高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
高中数学椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。
||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
椭圆综合题中定值定点、范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；〔提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别〕2.设交点坐标；〔提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求〞〕3.联立方程组；4.消元韦达定理；〔提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单〕5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0〞〔提醒：需讨论K 是否存在〕⇔OA OB ⊥⇔121K K •=-⇔0OA OB •=⇔12120x x y y +=②“点在圆、圆上、圆外问题〞⇔“直角、锐角、钝角问题〞⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题〞⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题〞⇔斜率关系〔120K K +=或12K K =〕； ④“共线问题〞〔如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法〕； 〔如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等〕； ⑤“点、线对称问题〞⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题〞⇔转化为坐标与弦长公式问题〔提醒：注意两个面积公式 的 合理选择〕； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、根本解题思想：1、“常规求值〞问题：需要找等式，“求围〞问题需要找不等式；2、“是否存在〞问题：当作存在去求，假设不存在那么计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法〔转化为二次函数的最值〕、 三角代换法〔转化为三角函数的最值〕、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。
《选修11：椭圆中定值定点问题》教案
《选修11：椭圆中定值定点问题》教案适⽤⾼中数学适⽤年级⾼⼆学科适⽤区域苏教版区域课时时长(分钟)知识点对称问题定点、定值、最值等问题2 课时教学⽬标 1．掌握圆锥曲线中的定点、定值、最值问题的求法．2．掌握有关圆锥曲线中对称问题的处理⽅法．教学重点圆锥曲线中定点、定值、最值等问题的求解⽅法教学难点数形结合思想的应⽤【教学建议】本节课采⽤创设问题情景——学⽣⾃主探究——师⽣共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习⽅式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学⽅案，通过创设问题情景、学⽣⾃主探究、展⽰学⽣的研究过程来激励学⽣的探索勇⽓．【知识导图】教学过程【教⼀学、建导议】⼊1．定点、定值、探索性问题是椭圆中的综合题，⼀直是⾼考考查的重点和热点问题． 2．本部分在⾼考试题中多为解答题，是中⾼档题．⼆、知识讲解由于椭圆只研究中⼼在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题⼀般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下⼏个⽅⾯： (1)与椭圆有关的直线过定点：①y－y0＝k(x－x0)表⽰过定点(x0，y0)的直线的⽅程；②(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 表⽰过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 和 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线的⽅程．第1页/共14页(2)与椭圆有关的圆过定点： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0 表⽰的是过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 和圆 x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0 交点的圆的⽅程． (3)与椭圆有关的参数的定值问题．(1)考参数点的2取值椭范圆围中：的最值由直问线题和椭圆的位置关系或⼏何特征引起的参数如 k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据⼏何特征建⽴关于参数的不等式或函数进⾏求解． (2)长度和⾯积的最值：由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或⾯积的值变化．此类问题主要是建⽴关于参数(如 k 或(x，y))的函数，运⽤函数或基本不等式求最值．