《高斯消元法简介》教案
高斯消元法完整
高斯消元法(完整)高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0,x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
c课程设计(高斯消元
c 课程设计(高斯消元一、教学目标本节课的学习目标主要包括以下三个方面：1.知识目标：学生需要掌握高斯消元法的基本原理和步骤，了解其在我国数学发展史上的地位和应用。
2.技能目标：学生能够运用高斯消元法解决二元一次方程组和三元一次方程组的问题，提高解题能力。
3.情感态度价值观目标：通过学习高斯消元法，培养学生对数学的兴趣和热爱，增强民族自豪感，激发学生积极探索数学奥秘的热情。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下三个方面：1.高斯消元法的原理与步骤：介绍高斯消元法的起源、发展及其基本原理，讲解消元法的具体步骤。
2.高斯消元法的应用：通过例题讲解，让学生掌握高斯消元法在解决二元一次方程组和三元一次方程组中的应用。
3.高斯消元法在我国数学发展史上的地位：介绍高斯消元法在我国数学研究中的应用和地位，激发学生的民族自豪感。
三、教学方法为了提高教学效果，本节课将采用以下几种教学方法：1.讲授法：讲解高斯消元法的原理、步骤及其应用，让学生掌握基本知识。
2.案例分析法：通过分析典型例题，让学生学会如何运用高斯消元法解决问题。
3.讨论法：学生分组讨论，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.实验法：让学生动手实践，体会高斯消元法的实际应用，提高学生的操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课将准备以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数学教材，为学生提供系统的学习资料。
2.参考书：推荐学生阅读相关数学参考书，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作课件、动画等多媒体资料，直观展示高斯消元法的原理和应用。
4.实验设备：准备足够的计算机和数学软件，让学生进行实践操作。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课将采用以下几种评估方式：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等方式，了解学生的学习态度和掌握程度。
2.作业：布置与高斯消元法相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，以此评估学生的理解程度和应用能力。
湘教版七年级数学下册 高斯消元法简介教案
《高斯消元法简介》教案一、教学目标知识与技能：了解高斯消元法过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力二、重点与难点：高斯消元法三、课型新授课四、教学过程：1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n 元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法2.例1：解方程组1234123412341234251027612632517315292763x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++-=⎪⎨---=⎪⎪--++=-⎩解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个方程的未知数1x12342342342342510 522226 2 17213x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪--+=-⎩为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置12342342342342510 2 1 5222267213x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪--+=-⎩把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数2x 123423434342510 2 1 312216126x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪-=-⎩整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以13-，第4个方程左右两边乘以16 123423434342510 2 1 4721x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪-=-⎩把第3个方程的-1倍加到第4个方程，可以消去第4个方程的未知数3x12342343442510 2 1 4766x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪-=⎩把第4个方程两边除以-612342343442510 2 1 471x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩把第4个方程41x =-的5，2，-4分别加到第1，2，3个方程12323342 5 1 31x x x x x x x --=⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩把第3个方程33x =-的2倍，-1倍分别加到第1，2个方程12234 1 2 31x