图1）S （生，下同）：, , sec , , , cos , sin yr cse r y y x ctg x y tg r x r y =====αααααα 它们分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。
2．发现T ：请同学们考虑并回答下面的问题：在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可求其余元素？S ：两个元素。
T ：是否有不同的意见和补充？S 1：其中至少有一边。
T ：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的，那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？[ 点评：由于现在学生还不会求斜三角形的其余元素，因而说确定这个三角形是恰当的，可见，教者对于教学语言是进行了仔细斟酌的，这对于一名青年教师来说是难能可贵的。
]S 2：三个，其中至少有一边。
高中数学《1.1.2 余弦定理(第一课时)》教案 新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程一，创设情境，课题导入1.复习：已知30,45,16A C b ===，解三角形（学生板演）2.若将条件45C =改成8c =如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知,,ABC BC a AC b ∆==和角C ，求解c ,,B A引出课题：余弦定理二．设置问题，知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.设a b -，22()()2cos c c c a b a b a b ab C ∴=⋅=-⋅-=+-即2222cos c a b ab C =+- 引导学生证明：2222cos a b c bc A =+-3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三．典型例题剖析 1.例1.在ABC ∆中，已知120,2,2,A b cm c cm ===解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在ABC ∆中，已知30,5,A b c ===2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题 引入余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-= 公式作用：（1） 已知三边求三角（2） 若A 为直角，则cos 0A =,从而222b c a +=；若A 为锐角，则cos 0A >，从而222b c a +>；若A 为钝角，则cos 0A <，从而222b c a +<例2.已知在ABC ∆中，a b c ===,,A B C先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在ABC ∆中，::21)a b c =，求,,A B C让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在ABC ∆中，cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，并且sin 2sin cos A B C =，判断三角形的形状四．课堂检测反馈1．已知在ABC ∆中，60,8,3A b c ===，则a = （ ）2. 在ABC ∆中,若1,1,a b c ===，则ABC ∆的最大角的度数为（ ）3.在ABC ∆中，5,6,8AB BC AC ===,则ABC ∆的形状是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 非钝角三角形五．课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六．课后作业课本第10页A 组3（2），4（2）B 组第2题。
9.1.2余弦定理-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
9.1.2 余弦定理-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、教学目标1.掌握余弦定理的形式及证明方法；2.熟悉余弦定理在数学和实际问题中的应用；3.锻炼解决实际问题、独立思考和团队合作的综合能力。
二、教学内容1. 余弦定理的形式及证明方法1.定义余弦定理；2.推导余弦定理的证明方法；3.利用余弦定理求解三角形的边长和角度。
2. 余弦定理在数学和实际问题中的应用1.利用余弦定理求解实际问题；2.讨论余弦定理的局限性和适用条件。
三、教学重点、难点教学重点：1.熟练掌握余弦定理的形式及证明方法；2.熟悉余弦定理在数学和实际问题中的应用。
教学难点：1.利用余弦定理求解实际问题；2.理解余弦定理的适用条件。
1. 演示法采用演示法，通过绘图和实例讲解余弦定理的定义、证明方法和应用，并展示求解问题的过程和方法。
2. 课堂讨论法鼓励学生课前阅读相关知识，并在课上结合例题讨论余弦定理的具体应用，激发学生探究、研究的兴趣。
3. 小组讨论法将学生分组，自主探究余弦定理在实际问题中的应用，并通过小组讨论的方式交流和展示研究成果，锻炼学生的团队协作和表达能力。
五、教学步骤1. 自主学习让学生在课前自主学习余弦定理相关知识，独立思考余弦定理的应用。
2. 讲解通过教师的讲解，介绍余弦定理的定义、证明方法和应用，并讨论其适用条件。
3. 练习在教师的指导下，让学生通过练习巩固余弦定理的应用和证明方法。
4. 小组讨论将学生分组，自主探究余弦定理在实际问题中的应用，并通过小组讨论的方式交流和展示研究成果。
六、教学评估1.通过练习和小组讨论，检测学生对余弦定理的掌握情况；2.通过问答和课堂演示，评估学生解决实际问题和团队合作能力。
1.人教B版高中数学必修第四册（2019版）；2.数学实物教具。
八、教学反思1.此次教学，通过小组讨论和课堂演示的方式，促进了学生之间的交流和合作；2.但需要进一步优化教学策略，让学生更加深入地理解余弦定理的定义和使用方法。
高中数学9.1.2余弦定理课件
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状
为 ()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到( a )3＋( b=)31,且c为最大的边,通过不等式的性
cc
质转化为 ( a )2＋(>b1)2,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
2
可得 s3in C-cos C= ,即2 －2( 1 cos C－ 3 sin C) 2，
2
2
所以cos(C+60°)=- 2.
