福建省厦门市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题及答案
2019-2020学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A ＝{x |2x ＞1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，2]B ．（0，2]C ．（0，+∞）D ．[﹣2，+∞）2．（5分）已知向量a →=（1，2），a →+b →=（m ，4），若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．33．（5分）已知扇形的圆心角为2π3，面积为4π3cm 2，则扇形的半径为（ ） A ．12cmB ．1cmC ．2cmD ．4cm4．（5分）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100NB ．50√3NC ．50ND ．50√33N5．（5分）已知a ＝0.20.3，2b ＝0.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b6．（5分）已知点（m ，n ）在函数y ＝log 2x 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．（m 2，n 2）B ．（2m ，2n ）C ．（m +2，n +1）D ．(m2，n −1)7．（5分）已知函数f （x ）＝sin x +|sin x |，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x +π）＝f （x ）B ．f （x ）的值域为[0，1]C ．f （x ）在[π2，π]上单调递减D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称8．（5分）若函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0] B ．（﹣∞，0]C ．（﹣∞，﹣4]D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 2 10．（5分）已知函f （x ）＝ln （√x 2+1+1），则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）有最小值 C ．f （x +2）＞f （x +1）D ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根E ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）如图，全集U ＝N *，A 是小于10的所有偶数组成的集合B ＝{x ∈N *|x ≥5}，则图中阴影部分表示的集合为 ．12．（5分）已知函数y ＝a x ﹣2+3（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数y ＝f （x ）的图象上，则f （x ）＝ ．13．（5分）已知tan α＝3，π＜α＜3π2，则cos α﹣sin α＝ ．14．（5分）在四边形ABCD 中，若AC →+CB →+CD →=0→，且|AB →|=|AC →|=|AD →|＝4，则△BCD 的面积为 ．15．（5分）若函数f(x)=1x−1，g(x)=2cos(π3x +π6)，则f （x ）+f （2﹣x ）＝ ：当x ∈[﹣7，7]时，方程f （x ）＝g （x ）的所有实数根的和为 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|（3﹣[x ]），x ∈[0，2），若f(x)=52，则x ＝ ；不等式f （x ）≤x 的解集为 ． 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(√32，12)为单位圆上一点，射线OA 绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为y ＝f （θ）． （1）求函数y ＝f （θ）的解析式，并求f(π2)+f(2π3)； （2）若f(θ)=13，求cos(θ−π3)−sin(θ+7π6)的值．18．（12分）设函数f(x)=x +1x ，x ∈（1，+∞）． （1）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程x 2﹣ax +1＝0在[2，3]上有解，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示AC →，AE →； （2）求AE →与AB →夹角的余弦值．20．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．。
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；{5}Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．32．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈<D ．{|0}x Z x ∈ 3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 34．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．326．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C．D．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．111．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =；14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有个；1523x +<的解集为．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．19．已知函数31()log 1xf x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42xtf x +对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：元素与集合之间不能用包含关系，故2{1⊆，2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈“，故{0}∅∈错误；Q ，∴Q ⊆错误；空集是任何非空集合的真子集，故{0}∅Ü正确．故选：B ．2．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈< D ．{|0}x Z x ∈ 【解答】解：{|4}U x Z x =∈ ，{|23}{0A x N x =∈-<= ，1，2，3}，{|0}{4}U A x Z x ∴=∈< ð．故选：C ．3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 3【解答】解：根据题意，函数()32x f x =-，若()320x f x =-=，解可得3log 2x =，即函数()f x 的零点为3log 2x =，故选：A ．4．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞【解答】解：函数1()(2)4f x ln x x =-+-中，令2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且4x ≠；所以函数()f x 的定义域是(2，4)(4⋃，)+∞．故选：D ．5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．32【解答】解：根据题意，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则f （3）0=，(f f （3）)(0)1f ==，同时有11,02()226,23x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-+<⎩ ，则((f f f （3）))f =（1）32=；故选：D ．