x x x x -=-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩把第2个方程的1倍加到第一个方程1234 1 2 31x x x x =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩所以这个方程组的解是12341231x x x x =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩说明：①以上自上而下求解方程组的过程就是高斯消元法利用高斯消元法任意的n 元一次方程组都是可以有规律的得以求解②消元时要注意要让每一个方程的主元（第一个未知数的系数为1，以便消元）③注意未知数的位置*高斯消元法其实在我国的数学著作《九章算术》中早就有记载，叫高斯消元法西方人的叫法，实际比九章算术晚了1000多年2.练习：利用高斯消元法解方程组（1）2334x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩.解：略3.练习：利用高斯消元法解方程组6342312x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩4. 练习：利用高斯消元法解方程组（1）12341234123413423434622333 223x x x x x x x x x x x x x x x -++=-⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩；（2）12341234123234236 =72 =13x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-+⎪⎨-+⎪⎪++=⎩.解：略123455(1)81x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，()123447204x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩数学家【人物介绍】物理学家、数学家卡尔·弗里德里希·高斯高斯[1]（Johann Carl Friedrich Gauss ）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯消元法和高斯约旦消元法
高斯消元法和高斯约旦消元法1. 走进高斯的世界说到高斯消元法和高斯约旦消元法，可能很多人会皱眉头，觉得这俩名字听起来像是外星语言，别担心，我来给你说说它们的故事！高斯消元法，这个名字起源于一个名叫高斯的德国数学家，他可是个大牛，很多数学理论都跟他有关系。
简单来说，这个方法就是通过一系列的行变换，把一个复杂的方程组变得简单，像是把一团乱麻理顺一样。
你想想，要是你有一堆衣服没洗，怎么办？先把它们分类嘛，先洗白色的，再洗深色的。
高斯消元法就是这样的思路，把复杂的方程一层层剥开，变得清清爽爽。
1.1 高斯消元法的基本步骤高斯消元法的第一步，就是把方程组写成增广矩阵。
这就好比你先把所有的衣服放进洗衣机，然后设置洗涤程序。
接下来，我们需要通过初等行变换来消元，简单来说，就是把某一行的某个元素变成零，降低方程的复杂度。
举个例子，假设你在解一个关于小猫、小狗和小鸟的方程，可能有点乱，想象一下你在这场宠物大战中，用高斯消元法把小猫的数量化简，最后只剩下小狗和小鸟。
听起来是不是挺有趣的？1.2 优点与缺点不过呢，高斯消元法也不是没有缺点。
有时候，如果方程组的系数很小，可能会出现计算误差，哎呀，这就像你去买菜，发现蔬菜价格涨了，结果买了个大葱，回家发现还得换！而且，处理大规模的方程组时，高斯消元法可能会变得很麻烦，毕竟事情一多，难免会出现小差错。
不过，总体来说，它还是个好帮手，尤其是在基础学习阶段，帮助我们理解线性方程组的奥秘。
2. 高斯约旦消元法的魅力说完高斯消元法，咱们得提提高斯约旦消元法。
这个名字听起来似乎比前者还复杂，但其实它是高斯消元法的“进阶版”。
想象一下，你刚学会了骑自行车，突然来了个高级骑行课程，那就是高斯约旦消元法！这个方法的关键在于把矩阵变成简化的行阶梯形式，最终实现每一列都能得到标准基，哇，听起来好高级对吧？2.1 高斯约旦消元法的操作高斯约旦消元法同样也要写出增广矩阵，但在消元的过程中，不仅仅是把下面的元素变成零，还要把主对角线的元素变成1，甚至有时候还要把上面的元素也处理成零。
第三讲 高斯消元法
高斯消元法3 高斯消元法高斯消元法以著名德国数学家Carl Friedrich Gauss(1777-1855)命名. Gauss被认为是历史上最重要的数学家之一，他在数学的众多分支，如数论、代数、分析、微分几何等以及统计学、物理学、天文学、大地测量学、地理学、电磁学、光学等领域都有重要的贡献. Gauss还享有“数学王子”的美誉.值得一提的是，这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中，相关内容在大C. F. Gauss约公元前150年前就出现了.先看简单的例子：例3.1例3.2问：什么时候消元法停止呢？例3.3例3.4无解无穷多解小结：若消元过程中出现或则消元法中止.线性方程组的解有下列三种情况：1.有唯一解；2.无解；3.有无穷多解.有唯一解行图：两直线相交，有唯一交点列图：两列向量不共线无解行图：两直线平行，无交点列图：两列向量共线有无穷多解行图：两直线重合列图：两列向量共线例3.5上述求解过程可以推广到含个未知量个方程的情形.Gauss消元法的步骤：(1) 若方程组的第一个主元位置为则交换方程以得到第一个主元；(2) 用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数；(3) 确定第二个主元，继续以上消元过程；(4) 最后得到含一个未知量的方程，回代得方程组的解.个方程有个主元方程组有唯一解.消元中止方程组无解或有无穷多解(即出现或).