高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
2
练习：解不等式：
3x 5 x 2 0
2
x 4x 5 0
2
2x x 1 0
2
练习：设A，B分别是不等式 3x 6 19x 与不等式 2 x 2 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19x，得3x 2 19x 6 0
1 解得：A＝ x x 6 3 2 由－2 x 3x 5 0解得 B x 1 x
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3
典例精讲：
例1：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a , b 的值.
引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系： 交点的横坐标即为方程的根 。 ,
(2).当x取 x= -2 或 3 时，y=0？ y 当x取 x<-2 或 x>3时，y>0？ 当x取 -2 < x <3 时，y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出： o o o o x 2 0 -2 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 ﹛ x|x<-2 或 x>3 ﹜ 解集为 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。
△ ≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为: x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集 为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
。 -3 0
。 5
x
例2：解不等式：
9x 6x 1 0
1 x1 , x2 1 2
函数y=-2x2+x+1的图像是开口向下的抛物线,与x轴的交点为
1 , 0), (1, 0) 2 观察图像可得,不等式的解集为 (
y
1 {x | x , 或x 1} 2
0
x
练习：解不等式: -x2+4x-4>0 . 解 :在不等式两边同乘-1,可得x2-4x+4<0
一元二次不等式
复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y
O
x1x2xOFra bibliotekb 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数
解:方程x2-4x+5=0无实数解 函数y=x2-4x+5的图像是开口向上的抛物线,与x轴无交点 观察图像可得,不等式的解集为R y
0
x
归纳:
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？ (1).解出相应的方程的根.
（2）先画出对应函数的图像 （3）确定不等式的解集：
例1：解不等式: 3x2+5x-2>0 .
解:方程3x2+5x-2=0的两解是
1 x1 2, x2 . 3
函数y=3x2+5x-2的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点
1 (2, 0), ( , 0) 3
观察图像可得,不等式的解集为
y
1 {x | x 2, 或x } 3
-2
o
0
o
1 3
x
例2：解不等式: 9x2-6x+1>0 .
解:方程9x2-6x+1=0的两解是
1 x1 x2 . 3
y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴有一个交点 观察图像可得,不等式的解集为 y 1
o
1 ( , 0) 3
1 {x | x } 3
0
1 3
x
例3：解不等式: x2-4x+5>0 .
方程x2-4x+4=0的解为 x1 x2 2 函数y=x2-4x+4的图像如下 y 观察图像可得,原不等式的解集为 4
o
0
x
2
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数
y ax2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围
2 y ax bx c ax bx c 0 的解集就是确定函数
2
图像在X轴上方时，其x的取值范围
例4：解不等式: -2x2+x+1<0 .
解:方程-2x2+x+1=0的解为
x (1 a) x a 0
2
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
2
x1 1, x2 a (1)当a 1时， 原不式的解集为（ a,1); (2)当a 1时， 原不式的解集为
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像 y 0
x
y
0
y 0
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
2
例2：解关于x的不等式： 2 2 x (2m 1) x m m 0
解：
含参变量 的不等式
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：
x1 m, x2 m 1
m m 1
x m x m 1 原不等式的解集为
例3：解关于x的不等式：
练习：解不等式：
3x 5 x 2 0
2
x 4x 5 0
2
2x x 1 0
2
练习：设A，B分别是不等式 3x 6 19x 与不等式 2 x 2 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19x，得3x 2 19x 6 0
1 解得：A＝ x x 6 3 2 由－2 x 3x 5 0解得 B x 1 x
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3
典例精讲：
例1：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a , b 的值.