类型⼀定点问题如图，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 P1，32，其左、右焦点分别为 F1，F2，离⼼率 e＝12，M，N是直线 xa2 c上的两个动点，且 F1M·F2N ＝0．(1)求椭圆的⽅程； (2)求 MN 的最⼩值；(3)求以 MN 为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论．a12＋49b2＝1，【解】(1)因为 e＝ac＝12，且过点 P1，32，所以 a＝2c，a2＝b2＋c2，a＝2，解得b＝ 3.所以椭圆⽅程为x42＋y32＝1． (2)由题可设点 M(4，y1)，N(4，y2)．⼜知 F1(－1，0)，F2(1，0)，则 F1M ＝(5，y1)， F2N ＝(3，y2)．所以 F1M ·F2N ＝15＋y1y2＝0，y1y2＝－15，y2＝－1y51 ．⼜因为 MN＝|y2－y1|＝－1y51 －y1＝|1y51|＋|y1|≥2 15，当且仅当|y1|＝|y2|＝ 15时取等号，所以 MN 的最⼩值为 2 15．(3)设点 M(4，y1)，N(4，y2)，所以以 MN 为直径的圆的圆⼼ C 的坐标为4，y1＋2 y2，半径 r第2页/共14页＝|y2－2 y1|，所以圆 C 的⽅程为(x－4)2＋y－y1＋2 y22＝(y2－4y1)2，整理得 x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0．由(2)得 y1y2＝－15，所以 x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，令 y＝0 得 x2－8x＋1＝0，所以 x＝4± 15，所以圆 C 过定点(4± 15，0)．【总结与反思】定点问题常见的 2 种解法： (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建⽴⼀个直线系或曲线系⽅程，⽽该⽅程与参数⽆关，故得到⼀个关于定点坐标的⽅程组，以这个⽅程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置⼊⼿，找出定点，再证明该点适合题意．类型⼆定值问题已知 F1，F2 为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点 F2 且斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，△ EFF1 的周长为 8，且椭圆 C 与圆 x2＋y2＝3 相切． (1)求椭圆 C 的⽅程； (2)设 A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线 x＝4 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k′，求证：k·k′为定值．【解】(1)因为△EFF1 的周长为 8，所以 4a＝8，所以 a2＝4，⼜椭圆 C 与圆 x2＋y2＝3 相切，故 b2＝3，所以椭圆 C 的⽅程为x42＋y32＝1． (2)由题意知过点 F2(1，0)的直线 l 的⽅程为 y＝k(x－1)，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线 l 的⽅程 y＝k(x－1)代⼊椭圆C 的⽅程x42＋y32＝1，整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0 恒成⽴，且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132．直线 AE 的⽅程为 y＝x1y－1 2(x－2)，令 x＝4，得点 M4，x12－y12，直线 AF 的⽅程为 y＝x2y－2 2(x－2)，令 x＝4，得点 N4，x22－y22，所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2．所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x2y1－2 2－0＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y(1x－1＋2(xy21)＋＋y42)＝第3页/共14页13·2kxx11xx22－－23(kx(1x＋1＋x2x)2＋)＋44k，将 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132代⼊上式得 k′＝13·2k·444k4kk2k22－2＋－＋131232－－23×k4·k482kk8＋22k＋23＋3＋44k＝－1k，所以 k·k′为定值－1．【由题悟法】定值问题常见的 2 种求法： (1)从特殊⼊⼿，求出定值，再证明这个值与变量⽆关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从⽽得到定值．类型三存在性问题已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)以 2，0 为顶点，且离⼼率为12．(1)求椭圆 E 的⽅程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x＝－4 相交于 Q 点，P 是椭圆E 上⼀点且满⾜ OP ＝ OA ＋ OB (其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在⼀点 T，使得 OP ·TQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及 OP ·TQ 的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)已知 2，0 为椭圆 E 的顶点，即 a＝2．