例3.6个方程个未知量消元法成功个主元•若将系数矩阵第二行第二列元素由换成则消元法第二步要暂停，需先交换第二三行.•若将系数矩阵第三行第三列元素由换成则消元法中止，得不到第三个主元.个方程个未知量时,消元法成功是可逆上三角阵是可逆矩阵.已用来描述线性方程组.目标：用尽可能简洁的方式来描述对方程组消元化简的过程.回顾：设为行列的方阵, 为维向量.矩阵乘向量特别，的第个分量再看例3.6消元法第一步：第二个方程减去第一个方程的倍.我们想用一个矩阵实现这步消元.消元法第二步：第三个方程减去第二个方程的倍.•恰是单位矩阵的第二行减去第一行的倍得到的.•恰是单位矩阵的第三行减去第二行的倍得到的.称这样的矩阵为消去矩阵(elimination matrix), 这是一类初等矩阵(elementary matrix).注：单位矩阵(identity matrix) 与任何维向量相乘需定义矩阵与的乘法运算, 使上式成立.这种运算需满足定义：验证：••小结：消去过程消去矩阵同时左乘系数矩阵和常数项3.2 消元法的矩阵表示：置换阵若主元位置为零，需先交换方程再换元.再看例3.5交换第一、二方程交换第一、二行问：是否存在矩阵使3.2 消元法的矩阵表示：置换阵•满足要求.•为单位矩阵交换第一、二行得到的.•将单位阵的第行交换得到的矩阵是置换阵(permutation matrix).小结：将矩阵的第行交换.对方程组, 消元法涉及以下三种同解变形：(1)把一个方程减去另一个方程的倍数；(2)交换两个方程；(3)用一个非零数乘一个方程.相应地对增广矩阵作以下三种行变换：(1)把一行减去另一行的倍数；(2)交换两行；(3)用一个非零数乘一行.由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵.例：为初等矩阵.对线性方程组作消元法，实质上是对矩阵作消元或换行.称矩阵为增广矩阵(augmented matrix).例：计算小结：对线性方程组的消元过程，即为一系列初等矩阵左乘增广矩阵例3.7 令为三阶矩阵.则的第二行减去第一行的倍.的第二行与第三行交换.小结：“左乘换行，右乘换列”.的第一列减去第二列的倍的第二列与第三列交换。
数值分析(05)高斯消元法
n=length(b); X=zeros(n,1); A的第i行、第i+1到n列元素 X(n)=b(n)/A(n,n); 构成的行向量 for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end xn bn / ann
xi (bi
4 7 13 13
解: x4 1 x1 x2 x2 x3 0
3 x3
3 0
x3 2
x1 x2 x2
3
2
求解上三角方程组 Ax=b
for i= n : – 1 : 2
b ( i ) = b ( i ) / A ( i , i );
r ( A) r ( A)方程组Ax b无解（即不相容）。 常见是m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组） 此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组 无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。 即求 x使 || b Ax ||2 2 min
MATLAB实现:
x=A\b
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
将 原 方 程 组 Ax b 化 为 同 解 的 上 三 角 方 组 程 Ux g 初 等 变 换 Ax b 同解 用增广矩阵表示为
一、三角形方程组的解法
x2 x2 x3 3 x3
x4 5 x4 13 x4 13 x4
4 7 13 13
为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先 a11 x1 a12 x2 .............................. a1n xn b1 解出 xn=bn/ann , 然后按方程由后向前的顺序，从方程 a x2 ............................. a2 n xn b2 22 中依次解出 xn-1,xn-2,…,x ....................................... .. 1。这样就完成了上三角方程组 的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如 an1n1 xn1 an1n xn bn 1 下： ann xn bn
工程数学4-1.高斯消元法
5 x1 2 3 x2 − 2 c − 4 . ∴ = c1 + 2 3 x3 1 0 0 x 4 1
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换 1 − 2 3 − 1 1 r2 − 2r1 1 − 2 3 − 1 1 r −r B = 3 − 1 5 − 3 2 3 1 0 5 − 4 0 − 1 2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 0 − 4 0 1 2 5 0 解
第一节 高斯消元法
• • • • 一、消元法解线性方程组 二、线性方程组有解的判定条件 三、线性方程组解法 四、小结 思考题
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
证 必要性． 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) < R(B ), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０ 方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B ).