2
由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)= , 2
2
故sin C=sin(C+60°－60°)
=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin 60°= 6 2 .
【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosAAC=2 AB2 BC2 1，
2AC AB
2
因为A∈(0,π),所以A= 2 .
3
(2)由(1)知A= 2,又BC=3,所以由余弦定理得:
3
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=AC2+AB2+AC·AB=9,
探究点二 利用余弦定理计算角
【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值
为 ()
A. 5 B. 3C. 3D. 7
18
4
2
8
2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-
《余弦定理》_优秀PPT课件-ppt【北师大版】1
a
b
3 2 2 3 2 2 3 2 3 c3 o 3 0 s
a 3
Bc
A
由正弦a定 理 b 得 sin A sin B
sinBbsinA312 3
a
32
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a= 2 21
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（2）解：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
பைடு நூலகம்
=
1 2
cos B
a2
c2 2ac
b2
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
例 1. 《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ，A=1200 ，求 a. （2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ，c= 6 2 ，
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
12(3)221317
2
22 4
BC 7 2
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用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
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余弦定理 课件
方法二 由方法一知：cosA＝bc， 由正弦定理，得bc＝ssiinnCB，∴cosA＝ssiinnCB. ∴sinCcosA＝sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sinAcosC＋ cosAsinC. ∴sinAcosC＝0，∵A、C 是△ABC 的内角，∴sinA≠0. ∴只有 cosC＝0，∴C＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
∴a＝3.
题型三 已知三边解三角形 例 3 在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sinC.
【解析】 ∵a>c>b，∴A 为最大角． ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12.
又∵0°<A<180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝
3 2.
方法二 由 b<c，B＝30°，
b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×12＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得
a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6.
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
2ac ，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab .
要点 3 余弦定理与勾股定理 (1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边 所对的角是 锐 角． (2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边 所对的角是 钝 角． (3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边 所对的角是 直 角．
题型一 已知两边和夹角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A. 【思路分析】 本题主要考查余弦定理及其应用． 思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，再用余弦定理的推论求角 A.
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用正弦定理能否直接求出AB？
高一数学组
学习目标
1.掌握余弦定理并了解其推导过程； 2.应用余弦定理及其变形解决三角形问题； 3.能利用余弦定理及其变形判断三角形的形状.
定理的证明
实际问题
？
3Km
60°
6Km
由例1可以看出，已知三角形两条边及其夹角时，可以求出三角形 的第三边.
能否利用正弦定理证明余弦定理呢？
1.余弦定理的内容,及其证明方法; 2.余弦定理可以解决哪几类问题?
(1).已知三角形两条边及其夹角时，可以求出三角形 的第三边. (2).已知三角形三条边时，可以求出三角形 的三个角.
3.如何利用余弦定理来判断三角形的形状?
另外，我们还可以利用几何法、坐标
法等方法证明余弦定理，请同学们课下自 己完成 .
对余弦定理 还有其他证 明方法吗?
典型例题
由变式1可以看出，已知三角形三条边时，可以求出三角形 的三个角.
判定三角形形状的方法小结:
由例5的方法同样可以得到以下结论:
能否利用例5 的 结论证明
余弦定理呢?
课堂小结
复习回顾
1.正弦定理:
在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,且等于 该三角形外接圆的直径. 2.正弦定理可以解决哪几类问题? (1).已知两边,及其一边的对角,求其它量; (2).已知两个角,及任一边,求其它量. (3).已知三边,及任一角,求其它量;
实际问题
Байду номын сангаас际问题
？
3Km
60°
6Km