⼜ac＝12，故 c＝1，b＝ 3．所以椭圆 E 的⽅程为x42＋y32＝1．y＝kx＋m， (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．联⽴3x2＋4y2＝12. 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．－8km 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝4k2＋3，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4k62m＋3．将 P4－k28＋km3，4k62＋m 3代⼊椭圆 E 的⽅程，得4(644kk2＋2m32)2＋3(43k62m＋23)2＝1，即 4m2＝4k2＋3．设 T(t，0)，Q(－4，m－4k)．所以TQ ＝(－4－t，m－4k)， OP ＝4－k28＋km3，4k62＋m 3．32km＋8kmt 6m(m－4k) 6m2＋8km＋8kmt即 OP ·TQ ＝ 4k2＋3 ＋ 4k2＋3 ＝4k2＋3．因为 4k2＋3＝4m2，所以 OP ·TQ ＝6m2＋84kmm2＋8kmt＝32＋2k(1m＋t)．要使 OP ·TQ 为定值，只需2k(1m＋t)2＝4k2(m1＋2 t)2＝(4m2－m32)(1＋t)为定值，则 1＋t＝0，所第4页/共14页以 t＝－1，所以在 x 轴上存在⼀点 T(－1，0)，使得 OP ·TQ 为定值32．【由题悟法】存在性问题求解的 3 个注意点：存在性问题，先假设存在，推证满⾜条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在． (1)当条件和结论不唯⼀时要分类讨论； (2)当给出结论⽽要推导出存在的条件时，先假设成⽴，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规⽅法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．1．四已知、椭课圆堂C：运ax⽤22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(1，0)，右顶点为 A，且|AF|＝1．(1)求椭圆 C 的标准⽅程； (2)若动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且只有⼀个交点 P，且与直线 x＝4 交于点 Q，问：是否存在⼀个定点 M(t，0)，使得 MP ·MQ ＝0．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1(－1，0)，长轴长与短轴长的⽐是 2∶ 3． (1)求椭圆的⽅程； (2)过F1 作两直线 m，n 交椭圆于 A，B，C，D 四点，若 m⊥n，求证：|A1B|＋|C1D|为定值． 3．如图，在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 36，直线 l 与 x 轴交于点 E，与椭圆 C 交于 A，B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2 3 6． (1)求椭圆 C 的⽅程．(2)若点 E 的坐标为 23，0，点 A 在第⼀象限且横坐标为 3，过点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另⼀点 P，求△ PAB 的⾯积． (3)是否存在点 E，使得E1A2＋E1B2为定值？若存在，请求出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 1．【解】(1)由 c＝1，a－c＝1，得 a＝2，b＝ 3，故椭圆 C 的标准⽅程为x42＋y32＝1．第5页/共14页y＝kx＋m，(2)由消去 y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，3x2＋4y2＝12，所以 Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即 m2＝3＋4k2．设 P(xp，yp)，则 xp＝－3＋4km4k2＝－4mk， yp＝kxp＋m＝－4mk2＋m＝m3 ，即 P－4mk，m3 ．因为 M(t，0)，Q(4，4k＋m)，所以 MP ＝－4mk－t，m3 ， MQ ＝(4－t，4k＋m)，所以 MP ·MQ ＝－4mk－t·(4－t)＋m3 ·(4k ＋m)＝t2－4t＋3＋4mk(t－1)＝0 恒成⽴，t－1＝0，故即 t＝1．所以存在点 M(1，0)符合题意．t2－4t＋3＝0，2a∶2b＝2∶ 3， 2．【解】(1)由已知，得 c＝1，a2＝b2＋c2.解得 a＝2，b＝ 3．故所求椭圆⽅程为x42＋y32＝1． (2)由已知 F1(－1，0)，当直线 m 不垂直于坐标轴时，可设直线 m 的⽅程为 y＝k(x＋1) (k≠0)．y＝k(x＋1)，由x42＋y32＝1，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0．由于 Δ＞0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，－4k2±6 k2＋112(1＋k2)12(1＋k2)则有 x1，2＝ 3＋4k2 ，|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 3＋4k2 ．