引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系： 交点的横坐标即为方程的根 。 ,
(2).当x取 x= -2 或 3 时，y=0？ y 当x取 x<-2 或 x>3时，y>0？ 当x取 -2 < x <3 时，y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出： o o o o x 2 0 -2 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 ﹛ x|x<-2 或 x>3 ﹜ 解集为 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。
△ ≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为: x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集 为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
。 -3 0
。 5
x
例2：解不等式：
9x 6x 1 0
1 x1 , x2 1 2
函数y=-2x2+x+1的图像是开口向下的抛物线,与x轴的交点为
1 , 0), (1, 0) 2 观察图像可得,不等式的解集为 (
y
1 {x | x , 或x 1} 2
0
x
练习：解不等式: -x2+4x-4>0 . 解 :在不等式两边同乘-1,可得x2-4x+4<0
一元二次不等式
复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y
O
x1x2xOFra bibliotekb 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数
解:方程x2-4x+5=0无实数解 函数y=x2-4x+5的图像是开口向上的抛物线,与x轴无交点 观察图像可得,不等式的解集为R y
0
x
归纳:
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？ (1).解出相应的方程的根.
（2）先画出对应函数的图像 （3）确定不等式的解集：
例1：解不等式: 3x2+5x-2>0 .
解:方程3x2+5x-2=0的两解是
1 x1 2, x2 . 3
函数y=3x2+5x-2的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点
1 (2, 0), ( , 0) 3
观察图像可得,不等式的解集为
y
1 {x | x 2, 或x } 3
-2
o
0
o
1 3
x
例2：解不等式: 9x2-6x+1>0 .
解:方程9x2-6x+1=0的两解是
1 x1 x2 . 3
y=9x2-6x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴有一个交点 观察图像可得,不等式的解集为 y 1
o
1 ( , 0) 3
1 {x | x } 3
0
1 3
x
例3：解不等式: x2-4x+5>0 .
方程x2-4x+4=0的解为 x1 x2 2 函数y=x2-4x+4的图像如下 y 观察图像可得,原不等式的解集为 4
o
0
x
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一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数
y ax2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围
2 y ax bx c ax bx c 0 的解集就是确定函数
2
图像在X轴上方时，其x的取值范围
例4：解不等式: -2x2+x+1<0 .
解:方程-2x2+x+1=0的解为
x (1 a) x a 0
2
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
2
x1 1, x2 a (1)当a 1时， 原不式的解集为（ a,1); (2)当a 1时， 原不式的解集为
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像 y 0
x
y
0
y 0
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
2
例2：解关于x的不等式： 2 2 x (2m 1) x m m 0
解：
含参变量 的不等式
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：
x1 m, x2 m 1
m m 1
x m x m 1 原不等式的解集为
例3：解关于x的不等式：
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高中数学 第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应用课件 新人教A版必修5
6 ∴只需 m<7即可．
本例中，是否存在实数m，使f(x)≥0恒成立？ 解：假设存在实数m，使f(x)≥0恒成立．
∵f(x)＝mx2－mx－1，且 f(x)≥0 恒成立，
m>0， ∴ Δ≤0. m>0， 即 2 m ＋4m≤0， m>0， ∴ －4≤m≤0，
1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， (－3)×2＝a知 c>0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝ c， a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
高中数学 3223 一元二次不等式的解法(1)课件 新人教版必修5
第十九页，共30页。
解析：转化为二次项系数为正数，求出对应方程的根，画出对 应二次函数图像，数形结合写出解集．由－x2＋2x－3>0得x2－2x＋ 3<0.∴Δ＝4－4×3＝－8<0，∴原不等式解集为∅.
答案：∅
第二十页，共30页。
8．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7，x∈R}，则集合A∩Z中有 ________个元素．
第十五页，共30页。
解析：对应的图像只能是开口向上的抛物线，且最多与x轴有一 个交点，∴a>0，Δ≤0.
答案：C
第十六页，共30页。
6．已知函数f(x)＝
x＋2，x≤0， －x＋2，x>0，
则不等式f(x)≥x2的解集为
() A．[－1,2]
B．[－2,2]
C．[－2,1]
D．[－1,1]
第十七页，共30页。
1．了解一元二次不等式的概念和实际背景． 2．理解一元二次不等式、二次函数、二次方程之间的关系及一 元二次不等式的解法． 3．掌握一元二次不等式的解法．
第六页，共30页。
作基业础训设练计
第七页，共30页。
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系式正确的是
第二十五页，共30页。
(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为x－23≤x≤12. (4)∵原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∴原不等式的解集是xx＝12.