6．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩ ，在1(1,2--上为增函数，不符合题意；故选：A ．7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<【解答】解：5log 2(0,1)a =∈，0.9log 1.10b =<，0.921c =>．b a c ∴<<．故选：B ．8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞【解答】解：()f x 为定义在实数集上的偶函数，f ∴（3）(3)0f =-=，又()f x 在[0，)+∞上是增函数，则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<，解可得，12x <<，故选：A ．9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，33()[()2()]||(2)||()f x x x ln x x x ln x f x -=-+--=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x →+∞，()f x →+∞，排除D ，故选：C ．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：函数()25x f x e x -=--是连续减函数，2(2)10f e -=->，(1)30f e -=-<，(2)(1)0f f ∴--< ，函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(2,1)--即(,1)m m +上，所以2m =-．故选：A ．11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【解答】解：设经过n 年后的投入资金为y 万元，则5000(120%)5000 1.2n n y =+=⨯，令5000 1.212800n ⨯>，即1.2 2.56n >，两边取对数可得81.2 2.56228220.408nlg lg lg lg >=-=-=，0.4085.160.079n ∴>≈，故第6年即2025年的投资开始超过12800万元．故选：C ．12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ 的图象如图：若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．由图象可知：122x x +=-；所以①不正确；341x x =所以②正确；由图象412x <<所以③正确；121x -<<-，221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈，所以123401x x x x <<④正确．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =16；【解答】解：由幂函数()a f x x =的图象过点(64,2)，则642a =，解得16a =．故答案为：16．14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个；【解答】解：{0M ⋃ ，2}{0=，2}，{0M ∴⊆，2}，又集合{0，2}的子集共有224=个，∴满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个．故答案为：4．1523x +<的解集为[0，1)．【解答】解：由于函数2x y =+的定义域为[0，)+∞，且是增函数，当0x =23x +<成立，当1x =时，23x y =+=，23x >的的解集为[0，1)，故答案为：[0，1)．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是1(,)2-∞-．【解答】解：由题意作出函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 的图象，关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根等价于函数()y f x =与2y m =-有两个不同的公共点，f （1）1=，由图象可知当21m ->，解得1(,2m ∈-∞-时，满足题意，故答案为：1(,2-∞-．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当2m =时，{|23}B x x =-<<．∴{|2U C B x x =- 或3}x ，{|04}A x x =<< ，(){|34}U A C B x x ∴=< ．（2）由A B A = ，得B A ⊆，①当B =∅时，1m m -+ ，解得12m - ．②当B ≠∅时，由B A ⊆，得：0141m m m m -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩，解得102m -< ，综上，m 的取值范围是(-∞，0]．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．【解答】解：（1）原式3(0.25)40.25x x x ---===．（2）原式22362324224532()16183399log log log ⨯=-+-=-+-=-．19．已知函数31()log 1x f x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．【解答】解：（1） 31()log 1x f x x +=-，3311()log ()11x x f x log f x x x-+∴-==-=-+-，()f x ∴在(1,1)-上为奇函数；（2）()f x 在14[,25-上的单调递增，1()(12min f x f ∴=-=-，4()()25max f x f ==，()f x ∴在14[,25-上的值域[1-，2]．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩ ，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）()1000800G x x =+，24003200800,05()()()10004600,510x x x f x R x G x x x ⎧-+-∴=-=⎨-<⎩．（2）当05x 时，2()400(4)5600f x x =--+，故当4x =时，()f x 取得最大值5600；当510x < 时，()10004600f x x =-为增函数，故当10x =时，()f x 取得最大值10001046005400⨯-=．综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元．21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42x t f x + 对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由00(0)2214f k k =+=+= ，得3k =；（2）由（1）得()232x x f x -=+ ，3()log 2ax g x ∴=，∴不等式()0g x >即3()log 02a x g x =>当1a >时，由3log 0log 12a a x >=，∴31232x x >∴<，2log 3x ∴<；当01a <<时，由3log 0log 12aa x >=，∴31232x x <∴>，2log 3x ∴>；故当1a >时，不等式()0g x >的解集2(,log 3)-∞；当01a <<时，不等式()0g x >的解集2(log 3，)+∞；（3）由（1）及()42x t f x + 得23242x x x t -++ ，2(2)423x x t ∴-⨯+ ，而22(2)423(22)1x x x -⨯+=--，∴当1x =时，2(2)423x x -⨯+取得最小值1-，1t ∴- ，∴()42x t f x + 对x R ∈恒成立时，t 的取值范围是(-∞，1]-．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>开口向上，对称轴方程为1x =；()f x ∴在[2，3]上单调递增；则f （2）441a a b =-+=，f （3）964a a b =-+=；所以3a =，1b =；（2）()1()36f x g x x x x==--；存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立；设2log t x =，[2x ∈，4]，则[1t ∈，2]；即1362t kt t-- 在[1t ∈，2]上有解；21123k t t∴-- ；设211()3h t t t =--，当[1t ∈，2]时，()h t 的最大值为14-；所以18k - ；故k 的取值范围：18k - ；。