同理|CD|＝ 3k2＋4 ．所以|A1B|＋|C1D|＝123(＋1＋4kk22)＋123(k12＋＋k42)＝172((11＋＋kk22))＝172．当直线 m 垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，所以|A1B|＋|C1D|＝13＋14＝172．综上，|A1B|＋|C1D|为定值172．3．【解】(1)由ac＝ 36，设 a＝3k(k>0)，则 c＝ 6k，b2＝3k2，所以椭圆 C 的⽅程为9xk22＋3yk22＝1．因为当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，AB＝23 6，即 xA＝xB＝ 6k，第6页/共14页代⼊椭圆⽅程，解得 yA＝k，yB＝－k 或 yA＝－k，yB＝k，于是 2k＝23 6，即 k＝ 36，所以椭圆 C 的⽅程为x62＋y22＝1． (2)将 x＝ 3代⼊x62＋y22＝1，解得 y＝±1．因为点 A 在第⼀象限，所以 A( 3，1)．⼜点E的坐标为23，0，所以kAE＝2 ，直线 3EA的⽅程为y＝23x－23＝23 3x－1，y＝23 3x－1，由x62＋y22＝1，得 B－ 53，－75．⼜ PA 过原点 O，所以 P(－ 3，－1)，PA＝4，直线 PA 的⽅程为 x－ 3y＝0，所以点 B 到直线 PA 的距离 h＝－53＋7 5 23 ＝353，S△ PAB＝12PA·h＝12×4×35 3＝65 3．(3)假设存在点 E，使得E1A2＋E1B2为定值，设 E(x0，0)(x0≠± 6)，当直线 AB 与 x 轴重合时， E1A2＋E1B2＝(x0＋1＋ 6)2 (6－1 x0)2＝1(62－＋x220x)220，当直线 AB 与 x 轴垂直时，E1A2＋E1B2＝21－2 x620＝6－6 x20，由1(62－＋x220x)202＝6－6 x20，得 x0＝± 3，6－6 x20＝2，所以若存在点 E，此时 E(± 3，0)，E1A2＋E1B2为定值 2．根据对称性，只需考虑直线 l 过点 E( 3，0)的情况，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的⽅程x＝my＋ 3，为 x＝my＋ 3，由x62＋y22＝1，得(m2＋3)y2＋2 3my－3＝0，－2 3m－3所以 y1＋y2＝ m2＋3 ， y1y2＝m2＋3．( ) ⼜E1A2＝x1－1 32＋y21＝m2y211＋y21＝(m2＋1 1)y21，E1B2＝(x2－ 13)2＋y22＝m2y221＋y22＝(m2＋1 1)y22，第7页/共14页所以E1A2＋E1B2＝(m2＋1 1)y21＋(m2＋1 1)y22＝(y1(＋m2y＋2)21－)y221yy221y2＝((mm1222＋＋m312))2·＋(mm2＋926＋3)32＝2，综上所述，存在点 E(± 3，0)，使得E1A2＋E1B2为定值 2．五、课堂⼩结1．定值问题的求解策略： (1)可以从⼀般的情形进⾏论证，即⽤类似⽅程 ax＋b＝0 恒有解的思路来解决问题； (2)也可以运⽤从特殊到⼀般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对⼀般情形也成⽴． 2．最值问题的求解策略： (1)如果建⽴的函数是关于斜率 k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况； (2)如果建⽴的函数是关于点(x，y)的函数，可以考虑⽤代⼊消元、基本不等式、三⾓换元或⼏何解法来解决问题．六、课后作业1．对任意实数 a，直线 y＝ax－3a＋2 所经过的定点是________． 2．若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆x52＋y42＝1 的交点个数为________． 3．已知椭圆的中⼼在坐标原点，焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是⼀个⾯积为 4 的正⽅形，设 P 为该椭圆上的动点，C，D 的坐标分别是(－2，0)， ( 2，0)，则 PC·PD 的最⼤值为________． 4．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率是 36，过椭圆上⼀点 M 作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若点 A，B 关于原点对称，则 k1·k2 的值为________．答案与解析 1．【解析】直线⽅程即为 y－2＝a(x－3)，因此当 x－3＝0 且 y－2＝0 时，这个⽅程恒成⽴，故直线系恒过定点(3，2)．【答案】(3，2) 2．【解析】因直线与圆没有公共点，所以圆⼼到直线的距离 4 >2，则 m2＋n2<4，m2＋n2 可以判断出点(m，n)在椭圆的内部，故过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为 2．第8页/共14页【答案】2 3．【解析】设椭圆⽅程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，半焦距为 c，则由条件，得 b＝c，b2＋c2＝4，解得 b＝c＝2，于是 a＝2，从⽽ C、D 就是椭圆的焦点，于是 PC＋PD＝2a＝4，由基本不等式得 PC·PD≤PC＋2 PD2＝4，即 PC·PD 的最⼤值为 4．【答案】44．