双调和抛物方程的加权Lp 估计
两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析
STUDY ON TWO CLASSES OF NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH N ONLOCAL TERMS
ABSTRACT
Many problems in applied sciences can be described by partial differential equations. In order to explain some nonlinear phenomenon， and to provide some useful tools for practical fields，one needs to study the existence，uniqueness and stability of solutions to problems of partial differential equations.
保密□，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于
不保密√。 （请在以上方框内打“√”）
学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008 年 3 月 2 日
指导教师签名：王亚光 日期： 2008 年 3 月 2 日
绪论
第一章 绪论
1.1 问题背景
非线性抛物方程是一类重要的偏微分方程，来源于自然界中广泛存在的非线 性现象．相变理论，渗透理论，图像处理，生物化学理论等领域中的许多问题都 可以用这种方程来描述．如相变理论中的 Allen-Cahn 方程，流体力学中的 Cahn-Hilliard 方程等，这些方程不仅有明确的物理背景，而且还有广泛的应用价 值，因而，对这些方程的数学理论进行研究是有意义的，也是十分必要的．
4
绪论
第一项：F (g) ，Gσ (g) 同问题 (1.3) 中给出的，这儿 Gσ 的引进是为了对图像进
翻译——抛物问题混合有限元逼近的后验误差估计
抛物问题混合有限元逼近的后验误差估计摘要 对于抛物问题的混合形式，我们在空间上利用Raviart-Thomas-Nedelec 元，在时间上采用向后欧拉法，得到了一个基于后验误差估计的残差量。
这个误差范数是通过通量的能量范数在整个时间上的积分所定义的。
为了得到一个最优上界，我们利用了逐单元后处理方法。
对于椭圆问题来说这是一个很常用的技巧。
最后的误差上界包含了空间离散化误差和时间离散化误差等几项。
1.引言具有通量高精度的守恒方法通常利用的就是RTN 元来减少计算量。
在多孔介质流中，即一个典型的抛物压力方程再加上一个波动方程，用到的就是这个方法。
这个通量来自于压力方程，然后在波动方程中变成了一个对流场。
因此通量的误差需要在全局范数上来控制。
准备工作 对于椭圆问题的混合方法，其后验误差估计已经得到了[4,6,7]。
在文献[6]中，得到了一个关于通量的()Ω,div H 范数。
这个()Ω,div H 范数可以通过分部积分直接计算得到。
当要估计通量的2L 范数时，通量σ所在的空间要比位移量u 所用的空间要大，例如RTN 元空间，这是总所周知的困难所在。
这个原因就是如果通量空间比位移量的空间要大，那么通过通量和位移量的梯度相关的方程01=∇--u a σ而产生的自然残差量会变大。
在文献[15]中，Lovadina 和Stenberg 得到了一个关于通量的2L 范数的后验误差估计，这是基于RTN 元的方法，其中利用了一个典型的对于u 的近似解的后处理。
这个证明基于一个用到后处理近似了的等效法的后验误差估计。
在最近的文献[13]中，得到了关于一簇元的后验误差估计。
这里的估计和[15]中Lovadina 和Stenberg 得到的估计很接近，但是这个证明更一般化，且表明了一个事实，即在残量计算的时候可以利用任何分片多项式来对于位移量逼近。
关于抛物问题混合有限元法的文献并不是太多。
有关参考文献包括了书[21]和随后的工作[9]，其中得到了关于热传导方程的先验误差估计。
几类随机微分方程的参数估计问题
几类随机微分方程的参数估计问题《几类随机微分方程的参数估计问题》一、引言随机微分方程是描述系统随机演化的数学模型，它在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
而参数估计则是通过对模型中的参数进行估计，以使模型更准确地描述实际系统的过程。
本文将围绕几类随机微分方程的参数估计问题展开讨论，并探讨不同类型的参数估计方法。
二、布朗运动下的参数估计布朗运动是一种最简单的随机微分方程模型，它描述了微观粒子在流体中的随机运动。
在布朗运动模型中，参数估计的问题主要集中在漂移项和扩散项的参数估计上。
针对漂移项参数的估计，一般可以通过极大似然估计或贝叶斯估计来实现；而对于扩散项参数的估计，则需要使用波动率的估计方法，例如条件异方差模型等。
三、随机波动率模型的参数估计随机波动率模型是在布朗运动模型的基础上引入了波动率随机性的扩展，常用于金融领域对股票等资产价格的建模。
在随机波动率模型中，参数估计的问题相对复杂，需要涉及到漂移项、扩散项和波动率项的估计。
针对波动率的参数估计尤为重要，常用的方法有GARCH模型、随机波动率模型等，通过这些模型可以对股票价格的波动率进行比较准确的估计。
四、随机微分方程组的参数估计随机微分方程组描述了多个随机变量之间的相互作用，它在经济学、生态学等领域具有重要的应用。