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福建省厦门一中高一上学期期中考试（数学）【答卷说明】 选择题的答案填到答题卡上，填空题与解答题的答案，写在答题卷上，交卷时交答题卡与．．．．．答题卷．．．. 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设实数集为R ，若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则()R A B =I ðA 、 {|2}x x <B 、{|2}x x ≥C 、{|12}x x ≤<D 、{|22}x x <≤2、下列关系正确的是①23{|,}y y x x R π∈=-∈ ②{,}x y ={,}y x ，其中x ≠ y③22{(,)|0,,}x y x y x R y R +=∈∈2{(,)|}x y y x = A 、①②B 、①③C 、②③D 、①②③ 3、如果函数221y x ax =++在[－1, 2]上递增，则a 满足的条件是A 、a ≥1B 、2a ≥C 、a ≤１D 、a ≤－24、函数2()4log f x x x =-+的零点所在的区间是A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）5、计算2(lg 2)lg 2lg5lg5+⋅+所得结果是A 、1B 、2C 、lg2D 、lg46、如果22log 2x x x <<，那么x 的取值范围是 A 、（1，2） B 、(1，3) C 、（1, 4） D 、（2, 4）7、下列各式关系正确的是A 、0.80.71133> B 、0.50.5log 0.4log 0.6> C 、0.10.10.750.75-< D 、lg1.6lg1.4<8、若函数(2)(2)()2(2)x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则f (－2)的值等于 A 、18 B 、12 C 、14D 、2 9、函数()f x ＝x 2 -2mx+m 2 -1的两个零点都在区间（-2，4）内，则实数m 的取值范围是A 、（－2，2）B 、(－1，3)C 、（1, 4）D 、（－2, 3）10、函数3()lg(21)x f x x -=-的定义域是A 、1(,3)2B 、1(,3]2C 、1(,1)(1,3)2UD 、1(,1)(1,3]2U二、填空题（共5小题，每小题4分，共11、已知()22x f x ax =⋅+，若(2)15,f -= 则(2)f 等于12、设01,x <<若16x x-+=，则1122x x --＝ 13、方程1303x --=实根的个数是 14、若偶函数)(x f 在(],0-∞上是增函数，那么3()(1)(2)2f f f --、、中最大的是15、已知a >0, a ≠1，如果5log 14a<，那么a 的取值范围是三、解答题（6题，共80分）16、（13分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2f x x =-，(1)用分段函数写出()f x 在R 上的解析式；(2)求不等式1()2f x <的解集。
福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 求 的值.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点 在抛物线上.
15.如图，直线y＝ 3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝ (k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ (k≠0)上的点D1处，则a＝_____．
16.已知 中，点 ， ， .则 面积为________.
①
④
②
⑤
③
A.①或③B.②或③C.①或④D.以上选项都可以
7.如图，平面直角坐标系中.直线 分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边 ，以AO为边向左作等边 ，连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为（）
A. B. C. D.
8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图的Rt△ACB，∠C=90°.∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以 类比这种方法，若已知锐角α的正弦值为 锐角β的余弦值为 则α+β=（）
20.如图，斜坡AB长130米，坡度 现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建 斜坡BE的坡角为 求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为 他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为 此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin 3）
2019-2020学年福建省厦门一中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ＝{x|1≤x ≤4, x ∈N}，B ＝{x|6<2x <33, x ∈N}，则(∁U A)∩B ＝（ ） A.{0, 5, 6} B.{0, 5} C.{1} D.{5} 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】∵ U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{1, 2, 3, 4}，B ＝{3, 4, 5}， ∴ ∁U A ＝{0, 5, 6}，(∁U A)∩B ＝{5}．2. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A.f(x)=1xB.f(x)＝lgxC.f(x)＝e x−e −x D.f(x)＝|x|【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易看出选项A ，C 的函数为奇函数，选项B 的函数为非奇非偶函数，偶函数的只能选D ． 【解答】f(x)=1x 和f(x)＝e x −e −x 都是奇函数，f(x)＝lgx 为非奇非偶函数，f(x)＝|x|为偶函数．3. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x,x >1 ，则f （f(3)）＝（ ）A.139B.3C.23D.15【答案】 A【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】求出f(3)=23，从而f （f(3)）＝f(23)＝(23)2+1，由此能求出f （f(3)）． 【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1,x ≤12x ,x >1 ，∴ f(3)=23，f （f(3)）=f(23)=(23)2+1=139．4. 函数f(x)＝x 3+lgx −18的零点所在的区间为（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4) 【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 【解答】∵ 函数f(x)＝x 3+lgx −18在定义域内是连续增函数；f(2)＝8−18+lg2<0，f(3)＝27−18+lg3＝9+lg3>0； ∴ f(2)f(3)<0， 根据零点存在性定理，f(x)的零点在区间(2, 3)上，5. 