【解析】设 M(x0，y0)，A(x1，y1)，则 B(－x1，－y1)，从⽽ k1·k2＝yx11－－yx00·－－yx11－－yx00＝xy2121－－xy2002，ax202＋by202＝1，⼜ax122＋by212＝1，x20－x21 y21－y20 两式相减得 a2 ＝ b2 ，故k1·k2＝－ba22，⼜e＝36，所以ba22＝13，故k1·k2＝－13．【答案】－131．如图，已知 A1，A2，B1，B2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点，△ A1B1B2 是⼀个边长为 2 的等边三⾓形，其外接圆为圆 M． (1)求椭圆 C 及圆 M 的⽅程；(2)若点 D 是圆 M 劣弧 A1B2 上⼀动点(点 D 异于端点 A1，B2)，直线 B1D 分别交线段 A1B2，椭圆 C 于点 E，G，直线 B2G 与 A1B1 交于点 F．①求GEBB11的最⼤值；②试问：E，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，且过点 P 22，12，记椭圆的左顶点为 A．(1)求椭圆的⽅程； (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B，C 两点，试求△ ABC ⾯积的最⼤值； (3)过点 A 作两条斜率分别为k1，k2 的直线交椭圆于 D，E 两点，且 k1k2＝2，求证：直线 DE 恒过⼀个定点． 3．在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率 e＝12，直线 l：x－ my－1＝0(m∈R)过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆 C 于 A，B 两点．第9页/共14页(1)求椭圆 C 的标准⽅程．(2)已知点 D52，0，连结 BD，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1，设直线 l1 与直线 BD 交于点P，试探索当 m 变化时，是否存在⼀条定直线 l2，使得点 P 恒在直线 l2 上？若存在，请求出直线 l2 的⽅程；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1，A，B 是四条直线 x＝±2，y＝±1 所围成的两个顶点．(1)设 P 是椭圆 C 上任意⼀点，若 OP ＝m OA ＋n OB ，求证：动点 Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的⽅程；(2)若 M，N 是椭圆 C 上两个动点，且直线 OM，ON 的斜率之积等于直线 OA，OB 的斜率之积，试探求△ OMN 的⾯积是否为定值，说明理由．答案与解析1．【解】(1)由题意知 B2(0，1)，A1(－ 3，0)，所以 b＝1，a＝ 3，所以椭圆 C 的⽅程为x32＋y2＝1．易得圆⼼ M－ 33，0，A1M＝2 3 3，所以圆 M 的⽅程为x＋ 332＋y2＝43．(2)设直线 B1D 的⽅程为 y＝kx－1k<－ 33，与直线 A1B2 的⽅程 y＝ 33x＋1 联⽴，解得点 E23k－3 1，3k＋1 3k－1．y＝kx－1，联⽴x32＋y2＝1消去 y 并整理，得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得点 G3k62＋k 1，33kk22－＋11．①GEBB11＝||xxGE||＝3k3262k＋k－311＝3k32k－2＋13k＝1－3k＋13k2＋1＝1＋－(1 3k＋1)＋－(32k＋1)＋2≤1＋221＋2＝2＋1 2 ，当且仅当 k＝－6＋ 33时等号成⽴．所以GEBB11的最⼤值为2＋1 2．3k2－1 ②易得直线 B2G 的⽅程为 y＝3k2＋6k1－1x＋1＝－31kx＋1，与直线 A1B1 的⽅程 y＝－ 33x－13k2＋1联⽴，解得点 F－6k 3k－1，3k＋1 3k－1，第10页/共14页所以 E，F 两点的横坐标之和为23k－3 1＋－6k 3k－1＝－23．故 E，F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3．ac＝ 22， 2．【解】(1)由题意得 21a2＋41b2＝1，a2＝b2＋c2，a＝1，解得 b＝ 22，c＝2 2.所以椭圆的⽅程为 x2＋2y2＝1．(2)设 B(m，n)，C(－m，n)，则 S△ ABC＝12·2|m|·|n|＝|mn|．⼜ 1＝m2＋2n2≥2 2m2n2＝2 2|mn|，所以|mn|≤ 42，当且仅当|m|＝ 2|n|时取等号，从⽽ S△ ABC≤ 42．所以△ ABC ⾯积的最⼤值为 42． (3)因为 A(－1，0)，所以直线 AD：y＝k1(x＋1)，直线 AE：y＝k2(x＋1)．y＝k1(x＋1)，1－2k21联⽴ x2＋2y2＝1消去 y，得(1＋2k21)x2＋4k21x＋2k21－1＝0，解得 x＝－1 或 x＝1＋2k21，故点 D11－＋22kk2121，1＋2k21k12．同理，E11－＋22kk2222，1＋2k22k22．⼜ k1k2＝2，故 E8k12＋－k821，84＋k1k12．故直线DE的⽅程为y－1＋2k21k21＝8k214＋－k1k821－11＋－2k221kk2121· 8＋k21－1＋2k21x－11＋－22kk1122，即 y－1＋2k21k21＝23k1 k21＋2·x－11－＋22kk2121，即 y＝2(k321k＋1 2)x＋2(k521k＋1 2)．y＝0，所以 2yk21－(3x＋5)k1＋4y＝0．则令3x＋5＝0得直线 DE 恒过定点－53，0．3．【解】(1)在 x－my－1＝0 中，令 y＝0，则 x＝1，所以 F(1，0)．c＝1，由题设，得ac＝12，c＝1，解得从⽽ b2＝a2－c2＝3，a＝2，所以椭圆 C 的标准⽅程为x42＋y32＝1．