充分性. 充分性. 设 R(A) = R(B ), 设 R(A) = R(B ) = r (r ≤ n ),
3_1高斯消元法
0 2 0 0
0 1 0 0
2 1 0 4 1 -3 2 -6
0 7 0 2 1 -3 0 0
1 -1 0 0 r4 - 2 r1 0 0 0 0
r2 -3 r1 r3 - r1
0 0 2 2 0 2 0 2
2 1 1 -3 1 1 3 -5 2 1 1 1 1 -3 3 -5
①存在非零解的充要条件为r(A)<n; ②只有唯一零解的充要条件为r(A)=n.
《线性代数》
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例2. 求解齐次线性方程组
+ 2 x4 + x5 x1 - x2 3 x - 3 x + 7 x4 1 2 x1 - x2 + 2 x3 + 3 x4 + 2 x5 2 x1 - 2 x2 + 2 x3 + 7 x4 - 3 x5
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0 0 0
a11 a21 A= am1a12a22 am2
一、基本概念
a1n a2n amn
a11 = ( A b) = a21 A am1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b2 amn bm
第三章 线性方程组
第一节
高斯（Gauss）消元法
一、基本概念 二、高斯消元法 三、齐次线性方程组非零解的存在性
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一、基本概念
１．线性方程组的一般表示
含有m个方程n个变量的 n元线性方程组般形式为：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
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《高斯消元法简介》教案
一、教学目标
知识与技能：了解高斯消元法
过程与方法：直接演示说明，学习做简单练习
情感，态度和价值观：进一步体会解方程组的根本思想消元，通过高斯消元的学习增强学习数学的能力
二、重点与难点：高斯消元法
三、课型
新授课
四、教学过程：
1.在前面的几节课，已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组，其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组，直到最后得到一个一元一次方程，这种做法可适用于一般的n元线性方程组（线性方程组），但是由于未知数的增加，我们希望我们的消元是有规律的，以避免混乱，下面介绍高斯消元法
（1） ；
（2） .
解：略
，
数学家
【人物介ห้องสมุดไป่ตู้】
物理学家、数学家卡尔·弗里德里希·高斯
高斯[1]（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
2.例1：解方程组
解：把第一个方程的2倍，-3倍，5倍分别加到第2，3，4个方程上，可以消去2，3，4个方程的未知数
为了使以后少出现分数运算，交换第二，三个方程的位置
把第2个方程的-5倍，7倍分别加到第3，4个方程，可以消去第3，4个方程未知数
整理一下方程，第3个方程的左右两边乘以 ，第4个方程左右两边乘以
1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。5年以后，高斯又证明了形如"Fermat素数"边数的正多边形可以由尺规作出。
1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。
生平
高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
高斯的老师Bruettner与他助手Martin Bartels很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁起，便资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792－1795年在Carolinum学院（今天Braunschweig学院的前身）学习。18岁时，高斯转入哥廷根大学学习。在他19岁时，第一个成功的用尺规构造出了规则的17角形。
虽然高斯作为一个数学家而闻名于世，但这并不意味着他热爱教书。尽管如此，他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的Richard Dedekind和黎曼。
高斯墓地：高斯非常信教且保守。他的父亲死于1808年4月14日，晚些时候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831）。他们又有三个孩子：Eugen (1811-1896), Wilhelm (1813-1883)和Therese (1816-1864)。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日，他的母亲在哥廷根逝世，享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在哥廷根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记中的发现于1898年被发现。
高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。
当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
把第3个方程的-1倍加到第4个方程，可以消去第4个方程的未知数
把第4个方程两边除以-6
把第4个方程 的5，2，-4分别加到第1，2，3个方程
把第3个方程 的2倍，-1倍分别加到第1，2个方程
把第2个方程的1倍加到第一个方程
所以这个方程组的解是
说明：
①以上自上而下求解方程组的过程就是高斯消元法
利用高斯消元法任意的n元一次方程组都是可以有规律的得以求解
②消元时要注意要让每一个方程的主元（第一个未知数的系数为1，以便消元）
③注意未知数的位置
*高斯消元法其实在我国的数学著作《九章算术》中早就有记载，叫高斯消元法西方人的叫法，实际比九章算术晚了1000多年
2.练习：利用高斯消元法解方程组
（1） ；（2） .
解：略
3.练习：利用高斯消元法解方程组
4.练习：利用高斯消元法解方程组
高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
1792年，15岁的高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、“质数分布定理”(prime numer theorem)、及“算术几何平均”(arithmetic-geometric mean)。