设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <b D.b <c <a 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】a ＝60.4>1，0<b ＝log 0.40.5<log 0.40.4＝1，c ＝log 50.4<0， 则a ，b ，c 的大小关系是c <b <a ．6. 若4m ＝3n ＝k ，且2n +1m =1，则k ＝（ ） A.18B.26C.36D.42【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求出k 的值． 【解答】∵ 4m ＝3n ＝k ，∴ m ＝log 4k ，n ＝log 3k ， ∴ 2n +1m =2log 3k+1log 4k=2log k 3+log k 4＝log k 9+log k 4＝log k 36＝1，∴ k ＝36，7. 已知幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，则函数g(x)＝(2x −1)f(x)在区间[12, 2]上的最小值是（ ） A.−1B.0C.−2D.32【答案】 B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，求出f(x)=x −1=1x ，从而函数g(x)＝2−1x ，进而g(x)在区间[12, 2]上是增函数，由此能求出函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值． 【解答】∵ 幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)， ∴ 13=3n ，解得n ＝−1， ∴ f(x)=x −1=1x ， ∴ 函数g(x)＝(2x −1)f(x)=2x−1x=2−1x，∴ g(x)在区间[12, 2]上是增函数，∴ 函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值是g(12)＝2−112=0．8. 若f(x)是奇函数，当x <0时，f(x)的解析式是f(x)＝x(1−x)，当x >0时，f(x)的解析式是（ ） A.−x(1−x) B.x(1−x) C.−x(1+x) D.x(1+x) 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法 【解析】当x >0时，−x <0，利用函数是奇函数，代入即可求函数的解析式． 【解答】任取x >0，−x <0，则f(−x)＝−x(1+x)，因为f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−x(1+x)＝−f(x)， 解得f(x)＝x(1+x)，即当x >0时，f(x)＝x(1+x)，9. 已知函数f(x)＝|log 2(x +1)|，若f(m)＝f(n)，m ≠n ，则1m +1n 等于（ ） A.1 B.−1 C.0D.2【答案】 B【考点】对数函数的图象与性质【解析】由已知可知，|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，结合m≠n，及对数的运算性质可知(m+ 1)(n+1)＝1，整理即可求解．【解答】f(x)＝|log2(x+1)|，且f(m)＝f(n)，∴|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，∵m≠n，∴log2(m+1＝−log2(n+1)，(m+1)(n+1)＝1即mn+m+n＝0，则1m +1n=−1．10. 函数f(x−4√x−2)的定义域为[3, 27]，则函数f(x)的定义域为（）A.[−2, 7]B.[−1, 7]C.[−2, −1]D.[3, 27]【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用换元法，结合复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．【解答】设t＝x−4√x−2，s=√x−2，则x＝s2+2，则t＝s2+2−4s，∵x∈[3, 27]，∴s∈[1, 5]，则t＝(s−2)2−2∈[−2, 7]．即函数f(x)的定义域为[−2, 7]．二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的．多选不给分，少选给3分．已知函数f(x)＝lg(x2+ax−a−1)，给出下述论述，其中正确的是（）A.当a＝0时，f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞)B.f(x)一定有最小值C.当a＝0时，f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．【解答】对于B选项，令u(x)＝x2+ax−a−1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的∵y＝lgu是单调递增的，而u＝x2+ax−a−1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值．∴B选项错误（1）对于选项C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2−1)中的u＝x2−1中的u能够取到所有的正数，∴f(x)的值域为R，∴C选项是正确的（2）对于选项D，∵复合函数y＝lg(x2+ax−a−1)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的，而y＝lgu在定义域内是单调递增的，又∵y＝f(x)在区间[2, +∞)上单调递增的，由复合函数的单调性可知，∴ u ＝x 2+ax −a −1在区间[2, +∞)上是单调递增的，则有−a2≤2，即a ≥−4．−−−−−(1)又∵ x 2+ax −a −1>0在区间[2, +∞)上是恒成立的，则有22+2a −a −1>0即a >−3−−−(2)∴ a >−3，所以，选项D 是错误的． 故选：AC ．已知函数f(x)={kx +1,x ≤0log 2x,x >0 ，下列是关于函数y ＝f[f(x)]+1的零点个数的4个判断，其中正确的是（ ） A.当k >0时，有3个零点 B.当k <0时，有2个零点 C.当k >0时，有4个零点 D.当k <0时，有1个零点 【答案】 C,D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由y ＝0得f[f(x)]＝−1，利用换元法将函数分解为f(x)＝t 和f(t)＝−1，作出函数f(x)的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】由y ＝f[f(x)]+1＝0，得f[f(x)]＝−1，设f(x)＝t ，则方程f[f(x)]＝−1等价为f(t)＝−1， ①若k >0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有两个根其中t 2<0，0<t 1<1， 由f(x)＝t 2，<0，知此时x 有两解， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f[f(x)]+1有4个零点． ②若k <0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有一个根t 1，其中0<t 1<1， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 只有1个解， 即函数y ＝f[f(x)]+1有1个零点．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知f(2x)＝4x 2+4x ，则f(x)＝________． 【答案】 x 2+2x ， 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】由f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)，即可求解f(x)． 