第二十一页，共30页。
解析：∵(x－1)2<3x＋7的解集为∅，∴A∩Z有0个元素． 答案：0
解析：转化为二次项系数为正数，求出对应方程的根，画出对 应二次函数图像，数形结合写出解集．由－x2＋2x－3>0得x2－2x＋ 3<0.∴Δ＝4－4×3＝－8<0，∴原不等式解集为∅.
答案：∅
第二十页，共30页。
8．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7，x∈R}，则集合A∩Z中有 ________个元素．
第十五页，共30页。
解析：对应的图像只能是开口向上的抛物线，且最多与x轴有一 个交点，∴a>0，Δ≤0.
答案：C
第十六页，共30页。
6．已知函数f(x)＝
x＋2，x≤0， －x＋2，x>0，
则不等式f(x)≥x2的解集为
() A．[－1,2]
B．[－2,2]
C．[－2,1]
D．[－1,1]
第十七页，共30页。
1．了解一元二次不等式的概念和实际背景． 2．理解一元二次不等式、二次函数、二次方程之间的关系及一 元二次不等式的解法． 3．掌握一元二次不等式的解法．
第六页，共30页。
作基业础训设练计
第七页，共30页。
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系式正确的是
第二十五页，共30页。
(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为x－23≤x≤12. (4)∵原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∴原不等式的解集是xx＝12.
第二十一页，共30页。
解析：∵(x－1)2<3x＋7的解集为∅，∴A∩Z有0个元素． 答案：0
高中数学 第三章 3.2(一)一元二次不等式及其解法(一)课件 新人教A版必修5
第二十页，共24页。
练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处
2．若 0<t<1，则关于 x 的不等式(t－x)(x－1t )>0 的解集是( D )
A．x|1t <x<t
B．x|x>1t 或x<t
本 讲
C．x|x<1t 或x>t
D．x|t<x<1t
栏 目 开
解析 ∵0<t<1，∴1t <1，∴1t >t.
∴不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
第十七页，共24页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高效
例 3 解下列关于 x 的不等式：56x2－ax－a2<0. 解 56x2－ax－a2<0⇔(7x－a)(8x＋a)<0⇔x－a7x＋a8<0
当 a>0 时，a7>－a8.∴原不等式的解集为x|－a8<x<a7；
{x∈R|x≠－2ba} R
不等 (a>0)
本 讲 栏 目 开
式的 解集
ax2＋bx ＋c<0 (a>0)
{x|x1< x<x2}
∅
∅
关 注：当一元二次不等式的二次项系数 a 小于零时，通过不等
式两边同乘以－1，转化为二次项系数大于零后，再求解．
第九页，共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
当 Δ<0 时，方程无实数解；当Δ＝0时，方程有两个相等
的实数解 x1＝x2＝ －2ba ；当 Δ>0 时，方程有两个不等的
本
－b± b2－4ac
讲
练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成 落实处
2．若 0<t<1，则关于 x 的不等式(t－x)(x－1t )>0 的解集是( D )
A．x|1t <x<t
B．x|x>1t 或x<t
本 讲
C．x|x<1t 或x>t
D．x|t<x<1t
栏 目 开
解析 ∵0<t<1，∴1t <1，∴1t >t.
∴不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
第十七页，共24页。
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例 3 解下列关于 x 的不等式：56x2－ax－a2<0. 解 56x2－ax－a2<0⇔(7x－a)(8x＋a)<0⇔x－a7x＋a8<0
当 a>0 时，a7>－a8.∴原不等式的解集为x|－a8<x<a7；
{x∈R|x≠－2ba} R
不等 (a>0)
本 讲 栏 目 开
式的 解集
ax2＋bx ＋c<0 (a>0)
{x|x1< x<x2}
∅
∅
关 注：当一元二次不等式的二次项系数 a 小于零时，通过不等
式两边同乘以－1，转化为二次项系数大于零后，再求解．
第九页，共24页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
当 Δ<0 时，方程无实数解；当Δ＝0时，方程有两个相等
的实数解 x1＝x2＝ －2ba ；当 Δ>0 时，方程有两个不等的
本
－b± b2－4ac
讲
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5
������(������) >0⇔f(x)· g(x)>0; ������(������)
������(������) (2) <0⇔f(x)· g(x)<0; ������(������) ������(������) (3) ≥0⇔ ������(������) ������(������) (4) ≤0⇔ ������(������)
������(������)· ������(������) ≥ 0, ������(������) ≠ 0; ������(������)· ������(������) ≤ 0, ������(������) ≠ 0.