(2)令 m＝0，则 A1，32，B1，－32或 A1，－32，B1，32．第11页/共14页当 A1，32，B1，－23时，P4，32；当 A1，－23，B1，32时，P4，－23．所以满⾜题意的定直线 l2 只能是 x＝4．下⾯证明点 P 恒在直线 x＝4 上．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于 PA 垂直于 y 轴，所以点 P 的纵坐标为 y1，从⽽只要证明 P(4，y1)在直线 BD 上．x－my－1＝0，由x42＋y32＝1消去 x，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0．－6m－9因为 Δ＝144(1＋m2)>0，所以 y1＋y2＝4＋3m2，y1y2＝4＋3m2．①因为 kDB－kDP＝yx22－－052－y41－－250＝my2＋y21－52－y321＝32y2－ 32my1y2m－y232－ 32＝y1＋my2y－2－23m32 y1y2．将①式代⼊上式，得 kDB－kDP＝0，所以 kDB＝kDP．所以点 P(4，y1)在直线 BD 上，从⽽直线 l1、直线 BD 与直线 l2：x ＝4 三线恒过同⼀点 P，所以存在⼀条定直线 l2：x＝4，使得点 P 恒在直线 l2 上． 4．【解】(1)易求 A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则x402＋y20＝1．由OP＝mOA＋nOBx0＝2(m－n)，，得y0＝m＋n，4(m－n)2 所以 4 ＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝12．故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝12上．(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则yx11yx22＝－14．平⽅得 x21x22＝16y21y22＝(4－x21)(4－x22)，即 x21＋x22＝4．因为直线 MN 的⽅程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，| | x1y2－x2y1所以 O 到直线 MN 的距离为 d＝，(x2－x1)2＋(y2－y1)2所以△ OMN 的⾯积S＝12MN·d＝12|x1y2－x2y1|＝12 x21y22＋x22y21－2x1x2y1y2＝121 2x21＋x22＝1．故△ OMN 的⾯积为定值 1．x211－x422＋x221－x421＋21x21x22＝第12页/共14页1．在平⾯直⾓坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，且经过点1， 26，过椭圆的左顶点 A 作直线 l⊥x 轴，点 M 为直线 l 上的动点(点 M 与点 A 不重合)，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P． (1)求椭圆 C 的⽅程； (2)求证：AP⊥OM；(3)试问 OP ·OM 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．答案与解析1．【解】(1)因为椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离⼼率为 22，所以 a2＝2c2，⼜ c2＝a2－b2，所以 a2＝2b2．⼜椭圆 C 过点1， 26，所以21b2＋23b2＝1．所以 a2＝4，b2＝2．所以椭圆 C 的⽅程为x42＋y22＝1．(2)法⼀：设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的⽅程为 y＝k(x－2)．设 P(x1，y1)，将 y＝k(x－2)代⼊椭圆 C 的⽅程x42＋y22＝1 中并化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，解得4k2－2 x1＝2k2＋1，x2＝2，所以－4k y1＝k(x1－2)＝2k2＋1，从⽽P42kk22－＋21，－2k42＋k 1．令 x＝－2，得 y＝－4k，所以 M(－2，－4k)， OM ＝(－2，－4k)．⼜ AP ＝42kk22－＋21＋2，－2k42＋k 1＝2k82k＋2 1，－2k42＋k 1，所以 AP ·OM ＝－ 2k21＋6k12＋21k26＋k21＝0，所以 AP⊥OM．法⼆：设 P(x0，y0)．因为 A(－2，0)，B(2，0)，所以 kPA·kPB＝x0y＋0 2·x0y－0 2＝x20y－20 4．⼜因为 P 在椭圆上，所以x420＋y220＝1，所以 y20＝21－x420．所以 kPA·kPB＝12(x420－－x420)＝－12．因为 kPB＝kMB＝－tan∠MBA＝－MABA， kMO＝－tan∠MOA＝－MAOA，所以 kPB＝12kMO．因为 kPB＝－kPA21，所以 kMO·kPA＝－1，即 AP⊥MO．第13页/共14页(3)设 M(－2，t)，P(x0，y0)．由(2)得 AP⊥MO．所以 kAP＝x0y＋0 2，kOM＝－t 2．所以kAP·kOM＝－2(txy00＋2)＝－1．所以2(x0＋2) t＝ y0 ．所以 OP ·OM ＝(x0，y0)·－2，2(x0y＋0 2)＝－2x0＋y0·2x0y＋0 4＝4．所以 OP ·OM 为定值 4第14页/共14页。
椭圆中的最值、定值(一)