【解答】∵ f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)， 则f(x)＝x 2+2x ，计算(49)−12+3log 314−lg5+√(lg2)2−lg4+1，其结果是________．【答案】74【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出． 【解答】原式=32+14−lg5+1−lg2=74．函数f(x)＝x|x −2|的单调减区间为________． 【答案】 [1, 2] 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间． 【解答】当x >2时，f(x)＝x 2−2x ， 当x ≤2时，f(x)＝−x 2+2x ，这样就得到一个分段函数f(x)={x 2−2x,x >2−x 2+2x,x ≤2． f(x)＝x 2−2x 的对称轴为：x ＝1，开口向上，x >2时是增函数； f(x)＝−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x ＝1，则x <1时函数是增函数，1<x <2时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1, 2]．已知f(x)＝9x−t ⋅3x，g(x)=2x −12x +1，若存在实数a ，b 同时满足g(a)+g(b)＝0和f(a)+f(b)＝0，则实数t 的取值范围是________． 【答案】 [1, +∞) 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】先求出g(a)+g(b)＝0满足的条件，然后利用常见函数的性质即可得到结论． 【解答】若g(a)+g(b)＝0，则 2a −12a +1+2b −12b +1=(2a −1)(2b +1)+(2a +1)(2b −1)(2a +1)(2b +1)=0，整理得2a+b+1＝2，即a +b +1＝1，则a+b＝0，即b＝−a，∴f(a)+f(b)＝0等价为f(a)+f(−a)＝0有解，即9a−t⋅3a+9−a−t⋅3−a＝0，则t=32a+3−2a3a+3−a =(3a+3−a)−23a+3−a，设m＝3a+3−a，则m≥2，则t＝m−2m，在m≥2时，单调递增，即t≥2−1＝1，∴要使t=32a+3−2a3+3有解，则t≥1，四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知y＝2x，x∈[2, 4]的值域为集合A，y＝log2[−x2+(m+3)x−2(m+1)]定义域为集合B，其中m≠1．(Ⅰ)当m＝4，求A∩B；(Ⅱ)设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．【考点】对数函数的定义域交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆∁R B，”得集合A是∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．【解答】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．已知函数f(x)=x−1x（1）讨论并证明函数f(x)）在区间(0, +∞)的单调性；（2）若对任意的x∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；（2）原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，等价于2mx2−m−1m <0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，从而可得m<0，且2m−m−1m<0，进而可求实数m的取值范围．【解答】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．已知函数f(x)=log2019(3+x)−log12019(3−x)．（1）判断f(x)的奇偶性并加以证明；（2）判断f(x)的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式f(m)−f(m+1)<0．【答案】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m<−12，故不等式的解集为(−3, −12)．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】利用对数的运算性质进行化简可得f(x)＝log2019(3+x)(3−x)，（1）求出函数的定义域为(−3, 3)，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；（2）结合二次函数及复合函数的性质即可判断；（3）结合（1）（2）的奇偶性及单调性即可求解不等式．【解答】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m <−12， 故不等式的解集为(−3, −12)．已知二次函数f(x)＝mx 2−2x −3，关于实数x 的不等式f(x)≤0的解集为[−1, n]． （1）当a ≥0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1>(m +1)x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈(0, 1)，使得关于x 的函数y ＝f(a x )−3a x+1(x ∈[1, 2])的最小值为−92？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】（1）根据韦达定理得方程组求出m ，n 的值，再通过讨论a 的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m ＝1代入方程，得出y ＝(a x )2−(3a +2)a x −3，令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)，则y ＝t 2−(3a +2)t −3，得出函数的单调性，从而表示出y ＝f(t)的最小值，进而求出a 的值． 【解答】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m 2，三月底测得覆盖面积为36m 2，凤眼莲覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)与y =px 12+q(p >0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 【答案】 本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可． 【解答】本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12，1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2，当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r −3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23． 【考点】指、对数不等式的解法 函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}． (2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=r r 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0，当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．。
福建省厦门市厦门第一中学2023届数学高一上期末综合测试试题含解析
解，得到答案
【详解】由题意，函数 f x ln 1 x2 x 1，
f
lg2
f
lg
1 2
ln
1 (lg2)2 lg2
ln
1
(lg
1)2 2
lg
1 2
2
ln 1 (lg2)2 lg2 ln 1 (lg2)2 lg2 2 ln1 2 2
故选 C 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重
A.1
B. 1
C. 3 2
D.