在随机微分方程组的参数估计中，需要考虑多个参数同时估计的问题，这就需要借助联合估计的方法来实现。
常用的方法有极大似然估计、贝叶斯估计等，通过这些方法可以较好地估计多个参数，并且考虑到了参数之间的相互关系。
五、总结与展望在本文中，我们讨论了几类随机微分方程的参数估计问题，并介绍了不同类型的参数估计方法。
通过对布朗运动、随机波动率模型和随机微分方程组的参数估计，我们可以看到参数估计在不同模型中的重要性和复杂性。
未来，随机微分方程的参数估计问题还有待进一步研究，尤其是在多维随机微分方程、非线性随机微分方程等方面的参数估计方法仍有待深入探讨。
向后差分法求解二位抛物方程的初边值问题
向后差分法求解二位抛物方程的初边值问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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应用回归分析,第4章课后习题参考答案
应⽤回归分析,第4章课后习题参考答案第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1 试举例说明产⽣异⽅差的原因。
答：例4.1：截⾯资料下研究居民家庭的储蓄⾏为Y i=?0+?1X i+εi其中：Y i表⽰第i个家庭的储蓄额，X i表⽰第i个家庭的可⽀配收⼊。
由于⾼收⼊家庭储蓄额的差异较⼤，低收⼊家庭的储蓄额则更有规律性，差异较⼩，所以εi的⽅差呈现单调递增型变化。
例4.2：以某⼀⾏业的企业为样本建⽴企业⽣产函数模型Y i=A i?1K i?2L i?3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。
由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异⽅差性。
这时，随机误差项ε的⽅差并不随某⼀个解释变量观测值的变化⽽呈规律性变化，呈现复杂型。
4.2 异⽅差带来的后果有哪些？答：回归模型⼀旦出现异⽅差性，如果仍采⽤OLS估计模型参数，会产⽣下列不良后果：1、参数估计量⾮有效2、变量的显着性检验失去意义3、回归⽅程的应⽤效果极不理想总的来说，当模型出现异⽅差性时，参数OLS估计值的变异程度增⼤，从⽽造成对Y的预测误差变⼤，降低预测精度，预测功能失效。
4.3 简述⽤加权最⼩⼆乘法消除⼀元线性回归中异⽅差性的思想与⽅法。
答：普通最⼩⼆乘估计就是寻找参数的估计值使离差平⽅和达极⼩。
其中每个平⽅项的权数相同，是普通最⼩⼆乘回归参数估计⽅法。
在误差项等⽅差不相关的条件下，普通最⼩⼆乘估计是回归参数的最⼩⽅差线性⽆偏估计。
然⽽在异⽅差的条件下，平⽅和中的每⼀项的地位是不相同的，误差项的⽅差⼤的项，在残差平⽅和中的取值就偏⼤，作⽤就⼤，因⽽普通最⼩⼆乘估计的回归线就被拉向⽅差⼤的项，⽅差⼤的项的拟合程度就好，⽽⽅差⼩的项的拟合程度就差。
由OLS 求出的仍然是的⽆偏估计，但不再是最⼩⽅差线性⽆偏估计。
所以就是：对较⼤的残差平⽅赋予较⼩的权数，对较⼩的残差平⽅赋予较⼤的权数。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。
TFP的测算笔记
一、测量tfp的方法分类（一）索罗残差法寻找一个合适的生产函数形式(常用的有: C-D生产函数、超越对数生产函数以及CES生产函数等总量生产函数形式),利用样本数据进行回归,估算出总量生产函数的具体参数,得到具体的生产函数,将产出增长率扣除各种投入要素增长率后的残差,作为TFP的增长。
按传统的增长核算法,在假定生产在技术上是充分有效的条件下,可以得出全要素增长率等于产出增长率与全部投入要素增长率加权和之差。
（二）随机前沿方法（SFA）（参数法）1、生产前沿面法在允许有技术无效的存在的条件下,从另外一个角度理解和测算生产率。
生产前沿面法是指以具有投入或产出最优性质的生产函数来构造生产前沿面,通过生产过程的实际值(投入或产出)与最优值(最小成本或最大产出)的比较来得出TFP的方法。
根据构造生产前沿面方法的不同,生产前沿面法又可分为参数型模型法和非参数型模型法。
2、SFA的部分推导3、SFA下tfp分解部分推导Aigner、Lovell、Schmidt和Meeusen、Van den Broeck（1977）：由投入变化而带来的产出的变化、技术变化率、技术效率变化率；Kumbhakar(2000)：技术进步、技术效率增长、规模经济效应增长、资源配置效率增长。
（三）数据包络分析法(DataEnvelopment Analysis, DEA)（非参法）1、非参数型模型法首先根据样本中所有个体的投入和产出构造一个能够包容所有个体生产方式的最小的生产可能性集合:即所有要素和产出的有效组合。
所谓“有效”,即是以一定的投人生产出最大产出(面向产出的情况),或以最小的投入生产出一定的产出(面向投入的情况)。
一个个体的技术效率衡量的是,在给定该个体的产出能够实现的前提下,和生产可能性集合中生产等量产出的投入量相比,其投入还有多大的节约余地。
余地越大,说明该企业的技术效率越低。
该方法的优点是无须估计企业的生产函数,从而避免了因错误的函数形式带来的问题;缺点是需要大量的个体数据,且对算法的要求很高,同时对生产过程没有任何描述。
混合型方程论文：关于混合型双曲(抛物)—抛物型方程的初边值问题
