导数中恒成立问题(最值问题)
第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)
第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；考点二：存在性问题若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；考点三：双变量问题①对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；②对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；③若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；④若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑤对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；⑥对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑦若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型目录】题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >【答案】B【详解】令()ln 1f x x x =-+，其中0x >，则()min a f x <，()111x f x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以，()()min 12f x f ==，2a ∴<.故选：B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x xe xf x-+-=ln ．(1)若≥0，求a 的取值范围；【答案】(1)(−∞,+1]【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞)，'(p =(1−12)e −1+1=1(1−1)e +(1−1)=K1(e+1)令op =0,得=1当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减，当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−，若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1，所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【解析】【分析】（1）求()'f x ，分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合()10f =，分别求出a 的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.【例4】已知函数()ln f x x ax =-（a 是正常数）.（1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若0x ∀>，()0f x <，求a 的取值范围；【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值是ln 21--，无极小值；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()ln x g x x =，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x '>，解得102x <<，令()0f x '<，解得12x >，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值.（2）因为0x ∀>，()0f x <，即ln 0x ax -<恒成立，即maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.设()ln x g x x =，可得()21ln xg x x -'=，当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1e e g x g ==，所以1a e >，即1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.【例5】已知函数()xf x xe=（1）求()f x 的极值点；（2）若()2f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点；（2）a e ≤.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值点.（2）由题设知：xe a x≤在0x >上恒成立，构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值，即可求a 的范围．【详解】（1）由题设，()(1)xf x e x '=+，∴1x <-时，()0<'x f ，()f x 单调递减；1x >-时，()0>'x f ，()f x 单调递增减；∴1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点.（2）由题设，()2xx f x xe a =≥对0x ∀>恒成立，即x ea x≤在0x >上恒成立，令()xe g x x =，则2(1)()xe x g x x'-=，∴01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增；∴()(1)e g x g ≥=，故a e ≤.【题型专练】1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[)0,eB ．(],e -∞C ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln xk x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x f x x x=>的最大值即得.【详解】由题可得ln xk x≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1e ef x f ==，所以1ek ≥.故选：D.2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.(1)当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，，()ln 1=0f x x '=+，则1ex =.令()0f x '>，则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1e x =时，()f x 取得极小值且为1111ln 2+2e e ee f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，()222120x g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()222e 2e g =+，所以()()22max 2e 2e g x g ==+，则222e a -≥+，则222ea ≤--.实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭.3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(2)(],4-∞【解析】【分析】（1）求函数()f x 的单调递增区间，即解不等式()0f x '>；（2）参变分离得32ln a x x x≤++，即求()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.(1)()ln f x x x =定义域为(0,)+∞，()ln +1f x x '=()0f x '>即ln +10x >解得1e x >，所以()f x 在1,)e∞+（单调递增(2)对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，即()21ln 32x x x ax ≥-+-恒成立，分离参数得32ln a x x x≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞，则()()()231x x h x x +-'=．。
高考数学导数恒成立问题的解法及例题
高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。
1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。
2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。
例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。
解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。
我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。
综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。
利用导数解决恒成立问题
恒成立问题常见处理恒成立问题的三种方法：第一种：参变分离法求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0），一般地：m x f >)(恒成立⇔m x f >min )(；m x f <)(恒成立⇔m x f <max )(；第二种：变更主元法：（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第三种：构造函数求最值 题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型，或直接求最值。
例1. 设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--； （1）若()y f x =在区间(]3,0上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.例 2.已知函数32()f x x ax =+图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++> （1）求,a b 的值；（2）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（3）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
例3.(2014陕西)设函数()ln ,m f x x m R x=+∈. (1)当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；(2).讨论函数()'()3x g x f x =-零点的个数（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，求m 的取值范围.练习1．已知函数f （x ）=|x |，g （x ）=﹣|x ﹣4|+m（Ⅰ）解关于x 的不等式g [f （x ）]+2﹣m ＞0；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，求实数m 的取值范围．2．已知函数f （x ）=lnx ﹣．（Ⅰ）若a ＞0，试判断f （x ）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f （x ）在[1，e ]上的最小值为，求实数a 的值；（Ⅲ）若f （x ）＜x 2在（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．3．已知f （x ）=xlnx ﹣ax ，g （x ）=﹣x 2﹣2．（1）当a=﹣1时，求f （x ）的单调区间；（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．4．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．6．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y﹣2=0．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x∈[，1]，使得对任意的t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围．7．已知函数f（x）=e x（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）记函数F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的单调增区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．8．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．9．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．。
高考数学恒成立问题---最值分析法知识讲解与例题讲解
高考数学恒成立问题---最值分析法知识讲解与例题讲解最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。
此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。
是导数中的难点问题。
一、基础知识： 1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设()f x 的定义域为D（1）若x D ∀∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤ （2）若x D ∀∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥ 3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。
如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题：例1：设()222f x x mx =−+，当[)1,x ∈−+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围思路：恒成立不等式为2220x mx m −+−≥，只需()2min220x mx m−+−≥，由于左端是关于x 的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法解：恒成立不等式为2220x mx m −+−≥，令()222g x x mx m =−+−则对称轴为x m =（1）当1m ≤−时，()g x 在[)1,−+∞单调递增，()()min 11220g x g m m ∴=−=++−≥ 3m ∴≥−即[]3,1m ∈−−（2）当1m >−时，()g x 在()1,m −单调递减，在(),m +∞单调递增 ()()22min 22021g x g m m m m m ∴==−+−≥⇒−≤≤(]1,1m ∴∈− 终上所述：[]3,1m ∈−小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。
导数中的恒成立问题整理
B.
