中考考试数学压轴题之三角形存在性问题

中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性
题型特点
三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．
解题思路
①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；
②分类讨论，画图；
③建等式，对结果验证取舍．
对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：
①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．
②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或
线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．
③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关
系，用同样方法解决问题．
难点拆解
①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线
k1；
②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合
一找相似建等式；
③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线
段长，借助函数或几何特征建等式．
④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．
1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

与坐标轴交于A，
B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误！未找到引用源。

与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．
（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A
在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM =∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．
4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

与x
轴的两个交点分别为A(-3，0)B(1，0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）a=________，b=________，顶点C的坐标为_________．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC 于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
5.（2012辽宁大连）如图，抛物线错误！未找到引用源。

经过A(错误！未找到
引用源。

，0)，B(错误！未找到引用源。

，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛
物线的对称轴l相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED 旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM，DN，若PM=2DN，求点N的坐标．
6.（2012湖北黄冈）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

(m>0)与x轴相
交于点B，C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M(2，2)，求实数m的值．
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积．
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．
（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
7.（2012福建福州）如图1，已知抛物线错误！未找到引用源。

（a≠0）经过A(3，
0)，B(4，4)两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P，O，D分别与点N，O，B对应）．
8.（2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

（b是实数且b＞
2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
9. （2012浙江丽水）在△ABC 中，∠ABC =45°，tan ∠ACB =错误！未找到引用源。

．如
图，把△ABC 的一边BC 放置在x 轴上，有OB =14，OC =错误！未找到引用源。

，
AC 与
y 轴交于点E .
（1）求AC 所在直线的函数解析式．
（2）过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，求△OEG 的面积．
（3）已知点F (10，0)，在△ABC 的边上取两点P ，Q ，是否存在以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
三角形的存在性
1．（1）213
322
y x x =-++．
（2）C 3
(0)2
-，．
（3）存在，符合条件的点M 的坐标分别为
123457
(01)(07)(0)(10)(30)2
M M M M M -，、，、，、，、，．
2．（1）C （0
3），b
9
4
，c 3．
（2）14802
1841
2 -t t QH t t ⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
-≤=，＜，＜＜．
（3）存在，符合条件的t 值分别为t 1
1，t 2=
732，t 3=2532
． 3．（1）21=24
y x x -． （2）△ANO 的面积为12．
（3）①证明略；②能，
A (44)+． 4．（1）1,=2a =b --，C 1，4）．
（2）存在，符合条件的点D 的坐标为（0，3）或（0，1）． （3）P )9
20
31(，或P )16
5547(，-．
5．（1
）2133=-y x +
+． （2）存在，符合条件的点Q 的坐标分别为Q 1()07,
、Q
2)2、Q
3()
、
Q
4()
-． （3
）N ⎭
．
1. （1）m =4．
（2）S △BCE =6． （3）H （1，
32
）． （4）存在，m
=． 2. （1）x x y 32-=．
（2）4=m ，点D 的坐标为（2
2）．
（3）点P 的坐标为（83-，3245-）或（3245，8
3
）．
3. （1）B （b ，0），C （0，
4
b
）． （2）存在，点P 的坐标为（
165，165
）． （3）存在，符合条件的点Q 的坐标为（1
，）或
（1，4）．
4. （1
）3
5
y x =-+
（2）30OEG S ∆=．
（3）存在，符合条件的点P
坐标为
(
)
(
10653022⎝⎭⎝⎭
⎛-+ ⎝
⎭，
，，．。