1 2
8．已知命题 p：x 为自然数，命题 q：x 为整数，则 p 是 q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9．已知函数 f x ln
1 x2 x
1，则1 2
A.1
B. lg2
C.2 10．已知函数
D.0
，则
（）
A.5
B.2
C.0
D.1
11．下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A. y x 1
B. y tan x
C. y x3
D. y 2 x
12．已知向量 a (1, 2) ， b (x,3y 5) ，且 a / /b ，若 x ， y 均为正数，则 xy 的最大值是
故 D 正确. 故选：D. 2、C 【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求 【详解】∵由已知可得 r 12 22 22 3 ，
而|AB| (1 2)2 (2 2)2 (2 1)2 3 2 ，
∴|AB| 2 r
福建省厦门市 2019-2020学年高一上学期期末质量检测(数学)含答案
16.偶函数 满足 ，在 时， ．若存在 ， ，… ，满足 ，且 ，则 最小值为__________．
2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题下对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
22.设 是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 单调递增，在 上单调递减，则称 为 上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为： ．
（1）判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因； ；
（2）若函数 是 上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数 是区间 上的单峰函数，证明：对于任意的 ，若 ，则 为含峰区间；若 ，则 为含峰区间；试问当 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．
19. 是边长为 等边三角形， , ,过点作 交 边于点，交 的延长线于点．
（1）当 时，设 ，用向量 表示 ；
（2）当为何值时， 取得最大值，并求出最大值．
20.如图，已知单位圆（圆心在坐标原点）上一点， ，作 轴于 ， 轴于 ．
（1）比较 与 的大小，并说明理由；
（2） 的两边交矩形 的边于，两点，且 ，求 的取值范围．
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 给出下列四个关系式：①√3∈R ；②Z ∈Q ；③0∈⌀；④⌀⊆{0}.其中正确的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知全集U ={−2,−1,0，1，2}，A ={y|y =|x|,x ∈U}，则∁U A =( )A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2} 3. 已知函数f (x )={3x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的零点为( ) A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0 4. 函数f(x)=11−2x +lg(1+3x)的定义域是( ) A. (−∞ ,−13)B. (−13 ,12)∪(12,+∞)C. (12,+∞)D. (13 ,12)∪(12,+∞) 5. 已知f(x)=，则f[f(−3)]等于( ) A. 0B. πC. π2D. 9 6. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. y =x x+1B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 2 7. 已知x =log 52，y =log 2√5，z =3−12，则下列关系正确的是( ) A. x <z <yB. x <y <zC. z <x <yD. z <y <x 8. 设函数f(x)满足：①y =f(x +1)是偶函数；②在[1,+∞)上为增函数，则f(−1)与f(2)大小关系是( ) A. f(−1)>f(2) B. f(−1)<f(2) C. f(−1)=f(2) D. 无法确定9. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A. B.C. D. 10. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<411. 某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25％，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆(参考数据：lg1.25≈0.097，lg1.3≈0.11，lg4≈0.60)( )A. 2021年B. 2022年C. 2023年D. 2024年12. 已知函数f (X )={log 5(1−x )(x −1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f (x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数y ﹦x a 的图象经过点(4,2)，则f(16)的值是___________．14. 已知集合A ={a,b}，B ={a,b ，c ，d ，e}，满足条件A ⊆M ⊆B 的集合M 的个数为______．15. 已知函数f(x)=12x +1−x ，则f(12)+f(−12)=__________，f(x)+f(1−2x)⩽1的解集为________． 16. 函数，若方程f(x)=a 恰有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|−3<2x +1<11}，B ={x|m −1≤x ≤2m +1}(1)当m =3时，求A ∩∁R B ；(2)若A ∪B =A ，求m 的取值范围．18. 求值：log 23⋅log 34+(log 224−log 26+6)23．19. 函数f(x)=(12x −1+12)x 3．(1)判断并证明f (x )的奇偶性；(2)求证：在定义域内f(x)恒为正．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知k∈R，函数f(x)=x−k(1)若f(f(x))=x−4，求实数k的值；(2)设函数g(x)=f(x)−√x+1，若g(x)≥0在区间[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m−1)x2+x+1，(m∈R)．