正弦定理与余弦定理教案

正弦定理与余弦定理教案
-------鄂伦春中学 祁永臣
教学要求：
第一课时 1.1.1 正弦定理
教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c
b
sin C =1 即
c =
sin sin sin a b c
A B C
==
. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有
sin sin CD a B b A ==,则
sin sin a b
A B
=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c
A B C
==
. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △
ABC =111
sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C
.
证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a
CD R A D
===， 同理 sin b B =2R ，sin c
C ＝2R .
证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..
④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：
① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2
：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③
练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.
在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）
④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？
3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：
1.已知∆ABC 中，∠A =60
°，a =，求
sin sin sin a b c
A B C
++++.
2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题. 第二课时 1.1.2 余弦定理（一） 教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？
2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式
3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：
1. 教学余弦定理的推导：
① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC AB BC =+，
∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+2
2
2AB AB BC BC =+•+
22
2||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+222cos c ac B a =-+.
即2222cos b c a ac B =+-，→
② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.
③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？
→ 余弦定理的推论：222
cos 2b c a A bc
+-=，…等.
⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：
① 出示例1：在∆ABC
中，已知=a
c 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b
→ 讨论：如何求A ？（两种方法）
（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角
②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：
① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C . ② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.
4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：
1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）
2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .
3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.
第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）
教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程：
一、复习准备：
1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.
2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：
1. 教学三角形的解的讨论：
① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.
(i ) A ＝
6π，a ＝25，b ＝
； (ii ) A ＝6
π
，a ＝
，b ＝
； (iii ) A ＝6π，a
b ＝
； (iiii ) A ＝6
π
，a ＝50，b ＝
.
分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？
② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.
(i ) A ＝
23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23
π，a ＝25，b ＝ 2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：
① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.
分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断
结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形
是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形
ABC
③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.
分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习：
1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求
a b
b
+的值 2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ . 3. 作业：教材P11 B 组1、2题.。