必修第二册课时作业：4.2.1.2 等差数列的性质 Word版含解析
高中数学选择性必修二 4 2 1 1等差数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及应用 第2课时【课件】
分析：
（1）{ }是一个确定的数列，只要把 ， 表示为{ }中的项，就可以
利用等差数列的定义得出{ }的通项公式；
（2）设{ }中的第n项是{ }中的第 项，根据条件可以求出n与 的
关系式，由此即可判断 是否为 { }的项.
合作探究
解： （1）设数列{ }的公差为′ .
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{ }，
则 = − .
令 − = ， 解得 =
所以， 是数列 { }的第8项.
合作探究
思考：
如果插入的是 ( ∈ ∗ )个数，那么 的公差是多少？
提示：
设数列 { } 的公差为 ′ .
由题意可知， = ，+ = ，
① 特别地，当 + = (, , ∈ ∗ ) 时， + =
② 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即 + = + − = ⋯ = + −+ = ⋯ .
(3)若{ }是公差为d的等差数列，则
① { + } (c为任意常数) 是公差为d的等差数列
因为购进设备的价值为220万元，所以 = − ，
于是
= + − − = − .
根据题意，得
≥
ቊ
<
解这个不等式组，得
即
< ≤ .
所以，d 的取值范围为 < ≤ .
− ≥
分析： 只要根据等差数列的定义写出 ， ， ， ，再利用已知条件即可得证.
证明： 设数列{ }的公差为d ，则
所以
= + ( − )，
2024-2025学年高中数学选择性必修二课时作业4：等差数列的性质
2024-2025学年高中数学选择性必修二课时作业(四)等差数列的性质练基础1.等差数列{a n}中，a4＋a6＝6，a8＝4，则a2＝()A．1B．2C．3D．42．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是()A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列3．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为a n元，则a n＝()A．2192B．3912－8nC．3920－8n D．3928－8n4．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．提能力5.在等差数列{a n}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝()A．4B．72C．3D．26．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为()A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺7．在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，则2km，4km，8km 高度的气温分别为________、________、________．8．已知等差数列{a n}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{a n}的通项公式．9．诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？10．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．培优生11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球(a1＝1)，第二层有3个球(a2＝3)，第三层有6个球(a3＝6)，第四层有10个球(a4＝10)，第五层有15个球(a5＝15)，…，各层球数之差{a n＋1－a n}：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…即2，3,4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为()A．51B．68C．106D．15712．已知等差数列{a n}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.(1)求{a n}的通项公式；(2)从{a n}中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{b n}，判断938是不是数列{b n}中的项？并说明理由．答案解析1．解析：等差数列{a n}中，因a4＋a6＝6，a8＝4，而a2＋a8＝a4＋a6，于是得a2＋4＝6，解得a2＝2.故选B.答案：B2．解析：因为(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，是公差为2d的等差数列．故选C.答案：C3．解析：由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第n个月的还款金额为a n元，则a n＝2000＋[480000－(n－1)×2000]×0.4%＝3928－8n，故选D.答案：D4．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d －d＋a＋a＋d＝9，a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝35，＝3，＝±2.所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.5．解析：因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.故选C.答案：C6．解析：设冬至的日影子长为a1，则冬至、大寒、雨水的日影子长的和为a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5⇒a3＝13.5，芒种的日影子长为a12＝4.5，1＋2d＝13.51＋11d＝4.5，解得：a1＝15.5，d＝－1，所以冬至的日影子长为15.5尺．故选D.答案：D7．解析：用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.答案：2℃－11℃－37℃8．解析：∵{a n}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝18,∴3a3＝18，a3＝6.2＋a3＋a4＝18，2a3a4＝66，2＋a4＝12，2a4＝11，2＝11，4＝12＝1，4＝11.2＝11，4＝1时，a1＝16，d＝－5.∴a n＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)(－5)＝－5n＋21，2＝1，4＝11时，a1＝－4，d＝5.∴a n＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)5＝5n－9.综上：a n＝－5n＋21或a n＝5n－9.9．解析：(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列首项a1＝1740，公差d＝83，通项公式为a n＝a1＋(n－1)d＝1740＋83(n－1)＝83n＋1657，故a8＝83×8＋1657＝2321，即彗星第8次出现是在2321年．(2)由83n＋1657＝2500，解得n＝84383∉N，故这颗彗星不会在2500年出现．10．解析：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(d>0)，则a－3d）2＋（a＋3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＝94，a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），＝±72，＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.11．解析：现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差{a n＋1－a n}：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，a6－a5，…即2，3，6，11，18，…，3－2，6－3，11－6，18－11，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以a7＝41＋(18＋9)＝68，a8＝68＋(18＋9＋11)＝106.故选C.答案：C12．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，所以a5＝8，又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28.所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数，所以d＝3.则a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4.∴{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*).(2)结合(1)可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a9＝20，…，b n＝a3n＝9n－7(n∈N*).令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938.所以938是数列{b n}中的项．。
最新人教版高二数学选择性必修第二册第四章 4.2.1 第2课时等差数列的性质及应用
所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又因为a51＝a1＋ 50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－ 50d)＋101d＝d>0，故C错误．
探究点二 等差数列的设法与求解 【典例2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四 个数． 【思维导引】方法一：直接设首项和公差，将已知条件转化为方程组求解． 方法二：直接设出4个数，根据题中条件列方程组求解． 方法三：等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性，用对称设法求解．
(1)3＋6＝4＋5，a3＋a6与a4＋a5相等吗？ 提示：相等． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq吗？ 提示：相等．因为am＝3m，an＝3n，ap＝3p，aq＝3q， 所以am＋an＝3(m＋n)，ap＋aq＝3(p＋q)， 因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq.
