声学基础4.3理想流体媒质中的声波方程
(完整word版)声学基础课后答案
习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M g lξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20g l ω=即 01,2πgf l= 这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问：(1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(22002200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
声学中波动方程的建立
田佳星海洋技术１2０200４１049今天我介绍一下声学中波动方程得建立。
我们首先介绍一下声学得基本概念。
声波就是机械振动状态在介质中得传播。
存在声波得空间称为声场。
理论上描述声场需要引入一些物理量:声压、位移、振速、密度压缩量与相位等。
通常采用上述各物理量得时空分布函数描述声场。
下面对这些物理量作简要介绍。
1、基本概念１) 声压(标量)声波为压缩波。
描述“压缩”过程得一个物理量就是压强。
然而,声波就是声扰动(如振动源)引起介质中得压强发生变化得部分。
因此,我们引入声压得概念:声压为介质压强得变化量:(2-1)其中,就是压强,就是介质中得静态压强。
声压就是描述波动得物理量。
为使用方便,还由声压引入了瞬时声压、峰值声压与有效声压。
声场中某瞬时得声压称为瞬时声压。
一定时间间隔内得最大瞬时声压称为峰值声压。
瞬时声压在一定时间间隔内得均方根值称为有效声压,即(2-2) 对简谐声波,、与相互之间得关系与电压可作相同类比,即。
一般仪器仪表测得就是有效声压。
2) 位移与振速(矢量)质点位移就是指介质质点离开其平衡位置得距离、质点振速就是介质质点瞬时振动得速度。
两者均就是有大小与方向得量,即矢量,相互关系为(２—3)对简谐振动,位移与振速都满足如下关系:, (2—４a), (2-4b)其中,与分别为位移幅值与振速幅值。
需要注意得就是区分质点振速与声传播速度。
声传播速度就是指振动状态在介质中传播得速度,而质点振速就是指在给定时间与给定空间位置得某一质点得振动速度。
３) 密度与压缩量密度得变化也就是描述声波得一个物理量。
这里引入压缩量得概念:(２-5)其中,密度,为静态密度,为密度改变量。
压缩量s得含义为介质密度得相对变化量、４) 相位为描写简谐振动而引入得物理量。
它描述质点简谐振动得状态。
质点振动得一个周期对应着相位0—2π、相位与质点振动状态有一一对应得关系。
声波就是振动状态在介质中得传播,而相位描述得就是质点简谐振动得状态、由此可见相位在声场描述中得重要性。
基本概念声学量波动方程速度势函数学时
同理, d时t 间内沿
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z量在
yUydxdydtz
zUzdxdydtz
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速 U (x,y,z,引t)起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m xU x yU y zU z dxd dy t d
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
(0l) u t p 忽略高阶小量： l
u t
！！！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：
0
u p t
运动方程
记住！
又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的 乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。
3.2 理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数
3.2.1 流体中小振幅波波动方程 3.2.2 速度势函数
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
定义, c0 (p为)介0,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
(()0,s0 0)
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
声波方程有限元
声波方程有限元声波方程有限元是一种数值模拟方法，用于求解声波传播过程中的声场分布和声学特性。
声波方程是描述声波传播的偏微分方程，通过将其离散化为有限元形式，可以使用计算机进行求解。
在声波方程有限元中，首先需要将声波传播的区域进行离散化，将其划分为许多小的单元。
每个单元内部的声场分布可以用一组基函数来表示，这些基函数通常是多项式函数。
然后，通过求解每个单元内的声场分布，可以得到整个区域内的声场分布。
声波方程有限元的求解过程可以分为三个步骤：建立有限元模型、建立方程、求解方程。
在建立有限元模型时，需要确定模型的几何形状和边界条件。
几何形状可以通过CAD软件进行建模，边界条件可以根据实际情况进行设定，例如固定边界、自由边界等。
建立方程是将声波方程离散化为有限元形式。
声波方程可以写为二阶偏微分方程，通过应用变分原理和加权残差法，可以将其离散化为一组代数方程。
这些代数方程可以通过有限元方法求解，得到声场分布。
求解方程是通过数值计算方法求解离散化后的代数方程。
常用的求解方法有直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法等，迭代法包括雅可比迭代法、超松弛迭代法等。