C.
D.
一一一一一一一
【解答】
解：因为
所以 在定义域上单调递增， ，
则由 ，得 ，
即 ，
令 ，
在同一坐标系里画出函数 与函数 的图象；
， 时，曲线 的切线的斜率 ；
要满足存在 使得， 有解，则直线 的斜率 ；
故实数 的取值范围为 ．
故选D．
一一一一
【题文6】
若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
故 ，
故选C．
一一一一一一一一
【题文4】
设 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的范围是 ．
A.
B.
C.
D.
一一一一一一一一一一
【解答4】
解：任意的 ， 恒成立，
即为 恒成立，
由 ， 取得等号 ，
时， ，
即有 ，
可得 ，
即 ， 当 取得等号 ，
则 ．
故选A．
一一一
【题文5】
已知函数 ，若 在 上有解，则实数 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
一一一一一一一一一一一一一
一一
【解答20】
解：令 ，
则 ，
故 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以不等式
，
则 ，
或 ，
解得 或 ．
故选B．
【题文21】
设函数 ，若 存在的极值点 满足 ，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
一一一一一一一一
【解答21】
解：由正弦函数的图象可知， 的极值点 满足 ，
可得切线方程： ，切线与 轴的交点为 ，可得此时 ， ，
综合函数图像可得 ；
利用导数求解参数问题(恒成立问题)经典题目
用导数解参数问题已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。
本文将举例说明此类问题的求解策略。
结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.一、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 二、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩解得：1122x -++<<三、（2009浙江）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 四、(新课程卷 )若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.解：[])1()1()1()(2---=-+-='a x x a ax x x f令0)(='x f ，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。
利用导数解决恒成立问题
分析：已知版心的面
x
积，你能否设计出版心的
高，求出版心的宽，从而
列出海报四周的面积来？
图3.4-1
解 : 设 版 心 的 高 为 x d m , 则 版 心 的 宽 为 1 2 8 d m , 此 时 四 周 空 白 面 积 为
S(x)(x4)(1282)128 x x
2x5128,x0 x
令 求 ： 导 S数 '(x,)得 S 2'(因是1面x56x)1此最积d22m， 小 最2，x值小0=宽点。5 1x为1 6。22 是8所d函以m数解 ，时S得 当，(x： )版能的心使x 极 高四小1 为周值6 ， 空，白x 也 1 （ 6舍 ）
延伸学习
已知 f(x函 )a 数 xlnx(a0)g ,(x)x22x2. 若 对 x1 (0,) 均 , 存 x2 [0 在 ,1]使 , f(得 x1)g(x2) 成立 a的 ，取 求 .值范围
已知函数 f (x) (1 x) ex 1. .
（I）求函数 f (x) 的最大值； （Ⅱ）设 g(x) f (x) , x 1,且x 0 ,
202X
利用导数 研究“恒成立”的 问题
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【问题展示】
不等式恒成立问题是近年高考的热点问题， 常以压轴题形式出现，交汇函数、方程、不 等式和数列等知识，有效地甄别考生的数学 思维能力.由于不等式恒成立问题往往都可以 转化为函数的最值问题，而导数，以其本身 所具备的一般性和有效性，在求解函数最值 中，起到无可替代的作用，
x 证明: g(x) ＜1.