混合型方程论文：关于混合型双曲（抛物）—抛物型方程的初边值问题【中文摘要】这篇文章主要研究的是混合型方程的初边值问题,混合型方程是偏微分方程中特殊的研究方向之一,也是偏微分方程的一个推广.国内外的学者在这方面做出了杰出的贡献.关于混合型方程在未知边界问题上的初边值问题,是这篇文章的重要部分.这篇文章分五部分阐述了这些问题.第一部分,讲述了混合型方程的,研究现状及研究意义.第二部分,介绍了本文所用到的预备知识.第三部分,给出了n+ 1维混合型双曲——抛物方程的Cauchy问题.第一节,问题的提出.第二节,讨论了问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性,得到了本文的定理3.2.1,定理3.2.2,定理3.2.3,定理3.2.4,定理3.2.5,定理3.2.6.第三节,先给出了τ( x )和γ( x)存在唯一性,在利用级数的收敛性定理证明了问题解的存在性,得到了文中的定理3.3.1,定理3.3.2.第四部分,讨论了一类混合型方程的未知边界问题.第一节,首先提出问题.第二节,研究了问题在区域D = D1∪D2上解的唯一性.得到了文中的定理4.2.1,定理4.2.1.第五部分,这是这篇文章的重要组成部分,主要研究的是混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题.第一节,提出问题.第二节,讨论了问题在不同区域上解的唯一性,得到了文中的定理5.1.1,定理5.1.2.第三节,根据Green公式,导出问题的积分形式解,在利用不动点原理,证明问题解的存在性.得到了文中的定理5.2.1,定理5.2.2.【英文摘要】In this paper we study the initial boundary value problem of the mixed type equation, which is one of the special study directions in partial differentialequation .Much fruitful research work have been made by many scholars at home and abroad on this respect .The problem on changing boundary and non-local peoblem is an important and interesting issue. This paper is divided into five parts to discuss these issues.In part1, we describes the research background,the present research situation and the research meaning of the mixed type equation.In part2, we introduce the preliminary knowledge concerning the article.In part3, we state the dimensional mixed hyperbolic– parabolic of Cauchy problems.In Section 1, we state of the problem.In Section2, we discussed the prior model solution for the problem and the solution estimates, uniqueness and stability, by Theorem 3.2.1 of this paper, Theorem 3.2.2, Theorem 3.2.3, Theorem 3.2.4, Theorem 3.2. 5, Theorem 3.2.6.In Section3, we gives the existence and uniqueness, in the use of the convergence theorem of series solution for the problem have proved the existence of the text in the Theorem by 3.3.1, Theorem 3.3.2.In part4,we discussed a class of mixed-type equation by the boundary problem.In Section 1,we first of all ask questions.InSection2,we state the problem in the region on the solution uniqueness. Has been the text in the Theorem 4.2.1, Theorem 4.2.1.In part5, this is an important part of this article, the main research is mixed parabolic - semi-parabolic equation by the boundary problem.In Section 1, we ask questions.In Section 2,we discusses the problem in different regions of the uniqueness of the solution was to get the text in the Theorem 5.1.1, Theorem 5.1.2.In Section 3, we according to Green formula, the problem of integral solutions obtained, reasonable use of the fixed point theorem, was proved the existence of Solutions. Get the text in the Theorem 5.2.1, Theorem 5.2.2.