(1)函数ℎ(x)=f(tanx)−2在[0,π2)上有两个不同的零点，求m的取值范围；(2)当1<m<32时，f(cosx)的最大值为94，求f(x)的最小值；(3)函数g(x)=√2sin(x+π4)+m+1，对于任意x∈[−π2,0]，存在t∈[1,4]，使得g(x)≥f(t)，试求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系及集合的特点，是基础题．利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系，逐一判断即可．【解答】解：①，元素与集合之间应用符号“∈，∉”，故√3∈R，正确；②，集合与集合之间是包含关系，故Z∈Q，错误；③，空集中没有一个元素，{0}有一个元素0，故0∈⌀，错误；④，空集是任何非空集合的真子集，故⌀⊆{0}，正确；其中正确的个数是2．故选B．2.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．【解答】解：当x≤1时，3x−1=0；解得，x=0；(舍去)；当x>1时，1+log2x=0，解得，x=12故函数f(x)的零点为0；故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数的定义域．由函数解析式有意义，得不等式组，求解．【解答】解：∵函数为f(x)=11−2x +lg(1+3x)，∴{1−2x ≠01+3x >0， ∴x >−13且x ≠12， ∴函数的定义域为(−13 ,12)∪(12,+∞)．故选B ． 5.答案：B解析：∵−3<0∴f(−3)=0∴f[f(−3)]=f(0)=π故选：B6.答案：B解析：解：A 中，y ==1−1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B 中，y =1−x 在R 上是减函数，∴在(−∞,0)上单调递减，满足条件；C 中，y =x 2+x 在(−∞,−12)上是减函数，在(−12,+∞)上是增函数，∴不满足条件；D 中，y =1−x 2在(−∞,0)上是增函数，∴不满足条件；故选：B ．根据基本初等函数在某一区间上的单调性质，判定各选项中的函数是否满足条件．本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题．7.答案：A解析：【分析·】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：x =log 52<log 5√5=12，y =log 2√5>1，z =3−12=√3∈(12,1)． ∴x <z <y ．故选：A ． 8.答案：A解析：【分析】本题重点考查学生对于函数性质的理解，属于中档题．【解答】由y =f(x +1)是偶函数，得到y =f(x)的图象关于直线x =1对称，∴f(−1)=f(3)，又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(−1)>f(2)，故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．【解答】解：因为f(0)=1+ln 2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln 2)，所以排除A 、B 、C ，故选D ．10.答案：C解析：【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数，可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0，所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了函数模型的应用，考查了指数不等式和对数不等式，属于中档题．根据题意列出不等式，求解即可．【解答】解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过800万辆，根据题意，得260(1+25%)n>800，即1.25n>4013，两边取对数，得nlg1.25>lg4013，∴n>lg4−lg1.3lg1.25≈5.05，∴n=6，即2017+6=2023．∴该工厂到2023年的产量才能首次超过800万辆．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．【解答】解：由基本不等式可得，x+1x −2≥0或x+1x−2≤−4；作函数f(x)={log5(1−x)(x<1)−(x−2)2+2(x≥1)的图象如下，①当a>2时，x+1x −2<−24或0<x+1x−2<1，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为4；②当a=2时，x+1x −2=−24或0<x+1x−2<1或x+1x−2=2，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；③当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或0<x+1x−2<1或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为8；④当a=1时，x+1x −2=−4或0<x+1x−2<1或1=x+1x−2或x+1x−2=3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为7；⑤当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；⑥当a=0时，x+1x −2=0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为3；⑦当a<0时，x+1x −2>3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为2．故选B．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据幂函数的图象过点(4,2)，求出f(x)的解析式，再计算f(16)的值．【解答】解：∵幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,2)，∴4a=2，解得a=12，∴f(x)=√x，∴f(16)=√16=4．故答案为4．14.答案：8解析：【解答】解：∵A={a,b}，B={a,b，c，d，e}，A⊆M⊆B，∴M={a,b}，{a,b，c}，{a,b，d}，{a,b，e}，{a,b，c，d}，{a,b，c，e}，{a,b，d，e}，{a,b，c，d，e}，共8个，故答案为：8．【分析】列举出满足条件的集合M ，从而判断其个数即可．本题考查了集合的子集和真子集的定义，是一道基础题．15.答案：1，(−∞,1]解析：【分析】本题主要考查了函数值的求解，以及利用函数的增减性解不等式，得出f(x)+f(−x)=1，将不等式变形是解题的关键.利用f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)以及函数单调性去掉函数f ，得到不等式求得解集．