（Ⅰ）f (x)＝－xex． 当 x∈(－∞，0)时，f (x)＞0，f (x)单调递增； 当 x∈(0，＋∞)时，f (x)＜0，f (x)单调递减． 所以 f (x)的最大值为 f (0)＝0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 x＞0 时，f (x)＜0，g (x)＜0＜1． 当－1＜x＜0 时，g (x)＜1 等价于设 f (x)＞x． 设 h (x)＝f (x)－x，则 h (x)＝－xex－1． 当 x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜ex＜1，则 0＜－xex＜1， 从而当 x∈(－1，0)时，h (x)＜0，h (x)在(－1，0]单调递减． 当－1＜x＜0 时，h (x)＞h (0)＝0，即 g (x)＜1．
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题(最值问题)导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。
知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对[],x a b ∀∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ∃∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈使12()()f x g x ≥，那么只需min min ()()f x g x ≥如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（2014.03苏锡常镇一模那题特别典型）今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是11,,e e之类），所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。
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导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。
知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max2. 对于双变量的恒成立问题f(x) min g(x)min今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。
那么我们先从一道练习题说起一•二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ）② 参数在二次项，就需考虑是否为01③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等）x④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量）f （x ）恒成立，则有a f ( x) min（若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到,a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需f ( x)mina,b ，使得 f(x)0,那么只需f （X ）max 0如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xjg(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max如：化简后我们分析得到,X ia,b ， x 2c, d 使f （xj gg ），那么只需如：化简后我们分析得到,X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i )g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型）总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒方法：1. 一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值 （二次函数也可以分离变量）2. 对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函 数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）3. 对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值 变式:①已知 f(x) ax b ，若对任意的x （m, n ），均有f （x ） 0，求 ca 的取值围 ②已知 f(x) 2ax2x 5，若对任意的x （ 3,2），均有f （x ），求 丈a 的取值围③已知 f(x) 2ax 2(a 21）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有f (x) 0,求a 的取值围④已知 f(x)3ax 2(a 1）x 5,若对任意的x （ 3,2），均有 f(x) 0求a 的取值围⑤已知f(x) 3ax 2(a 29）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有 f (x)0求a 的取值围例题2.（改编）已知函数f x ax 2 2x 1在1,3上的最大值为M a ，最小值为ma ，又已 知函数g a M a m a ，（1）求g a 的表达式；（2）指出g a 的单调区间，并求出变式：1.对称轴不动（①定义域不动 ②定义域动（含参数））2. 对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）3. 对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴 与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可4. 对称轴动（含参），定义域动（含参）①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的围，是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样，参数也没围，那么真不能做了g a 的最小值答案：根据对a 是否为0以及对称轴的讨论，易知M (a)9a9a 5,a1 1m(a) 1,- a 3 a 1,a，所以易知1g（a ）1 8a 4, a31 c 1 a 2, a a 3 1 19a 6, a 1 a 2 8a 4,a 11 1,-）单调递减，在（-， 2 2点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论所以g （a ）在（ ）单调递增，所以当1 1評，f （X ）有最小值-1(13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a , a), P 是函数y — (x >o)图象上一动点.若点XP , A 之间的最短距离为2农，则满足条件的实数a 的所有值为 _____________ . 综上a 1或a . 1o点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题(高一下学期必 须学会)，同时考查了换元思想，分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目 二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值) 先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了 1.(原创)已知函数f (X ) o 且Xf (X ) f (X ) o ,对所有满足条件的函数f (X )，始终有f(2) (a 3 2a 3)f(1)成立，求a 的取值围答案：由题可知x o 时，o f (o )o 与题目f(x) o 矛盾，所以显然有x o 所以由条件易知 丄凶 单调递增，由题可知 也 a 3 2a 3f(1)始终成立，即X22詈 a32a 3恒成立，因为 他单调递增，又 迪是满足条件的所有函数， f (1) 2 X X1所以爰的最小值总大于1,所以有『2a 3 1，知a 的围是a — 5或丄2 a 1 f(1) 2' 2 21点评：对于某些题中既有f(x)又有f (x)'的这种题型，我们不妨去联想它的原函数 2.(原创)已知函数f(x) log 2(1 x) x 2 ax ;若对于任意a 1,-，总存在x °- 1，使22'得不等式f(x 。