【关键词】混合型方程未知边界问题先验估计解的存在性解的唯一性解的连续依赖性【英文关键词】mixed type equation the unknown boundary problem a priori estimates existence of solutions uniqueness of solution the solution of the continuous dependence【目录】关于混合型双曲（抛物）—抛物型方程的初边值问题中文摘要3-4Abstract4 1 引言6-8 1.1 选题目的与意义6 1.2 国内外的研究现状6-8 2 预备知识8-10 2.1 定解问题的适定性定义和一些定理8-9 2.2 一些重要不等式与恒等式9-10 3 n+ 1 维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy问题10-16 3.1 问题的提出10 3.2 问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性10-13 3.3 解的存在性13-16 4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题16-21 4.1 问题的提出16-17 4.2 解的唯一性17-21 5 关于一类混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题21-36 5.1 混合型抛物—半抛物型方程未知边界问题解的唯一性21-26 5.2 解的存在性26-36参考文献36-40在校期间发表的论文40-41后记41【备注】索购全文在线加好友QQ：139938848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务。
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引理 1.4. 如果 w ∈ Aq ( q > 1) 且 Qr ⊂ QR ⊂ n +1 ，那么存在常数 C1 > 0 有
w ( QR ) w ( Qr )
( n + 4)q Q R ≤ C1 R = C1 . Q r r
q
引理 1.5. 如果 w ∈ Aq ( q > 1) 且 Qr ⊂ QR ⊂ n +1 ，那么存在常数 σ > 0 及 C > 0 使得
Pure Mathematics 理论数学, 2015, 5, 46-53 Published Online March 2015 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2015.52007
Weighted Lp Estimates for the Bi-Harmonic Parabolic Equation
n +1 定义 1.1. 假设 q > 1 ，我们称权函数 w ∈ Aq ，如果 w ∈ L1 ，几乎处处 w > 0 ，且存在常数 C > 0 loc
(
)
(
−1 q −1 dz w z ( ) ∫Qr w ( z ) dz ∫ Qr
)
q −1
≤ C,
对任意 n +1 中的 Qr 上成立。我们记
w ( QR ) w ( Qr )
( n + 4 )σ Q r ≤ C r = C . Q R R
σ
现在我们给出本文的主要结论。
p 定理 1.6. 假设 w ∈ Ap ( p > 2 ) 且 f ∈ Lw ( Q2 ) 。如果 u 满足双调和抛物方程且 D 4u ∈ L2w ，那么我们可
w Qρi ( zi ) ≤ 2 ∫ z∈Q
(
)
ρi ( zi ): D uλ
4
2
>1 4
D 4 uλ w ( z ) dz +
2
δ ∫{z∈Q
2
ρi ( zi ): f λ
2
>δ 4
}
f λ w ( z ) dz.
2
(2.5)
证明：1) 首先，对几乎处处的 z ∈ Eλ (1) ，由基本的测度理论我们可得
i ≥1
48
双调和抛物方程的加权 Lp 估计
得
Jλ Qρ ( zi ) < 1 任意的ρ > ρi ; Qρi ( zi ) = 1, J λ
且
(2.3)
Eλ (1) ⊂ Q5 ρi ( zi ) 零测集,
i ≥1
(2.4)
1 这里 zi ∈ Eλ (1) 且 ρi ρ ( zi ) ∈ 0, 。进一步，我们可得 = 10
得加权 Lp 估计(1.2)式。 注 1.7. 上述定理的结论可以推广到更高阶的多调和抛物型方程，即方程
= ut + ( −∆ ) u f , z ∈ Q2 ⊂ n +1
m
(1.3)
有类似于定理 1.6 的加权 Lp 估计
∫Q
1
Dt u w ( z ) dz + ∫Q D u w ( z ) dz ≤ C
p 4
1
p
(∫
Q2
D u w ( z ) dz
4
2
)
p 2
+ C ∫Q f
2
pபைடு நூலகம்
w ( z ) dz 任意的p > 2,
(1.2)
这里 C > 0 是不依赖于 u 和 f 的常数。事实上，如果 w ≡ 1 ，那么上述估计即为经典的 Lp 内估计。现 在我们首先介绍一下加权空间的一些概念与性质(见[8]-[13])。 使得满足下述不等式
p 2m
1
p
(∫
Q2
D u w ( z ) dz
2m
2
)
p 2
+ C ∫Q f
2
p
w ( z ) dz
任意p > 2.