下面是关于公差是d(d＞0)的等差数列{an}的四个说法：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的是(
)
A．p1，p2
B．p3，p4
C．p2，p3
D．p1，p4
【解析】选D.对于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
【补偿训练】 某市2016年底绿地面积为560平方千米，预计每年都比上一年新增绿地面积4平 方千米，问到2026年底该市绿地面积为多少平方千米？ 【解析】将该市2016年起每年年底的绿地面积依次排成数列，记为{an}，由题意 可知{an}为等差数列，其中a1＝560，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n＋556. 2026年底的绿地面积在数列{an}中是第11项， 所以a11＝556＋4×11＝600(平方千米). 答：到2026年底该市绿地面积为600平方千米．
4.2.1.2 等差数列的性质及其应用课件 高中数学选择性必修二
质及其应用
一、复习回顾
1.等差数列的定义
an 1 an d (n N )或an an 1 d , n 2, n N (d 是常数)
2.等差中项的定义
如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么
A叫做a与b的等差中项. 2A=a+b
a5 a1 4d 10
a1 2
(法1)由
得
, an (2) 3(n 1) 3n 5.
a12 a1 11d 31 d 3
设基本量法(方程组法)
a12 a5
(法2)d
3, an a5 (n 5)d 10 3(n 5) 3n 5.
(n N ), 则an __ .
2 an 1 an an 2
解:
2
an 1
1
1
,
an an 2
1
{ }为等差数列.
an
1
1
1,
2, 公差d 2 1 1.
a1
a2
1
1
an .
1 (n 1) n,
n
an
二、合作探究
a3 , a7是方程x 2 4 x 12 0的两根,
求a3 求a7 求d an
解得x1 6, x2 2.
{an }是递增数列, a3 6, a7 2.
a7 a3 2 ( 6)
公差d
2,
73
4
an a3 (n 3)d 6 2(n 3) 2n 12 .
【课件】第4章 4.2 4.2.1 第2课时 等差数列的性质人教A版(2019)选择性必修第二册
疑
业
难
∴d＜0.故 a1＝11，d＝－5.
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·
22
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，
·
提
新
素
知
即等差数列{an}的通项公式为 an＝－5n＋16.
养
合 作
令 an＝－34，即－5n＋16＝－34，得 n＝10.
课
探
时
究
∴－34 是数列{an}的第 10 项．
释
作
疑
业
难
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·
21
·
情 境 导 学
法二：依题意得aa11＋ ·a2a·a2＋3＝a63＝6，18，
课 堂 小 结
·
探
提
新 知
∴3aa1·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
素 养
合
作
课
探 究
释
解得ad1＝＝－115，， 或ad1＝＝51.， ∵数列{an}是递减等差数列，
时 分 层 作
释
疑
难
前三项可以设为 a－d，a，a＋d，也可以直接用“通 课 时 分 层 作 业
·
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19
·
情
课
境
[解] 法一：设该等差数列的前三项为 a－d，a，a＋d，
堂
导
小
学
结
探
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18.
·
提
新
素
知
解得 a＝6.
养
合 作
又前三项的乘积为 66.
课
必修第二册课时作业：4.2.1.2 等差数列的性质 Word版含解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[提能力]
7．(多选题)下列说法中不正确的是( ) A．若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 成等差数列 B．若 a，b，c 成等差数列，则 log2a，log2b，log2c 成等差数列 C．若 a，b，c 成等差数列，则 a＋2，b＋2，c＋2 成等差数列
Ø 借助注释，理解词语。 ①大漠：广阔无边的大沙漠。
C．2 D. 4．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 5．在通常情况下，从地面到 10 km 高空，高度每增加 1 km，气温 就下降某一个固定数值．如果 1 km 高度的气温是 8.5 ℃，5 km 高度 的气温是－17.5 ℃，则 4 km 高度的气温是________ ℃ 6．若关于 x 的方程 x2－x＋m＝0 和 x2－x＋n＝0(m，n∈R 且 m≠n) 的四个根组成首项为 的等差数列，求 m＋n 的值．
课时作业(四) 等差数列的性质
[练基础]
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则 a7＝( ) A．5 B．8 C．10 D．14 2．已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32， 若 am＝8，则 m 等于( ) A．8 B．4 C．6 D．12 3．数列{an}满足 3＋an＝an＋1 且 a2＋a4＋a6＝9，则 log6(a5＋a7＋a9) 的值是( ) A．－2 B．－
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课时作业(四) 等差数列的性质
[练基础]
1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．14
2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )
A ．8
B ．4
C ．6
D ．12
3．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.12
4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )
A ．a 1＋a 101>0
B ．a 2＋a 101<0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝51
5．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则4 km 高度的气温是________ ℃
6．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n )
的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值．
[提能力]
7．(多选题)下列说法中不正确的是( )
A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列
B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列
D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列
8．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的
公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2
的值为________． 9．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．
[战疑难]
10．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.
课时作业(四) 等差数列的性质
1．解析：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.故选B.
答案：B
2．解析：因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.故选A.
答案：A。