椭圆中的最值和定值问题一 椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过动点问题一般不会出现，椭圆中的定值问题包括以下几个方面： 1、与椭圆有关的直线过定点(1)00)(y x x k y +-=表示横过定点),(00y x 的直线；(2)0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的交点；2、与椭圆有关的圆过定点问题0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ表示横过直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程； 3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如),(,,,,y x c b a k 等值的变化，此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解； 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。
此类问题主要是建立参数)),((y x k 或如的函数，运用函数或基本不等式求值；探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。
例1 椭圆1422=+y x 的左顶点为A ，过A 做两条相互垂直的弦AN AM ,交椭圆于N M ,两点(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点；若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请给出理由。
例2 椭圆的两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆过)23,1( (1)求椭圆的标准方程；(2)过)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为左顶点，试判断MAN ∠是否为定值；探究二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数：一是关于k 的函数，二是关于点),(y x 的函数；例3 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆于y 轴交于B A ,两点，其右准线与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆弧AC 上一点 (1)求证：T C A ,,三点共线；(2)如果FC BF 3=，四边形APCB 的最大面积是326+，求此时椭圆的方程和点P 的坐标；探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中，题目中往往存在多种曲线混合，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值问题。
椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。
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椭圆中的最值问题与定点、定值问题
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；
（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，
2
2
01)(||y c x PF ++=，由 1
220220=+b y a x 得)1(2202
0a
x b y -=，将其代入 2
0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a
c
PF +=
01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a
c
PF +=+⋅=
max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a a
c
PF -=+-⋅=
)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12
22
=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线2
1
+
=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x m
y +-
=1。
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+b
x m y y x 1122
2，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x m
y +-=1
与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以04
222
2
>+
+-=∆m b 。
-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2
4221+=
+m mb
x x ，
B
A
O
x
y
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=
+-=+=+=21 22222221m b m b x m y m mb x x x M M M 。
将线段AB 的中点)2,22(2
22++m b m m mb M 代入直线2
1
+=mx y ，解得2