(1.4)
2. 主要结论的证明
本节我们将完成主要结论定理 1.6 的证明。现在我们记
2 1 1 D 4 u w ( z ) dz + f w ( Q2 ) ∫Q2 δ w ( Q2 ) ∫Q2
当 λ > C1 20(
λ2 λ2 02 ≤ C1 20( n + 4 ) p 02 . λ λ
p
(
n + 4) p
(
)
Lp n+1
(
)
,
这里 p > 1 且 Dxi x j xk xl u ( x, t )
Lp n+1
(
)
p = ∫ n+1 Dxi x j xk xl u ( x, t ) dxdt
1 p
。
本文主要目的是得到问题(1.1)解 u 的如下估计
∫Q
1
Dt u w ( z ) dz + ∫Q D u w ( z ) dz ≤ C
2 1 1 = Q z D 4 u λ w ( z ) dz + lim J λ lim ) ( ρ ∫ ρ →0 Qρ ( z ) ρ →0 w Qρ ( z ) δ w Qρ ( z ) 1 > lim ∫ w ( z ) dz > 1. ρ →0 w Qρ ( z ) Qρ ( z )
= λ02
2
w ( z ) dz ,
(2.1)
这里 δ ∈ ( 0,1) 是一个充分小的待定正常数。令
= f λ f= λ , uλ u λ 且 = J λ [Q ]
2 1 1 2 D 4 uλ w ( z ) dz + f λ w ( z ) dz ∫ Q w (Q ) δ w ( Q ) ∫Q
(2.2)
Huacui Yu
College of Sciencers, Shanghai University, Shanghai Email: 15202161183@ Received: Feb. 18 , 2015; accepted: Feb. 27 , 2015; published: Mar. 3 , 2015 Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
(2.6)
w ( Q2 ) 1 2 1 2 Jλ D 4 uλ w ( z ) dz + f λ w ( z ) dz ∫ ∫ Qρ ( z ) ≤ w Q z Q Q 2 2 δ w ( Q2 ) ( ρ ( ) ) w ( Q2 ) Q2 ≤ C1 Qρ ( z )
2 ut + ∆ = u f , z ∈ Q2 ⊂ n +1
(1.1)
这里 Qr = Br × −r 4 , r 4 ，而 Qr ( z0= ) Qr + z0 ，其中 z0 = ( x0 , t0 ) 。另外，我们记
2 2 4 = = = D 4u D Dxi x j xk xl u ( x, t ) 且 D 4 u p n+1 ∑ ∑ Dxi x j xk xl u ( x, t ) x u ( x, t ) L ( ) , n = i , j , k , l 1,, n i , j , k ,l 1,= 1
Keywords
Bi-Harmonic Parabolic Equation, Weighted, Lp Estimates, Regularity Estimates
双调和抛物方程的加权Lp估计
于华翠
上海大学理学院，上海 Email: 15202161183@ 收稿日期：2015年2月18日；录用日期：2015年2月27日；发布日期：2015年3月3日
我们进一步给出重要的反 Hölder 不等式和 Aq 权的一些其它性质。
1
引理 1.3. 如果 w ∈ Aq ( q > 1) ，那么存在常数 C > 0 ，使得对任意 Qr ⊂ n +1 有
1 Q r
∫Q w ( z )
r
1+
1+ 1 dz ≤ C Q r
∫Q w ( z ) dz.
th th rd
Abstract
Schauder estimates and Lp estimates are the basic regularity estimates in the partial differential equations. In this paper we mainly study a new class of regularity estimates, weighted Lp estimates for the bi-harmonic parabolic equation.
p n+1
任意 q > q2 .
3) 如果 w ( z ) ∈ Ap ，那么， w z ∈ n +1 : g ( z ) > µ
q1 4) 如果 q > q1 > 1 ，那么 Lq w ( Qr ) ⊂ L ( Qr ) 。
({
C }) ≤ µ ∫
p
g ( z ) w ( z ) dz 。
47
双调和抛物方程的加权 Lp 估计
∫
n +1