【解答】解：∵f (x )=12x +1−x ，∴f (x )+f (−x )=12x +1−x +12−x +1+x =12x +1+2x 1+2x =1， ∴f(12)+f(−12)=1．不等式f(x)+f(1−2x)≤1，即f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)，∴f(1−2x)≤f(−x)，显然f(x)在定义域R 上是减函数，∴1−2x ≥−x ，解得：x ≤1，∴f(x)+f(1−2x)≤1的解集为(−∞,1]．故答案为1，(−∞,1]．16.答案：(5π3−1,5π3)解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，难度一般．【解答】解：∵x 1,x 2,x 3是方程的三个不同的根，∴方程f(x)=a 有三个不同的解，∴1<a <2，设x 1<x 2<x 3，∵0<x <π，，，，结合图象可知：，∵1<2−x<2，∴−1<x<0，∴−1<x1<0，则x1+x2+x3∈(5π3−1,5π3)．故答案为(5π3−1,5π3)．17.答案：解：(1)由题意可知A={x|−2<x<5}，当m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，∴A∩∁R B={x|−2<x<2}；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A．①若B=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2；②若B≠⌀，则{m−1≤2m+1m−1>−22m+1<5，即−1<m<2，综上，m的取值范围是m<−2或−1<m<2．解析：(1)当m=3时，求出B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，即可求A∩∁R B；(2)若A∪B=A，则B⊆A，分类讨论求m的取值范围..本题考查集合的运算，考查集合关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.答案：解：原式=lg3lg2×2lg2lg3+(log2246+6)23=2+823=2+23×23=6．解析：本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，属于基础题．利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．19.答案：(1)解：判断得到f(x)是偶函数．证明：f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，对于任意x ∈{x|x ≠0}，有f(−x)=(12−x −1+12)(−x )3=−(2x 1−2x +12)x 3=(2x −1+12x −1−12)x 3=(12x −1+12)x 3=f(x)， 所以f(x)是偶函数；(2)证明：当x >0时，2x −1>0且x 3>0，所以f(x)=(12x −1+12)x 3>0，又因为f(x)是偶函数，所以当x <0时，f(x)>0也成立， 综上，在定义域内f(x)恒为正．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，定义是研究函数基本性质的常用方法，要熟练掌握．(1)先求函数定义域，然后判断f(x)与f(−x)的关系，根据奇偶性的定义可作出判断；(2)先利用指数函数的性质证明x >0时f(x)>0，然后利用偶函数的性质证明x <0时f(x)>0．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5，当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ，即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)∵f(x)=x −k ，∴f(f(x))=f(x −k)=x −k −k =x −2k =x −4 ，∴2k =4 ，∴k =2；(2)由题得g(x)=f(x)−√x +1=x −k −√x +1，∵g(x)⩾0在区间[0,3]恒成立 ，∴x −k −√x +1⩾0在区间[0,3]恒成立，∴k ⩽x −√x +1在区间[0,3]恒成立，即k ⩽(x −√x +1)min ，令t =√x +1∈[1,2] ，则x =t 2−1，∴ℎ(t)=t 2−1−t =(t −12)2−54，∴ℎ(t)在区间[1,2]上为单调增函数，所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=−1，∴k ≤−1，∴实数k 的取值范围k ≤−1．解析：本题考查函数的解析式求法，以及不等式恒成立问题，属于中档题．(1)将f(x)=x −k 中x 换成x −k ，即可得到f(f(x))=x −k −k =x −4，求出k ；(2)将不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22.答案：解：(1)ℎ(x)=f(tanx)−2=(m −1)tan 2x +tanx −1，∵x ∈[0,π2)，tanx ∈[0,+∞)，令tanx =t ∈[0,+∞)， 则(m −1)t 2+t −1=0在[0,+∞)上有2个不同的实数根，于是{▵=1+4(m −1)>0t 1t 2=−1m−1≥0t 1+t 2=−1m−1>0，解得：34<m <1； 所以m 的范围为(34,1);(2)f(x)=(m −1)x 2+x +1，f(cosx)=(m −1)[cosx +12(m−1)]2+1−14(m−1)，∵1<m <32，∴0<2(m −1)<1，12(m−1)>1，−12(m−1)<−1，∴当cosx =1时，即x =2kπ，k ∈Z 时取最大值，f(cosx)max =f(1)=m +1=94，∴m =54， ∴f(x)=14x 2+x +1，∴f(x)min =0；(3)由题意得：g(x)min ≥f(t)有解，∵−π2≤x ≤0，−π4≤x +π4≤π4，∴−√22≤sin(x +π4)≤√22， ∴m ≤√2sin(x +π4)+m +1≤m +2，故g(x)min =m ，而f(t)=(m −1)t 2+t +1，t ∈[1,4]，由题意(m −1)t 2+t +1≤m 有解，当t =1时，不等式不成立，当t ∈(1,4]时，m ≤t 2−t−1t 2−1=1−t t 2−1， 令ℎ(t)=1−t t 2−1=1−1t−1t ，ℎ(t)在(1,4]递增， 故ℎ(t)max =ℎ(4)=1115，故m ≤1115，综上，m 的范围是(−∞,1115].解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(1)通过换元法以及二次函数的性质求出m的范围即可；(2)求出f(cosx)的解析式，根据函数的单调性求出f(cosx)的最大值，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出函数的解析式，求出函数的最小值即可；(3)问题转化为g(x)min≥f(t)有解，求出g(x)的最小值，再分离参数m，根据函数的单调性求出m 的范围即可．。