222m m b +-=。
------② 由①②得3
636>-
<m m 或。
(2)令)2
6,0()0,26(1 -∈=
m t ， 则[]
2122124)()1(1||x x x x m AB -+⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=
=2
1
232212242
+
++-⋅+t t t t ，
且O 到直线AB 的距离为1
2122++
=
t t d 。
设AOB ∆的面积为)(t S ，所以2)21(221||21)(22+--=⋅=
t d AB t S 2
2≤， 当且仅当2
1
2
=
t 时，等号成立。
故AOB ∆面积的最大值为22。
2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解 (1)由⎩⎨⎧
4x 2＋y 2＝1，
y ＝x ＋m
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－
52≤m ≤52.
(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15
(m 2
－1)，
所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝
()
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--154254222m m ＝25
10－8m 2.
所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
跟踪训练2 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A
且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →
＝9.
(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围. 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°，
即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|.
∵AB
→·AP →＝9， ∴|AB →||AP →|cos 45°＝2|AP →|2cos 45°＝9， ∴|AP
→|＝3.
(1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →
|＝2，
即b ＝2，且B (3,1).
∵B 在椭圆上，∴9a 2＋1
4＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .
显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2
＝3(3－t )23－2t . ∵a 2
>b 2
>0，∴3(3－t )2
3－2t
>(3－t )2>0.
∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t >0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.
二、椭圆中的定点和定值问题
解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。
解决此类问题的方法有两种： （1）进行一般计算、推理求出结果； （2）通过检查特殊位置，探索出“定点”“定值”，然后再进行一般性证明或计算。
2.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：（1）根据题意可设椭圆方程)0( 12222>>=+b a b
y a x ，
由已知得⎩⎨⎧=-=+13c a c a ，解得⎩⎨⎧==1
2c a 3122
2=-=∴b ，
所以椭圆的标准方程为13
42
2=+y x 。
(2)设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
22y x m kx y 得0)3(48)43(2
22=-+++m mkx x k ，
则由题意得0)3)(43(16642
2
2
2
>-+-=∆m k k m ，
即04322>-+m k ，且⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=
⋅+-=+22
2122
143)3(4438k m x x k mk x x ， 又))((2121m kx m kx y y ++=⋅=2
21212
)(m x x mk x x k +++=2
2243)
4(3k
k m +-， 设椭圆的右顶点为D 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点)0,2(D
1-=⋅∴BD AD k k ，即
12
22211-=-⋅-x y
x y ，04)(2212121=++-+∴x x x x y y ， 04431643)3(443)4(32
22222=++++-++-∴k
mk k m k k m ，化简整理得0416722=++k mk m ， 解得7
2,221k m k m -
=-=,且均满足0432
2>-+m k 。
当k m 21-=时。
l 的方程为)2(-=x k y ，直线过定点)0,2(D ，与已知矛盾；
当721k m -
=时，l 的方程为)72(-=x k y ，直线过定点)0,7
2
(。
所以直线l 过定点，定点的坐标为)0,7
2
(。