)m 成立，则m 的取值围是 __________________________ 答案：分析知log 2(1+x)单解：设PX o ,X o,X o则PAX o2X oX o1~2 X o2a X o+— +2a 2=X o1 X o + X o-2 a1 X o + - X o2a 2 2令X o1 Xo则 PA 2=f(t)=t 22at2a 2 对称轴t1. a2. a 2PA 2minf(2) 2a 2 4a 22PA 2min f(a) a 2 2 8a ,10(舍去)(舍去)2时, 2时, a 2 22a 2 4a 8增，又分析知x2 ax在x 1时取最大值，所以f (x o)的最大值为f(1)，1所以有m f(1)恒成立，分离变量易知m 123. f (x)=x3+ax2 a2x m(a 0)若对任意a 3,6 ，f (x) 1 在x 2,2 上恒成立，求m 围解答：先看成是a的二次函数，对称轴为- 1,1，所以最大值不是在3处就是在6处，所以23 2亠x 3x 9x m 1 “ c c L—「、、口”—有32对x 2,2恒成立，易知m 87x 6x 36x m 1点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值4. 对满足p 2所有实数p，求使不等式x2 px 1 p 2x恒成立的x的取值围解答：看成是p的一次函数点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数2 15. 已知巴—0对x 4恒成立，求m的取值围mx 1解答：法1:看成乘积小于0恒成立，转变成二次函数恒成立法2:必须有一正一负恒成立变式：m x 1 o对m 4恒成立，求x的取值围mx 1解答：如果看成是m的函数，乘积后就变成关于m的三次函数，所以我们可以转变思维，转变成两个式子同正或同负6.若对于满足1 t 3的一切实数t，不等式x2(t2t 3)x t2(t 3) 0恒成立，则x的取值围为解答：分解因式易知(x t2) x (t 3) 0 所以必须有同正或同负恒成立点评：通过这几个题目的对比，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板3x x 77. 已知f(x) J ---------------- 3a 4，若对任意的x 1,3 , f(x) 0恒成立，求a 的取值围x 5类题：(10.) •将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是 梯形，记S (梯形的周长)2 ,则S 的最小值是梯形的面积-------------点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先分离常数，转变成一次比二次，设一次 为t ，转变成关于t 的对勾函数，解决值域另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白 8. f (x) mx 28x —n 的最大值是9，最小值是1，求m 与n 的值x 1解答：整理成关于x 的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有 0恒成立，转变成 关于y 的一个二次函数恒成立，易知5和9是它的两个根，容易把 m,n 求出来 点评：此题比较特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了9. (08)已知 f(x) ax 3 3x 1 对于 x 1,1 总有 f(x) 0成立，则 a = ____________________ 解：f(x)' 3ax 3法1:分离变量，求最值 法2:直接求导10. 若不等式|ax 3 lnx | > 1对任意x (0,1］都成立，则实数a 取值围是 ______________ .点评：当遇到恒成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下围，或许可以 避免一些不必要的讨论解析：显然x 1 时，有 |a| 1,a 1,or,a 1。
令 g(x)ax 3 lnx, g(x) 3ax 2 1 心x x①当a1 时，对任意 x (0,1］， g (x)3ax 3 1 x0，g(x)在(0,1］上递减,g(x)ming(1) a1，此时 g(x) [a,)，| g(x) |的最小值为0，不适合题意。
②当a 1时，对任意 x (0,1]， g(x)坐」xg(x)的最小值为 1 1 g (33a )11§ln(3a) > 1,解得: 2e。
故所求a3 2e 。
311. 设常数 a 0 ,函数 f(x) x In 2 x 2a lnx 1 (x (0,)).(I) 令g(x) xf (x) (x 0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小; (II )求证：当 x 1 时，恒有 x ln 2x 2al nx 1 . 解(I)v f(x) x(In x)(ln x) 2a In x 1 , x (0,) • f (x),r 1 , “ 、1、 2a . 2ln x 2a 1 [ In x (Inx)-] , 1 -x x x x x •- g(x) xf (x) x 2ln x 2a , x (0, ) •- g (x)1 2 x2-,令 g(x)0,得x 2 ,x x易知f (x)在(0,2) 上单调递减， 在(2, )单调递增••• g(x)在x 2处取得极小值g(2) 2 2In2 2a ,即 g(x)的最小值为 g(2)2 2In2 2a .g(2)2(1 In 2) 2a ,v In 2 1 ,二 1 In2 0 ,又 a 0 ,二 g(2)0 . 证明(U)由(I)知，g(x)的最小值是正数， 二对一切 x (0,)，恒有 g(x) xf (x) 0 ,从而当x 0时，恒有f (x) 0 ,故f (x)在(0, p 上是增函数. •••当 x 1 时，f(x) f(1), f(1) 1 In 21 2aIn1 1• f (x)0，即 x 1 In x 2a I nx 0 , • x In x 2a I nx 1故当x 1时，恒有x In 2 x 2aIn x 1 .点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断 xf'(x)的正负来确定导函数的正负，但是本题 由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感点评：分离变量时不一定要分离成单个变量，要知道整体分离也是一样的，不能太死板 当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论13. f(x) x a , g(x) 2 x 4a , F (x)丄凶 g(x)若 F(x) 2 . 7 恒成立，求 a 的围 x 4 x a 解答：F(x) 4^^ (丄】)x 2x a 4法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调 所以只需对a 的临界点进行讨论即可 法二：求导，转变成二次函数根的讨论2x 3 7 14. f (x) -2 , g (x) x 3 ax ，若对捲 x 18g(X 2) f(xj 成立，求正整数a 的最小值解答：分析题目易知f (x)值域为g(x)值域的子集，转变成求g(x)的最值g '(x) 3x 2 3a12. f(x) x 2 1 ,对 x3,f (―) 4m 2f (x) m f (x 1) 4f (m)恒成立，求m 的取值围 解答：化简易得d 4mjmx 2 2x 32x丄1 2,2,使得15.函数f (x) x —，不等式f(x) 2b w 0在x (0,)上有解，数b的取值围。