探究一
探究二
探究三
典型例题2
解下列不等式:
(1)
������+2 ������+1 <0;(2) ≤2. 1-������ ������-2
(2)求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;
(3)由图象得出不等式的解集.
探究一
探究二
探究三
典型例题1
解不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 思路分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不 等式的解集.
探究一
探究二
探究三
探究二可化为一元二次不等式的分式不等
式的解法
对于一些简单的分式不等式,通常通过整理变形转化为一元二次不等式求解,做
法如下:
探究一
探究二
3.2.2_一元二次不等式及其解法习题课_课件(人教A版必修5)
栏目 导引
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
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第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
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第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
人教A版数学必修五同步配套课件：第三章不等式3.2第2课时
• 『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可 直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但 要注意分母不为零．
• 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移 项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零 ，然后再用上述方法求解．
〔跟踪练习2〕 解下列不等式： (1)xx＋ －13≥0；(2)5xx＋＋11<3.
• ∴2a－a2>－3，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.即a的取 值范围为(－1,3)．
• 1．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a、C b 的值等于 ( )
• A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
• C[．解析a＝] －由二1，次不b等＝式2与对应二D次．方a程＝的－关系2，知，b＝1和1b是方程ax2＋3x－2＝
∴原不等式的解为{x|x≤－2，或0≤x<3}．
(2)
2x2－5x＋1 3x2－7x＋2
≤1⇔
2x2－5x＋1－3x2＋7x－2 3x2－7x＋2
≤0⇔
－x2＋2x－1 3x2－7x＋2
≤0⇔
3xx22－－27xx＋＋12≥0⇔
x－123x－1x－2≥0，① 3x－1x－2≠0.②
①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．
[解析] 56x2－ax－a2＞0可化为 (7x－a)(8x＋a)＞0. ①当a＞0时，－a8＜a7，∴x＞a7或x＜－a8； ②当a＜0时，－a8＞a7， ∴x＞－a8或x＜a7；
③当a＝0时，x≠0. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>a7或x<－a8}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－a8或x<a7}．
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)课件新人教a版必修5
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本 题关键之处.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解答
不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－ 33，x2＝1＋ 33，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是 {x|1－
{_x_|_x_<_x_1或__x_>_x_2_}
{x|x≠－ b } 2a
R
{_x_|x_1_<_x_<_x_2_}
∅
_∅_
知识点三 一元二次不等式的解法
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案
先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 x|x≠12 .
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体 求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次 方程的根的情况以及二次函数的图象.
由2x2－3x＋1>0，解得x<
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二)课件 新人教A版必修5.pptx
立⇔ Δ＜0. a＜0 ，
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ Δ＜0.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔ k≥f(x)max ；k≤f(x)恒成立⇔ k≤f(x)min .
8
答案
返回
题型探究
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
14
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
5
知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
x＋4 (1)3－x＜0；
x＋4
x＋4
解 由3－x＜0，得x－3＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.
重点突破
9
解析答案
(2)xx＋－12≤2.
反思与感悟
10
解析答案
A
解析 ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ Δ＜0.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔ k≥f(x)max ；k≤f(x)恒成立⇔ k≤f(x)min .
8
答案
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题型探究
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
14
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
5
知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
x＋4 (1)3－x＜0；
x＋4
x＋4
解 由3－x＜0，得x－3＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.
重点突破
9
解析答案
(2)xx＋－12≤2.
反思与感悟
10
解析答案
A
解析 ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.