三角形存在性问题
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
直角三角形的存在性问题解题策略
03
CATALOGUE
直角三角形的存在性问题分类
直角在三角形内部
总结词
当直角位于三角形内部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直 角三角形的斜边长度。接着，根据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成 三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存在。
在题目中，有时候会隐含一些关于三角形或 角度的条件，需要仔细审题并挖掘。
举例说明
在求解三角形边长的问题时，需要注意隐含 的等腰或等边条件，这些条件可能会影响三 角形的形状和存在性。
掌握常见题型和解题方法
01
02
03
常见题型
直角三角形存在性问题的 常见题型包括角度问题、 边长问题、高的长度问题 等。
直角在三角形外部
总结词
当直角位于三角形外部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长度。接着，根 据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存 在。
建立方程
根据题目条件，可以建立关于未知数 （如角度、边长等）的方程，然后求 解该方程。
解方程
解方程的方法有很多种，如代数法、 三角函数法等，选择合适的方法求解 方程。
利用数形结合思想
数形结合
将题目中的条件和图形结合起来，通过 观察图形和计算数据，找到解决问题的 线索。
VS
综合分析
综合运用数学知识和图形分析，逐步推导 和验证，最终得出结论。
解题方法
针对不同的问题类型，需 要掌握相应的解题方法， 如利用三角函数、勾股定 理、相似三角形等。
18、直角三角形存在性问题--陆老师
直角三角形存在性问题
、
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得
，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，
，
综上，，，，.。
直角三角形存在性问题解决方法汇总
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：【构造三垂直】01问题与方法C3、C4求法相同，以C3为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1：【解析法】还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，可得：kAC=-2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为（1.5,0），即C1坐标为（1.5,0）．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上方法小结几何法：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．02从等腰直角说起再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．2019兰州中考删减【等腰直角存在性——三垂直构造全等】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax²+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．2017本溪中考【直角顶点已知or未知】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点B （3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，5/2），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．【小结】对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．2019阜新中考【对未知直角顶点的分析】如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（-1,0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【小结】无论直角顶点确定与否，事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．03一般直角三角形的处理一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．2018安顺中考【对称轴上寻动点】如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2018怀化中考【抛物线上寻动点】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019鄂尔多斯中考【动点还可能在……】如图，抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，圆C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．。
直角三角形的存在性问题
小结： 写出本题完整的解题过程：
注意：
轴交于点 C．
（1）求点 A、 B 的坐标；
（ 2）若直线 l 过点 E(4, 0) ，M为直线 l 上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形
有．且．只．有．三个时，求直线 l 的解析式．
点拨： 1．当直线 l 与以 AB为直径的圆相交时，符合∠ AMB＝90°的点 M有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合∠ AMB＝ 90°的点 M只有 1 个． 2 ．灵活应用相似比解题比较简便．
为线段 OC上一点，设过 B、P 两点的直线为 l 1，过 A、P 两点的直线为 l 2，若 l 1与 l 2 是点 P 的直 角线，求直线 l 1 与 l 2的解析式．
〖练 4〗 如图 1，直线 y
4 x
4 和 x 轴、y 轴的交点分别为
B、C，点 A 的坐标是（-2 ，0）．
3
（1）试说明△ ABC是等腰三角形；
① __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个 ② __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个
第三步 计算 ——具体问题具体分析
②如图， Q为直角顶点，那么 __________________， 于是 MP ' OB ' 1 ，因此 MB 2MP '， MB OB 2
数形结合， xB xP ' 2 y P' ， 设 P(_____, _________________) ， 那么 _______ _________________ ， 解得 x1 4, x2 5
2 x1 4的几何意义就是点 _____ ， x2 5 的几何意义就是点 _______
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略有关直角三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。
一、模型讲解“两线一圆”模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
已知:定点A(2，1)、B(6，4)和动点M(m，0)，存在直角三角形。
具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。
作出图形后，具体求解方法有三种：方法一：“K型”图（有的叫“一线三等角”），三角形相似易得△ACM∽△BEA，求得CM，从而求出点M的坐标。
易得△AEB ∽△BFM求得BF，从而得M的坐标方法二：勾股定理∵BH²=BG²-GH² ∵AC²+CM²=AM²BH²=BM²-HM² MD²+BD²=BM²∴BG²-GH² =BM²-HM² AM²+BM²=AB²∴AC²+CM²+MD²+BD²=AB²方法三：解析法（来源于高中的解析几何，虽然有点超纲，但是很多老师都教学生这种方法）K AB ·K AM =-1，直线BM 与x 轴的交点即为M 。
K AB ·K BM =-1，直线A 与x 轴的交点即为M 。
专题二次函数的动点问题三角形的存在性问题
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题（一）三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）、【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。
2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是 4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
直角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。
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二次函数中三角形问题(复习补充)
1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c经过A（-1，0）
、B（3，0）、C（0
，
3
）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；二次函数式为y=-x2+2x+3；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；y=-x2-2x+3；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，抛物线y=ax2
+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；y=x2+2x-3；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
①当A为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）。
②当D为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）
③当M为直角顶点时，∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。
4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x 轴于E，D两点（D点在E点右方）．
（1）求点E，D的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；
（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使
△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，
说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
（1）在BC上取中点G，并过G作GH ⊥x轴于H，连接GD
∴D（3，0），E（1，0）。
（2）设过B、C、D三点的抛物线表达式为
∴
过Q作QN⊥x轴于N
分2种情况：
①当∠BDQ=90°时，（与点D重合，舍去）
②当∠DBQ=90时，则当有
∴，（与点B重合，舍去），
综上所述符合条件的点有2个，分别是，。