根据实际情况选择合适的求解方法，可以提高计算效率和精度。
声波方程有限元方法的应用非常广泛。
在工程领域，可以用于声学传感器和扬声器的设计与优化，声波传播的模拟与预测，噪声控制和消除等。
在医学领域，可以用于声学图像的重建与分析，声波在人体组织中的传播与相互作用等。
然而，声波方程有限元方法也存在一些限制和挑战。
首先，声波传播的计算量较大，需要消耗大量的计算资源和时间。
其次，声波传播过程中存在多尺度和多物理场的耦合，对模型的几何形状和边界条件的要求较高。
此外，声波传播过程中的非线性效应和衍射效应也需要考虑。
声波方程有限元是一种有效的数值模拟方法，用于求解声波传播过程中的声场分布和声学特性。
通过建立有限元模型、建立方程和求解方程，可以得到声场的详细分布情况。
中科院声学所2009年硕士入学考试《声学基础》大纲
本《声学基础》考试⼤纲适⽤于中国科学院研究⽣院声学等专业的硕⼠研究⽣⼊学考试。
声学是物理学的⼀个分⽀，主要研究与声有关的各种现象，包括⼈⽿不能听到的超声波和次声，声学基础是与声学各个分⽀学科的基础，是与声相关的研究和应⽤的基础课程。
要求考⽣掌握声学基相关的机械振动的基本概念与基本运算，并具有⼀定的灵活应⽤的能⼒。
⼀、考试内容
（⼀）简单振⼦的振动
1.简单振⼦的概念，运动⽅程和规律；
2.⾃由振动、衰减振动和受迫振动的概念；
3.共振频率的计算；
4.振动能量及转化的概念和计算。
（⼆）弹性体的振动
1.⽆限长弦的振动⽅程和解；
2.两端固定的弦的共振频率；
3.模式的概念；
4.棒的横振动、膜和板的振动概念。
（三）声波的基本性质
1.线形声波⽅程的基本假设和推导；
2.平⾯波的基本性质，声压级和声强级的概念；
3.平⾯声波在平⾯界⾯上反射和折射的研究⽅法，⼀般规律；
（四）管道和房间中的声波
1.声波导中模式的概念，频散现象；
2.房间中声场的模式；
3.混响时间的概念和计算；
（五）声波的辐射
1.球⾯波的基本性质；
2.辐射阻抗的概念；
3.偶极源的辐射。
⼆、主要参考书⽬
声学基础(第2版)，杜功焕、朱哲民、龚秀芬著，南京⼤学出版社(2001年)。
第三章 声波的基本性质
声学基础
第三章 声波的基本概念和性质
④ 声道现象
声线总是向声速减小的方向发生弯曲，所以在高度H0以 下的声线向上弯曲，而在高度H0以上的声线向下弯曲， 因而声音传播出来的能量被限制在一定区域内传播，就 出现了声道现象。
声学基础
第三章 声波的基本概念和性质
主要内容
声波的基本概念 声音的传播速度及有关现象 声波的反射与折射定理 声波的绕射和其他波动现象 运动声源的多普勒效应 声级 电-力-声类比
强力火箭
汽车 钢琴
10 0.1
0.02
9
对话
小电钟 轻声耳语
10 8 10
10
9
5
声学基础
第三章 声波的基本概念和性质
③ 声功率与声强
声强 sound intensity ,sound energy flux density
声强是衡量声波在传播过程中声音强弱的物理量。声场中 某一点的声强即在单位时间内，在垂直于声波传播方向的 单位面积上所通过的声能，符号为I，单位为瓦/米2 （W/m2）。
声学基础
第三章 声波的基本概念和性质
声波的反射与折射定理
反射波声压与入射波声压之比
rp pra R2 R1 R12 1 pia R2 R1 R12 1
vra R1 R2 1 R12 via R1 R2 1 R12
反射波质点速度与入射波质点速度之比
声学基础
第三章 声波的基本概念和性质
② 声波波动方程
声场的特征可以通过媒质中的声压p，质点 速度v，密度的变化量ρ’来表征。 根据声波过程的物理性质，建立声压随空 间位置的变化和随时间的变化两者之间的 联系——声波波动方程
第3章 理想流体介质中声波的传播(3-1,3-6)讲诉
声波的传播速度
介质中振动传播过程的时间滞后现象说明声波在 介质中传播有一定的时间,称为声波的传播速度.
声波在空气中的传播速度是330m/s,在水中的传播速 度为1500m/s在钢块中的传播速度是5500m/s. 声波的分类
)
0
uz z
简化得:
t
0
(
ux x
u y y
uz ) z
声场介质中的连续性方程
t
v
0 u
3-2-3 状态方程 仍然考察一小体积元.设它在没有声扰动时状态为
P0 , 0 , T0
一般情况下,当声波传过来时它们会发生变化,三个 量的变化不是独立的,而是相互联系的.
声压的瞬时值:某一瞬时的声压.
峰值声压:在一定时间间隔中最大的瞬时声压值称 为峰值声压或巅值声压;如果声压随时间的变化是 按简谐规律的,则峰值声压也就是声压的振幅；
p pm cost,
有效声压 :在一定时间间隔内,瞬时声压对时间取 均方根值称为有效声压:
pe
1 T p2dt T0
简谐振动
pe
声场中取小体元ABCDEFGH D
V xyz
F1
介质静止时 u0 0 有声波作用时压强为 P0 p
B A
z z
对ABCD面: F1 (P0 p)yz
由于P随坐标变化,在 x 内变化量为 P
对EFGH面: F2 (P0 p P)yz
x 方向的合力为: Fx F1 F2 Pyz
G
H
p
v j
p
v k
x y z
欧拉方程描述了声场中声压和振速之间的关系.
声学基础 第二章 声波的基本性质
第二章 声波的基本性质 §2.1 概述2.1.1 声波的物理量1、声压p 指由声扰动产生的逾量压强，即声波引起的介质压强起伏与介质 静压的差值。
0p P P P =∆=- 声压p 通常是空间和时间的函数。
(,)p p r t = 介质中的实际压强为0P P p =+ （2-1-1）2、介质的密度和温度与声压的概念相似，声扰动或声波同样可以引起介质密度和温度的起伏。
0=-δρρ 0T T =-τ （2-1-2）δ和τ同样是空间和时间的函数。
不过一般情况下，这种起伏通常较小（详见小振幅声波或线性声学基本假设），可以近似认为：0=ρρ ，0T T = 即忽略密度和温度的起伏，近似认为它们为常量。
3、声波中的质点振动位移s 和振动速度v 指产生或传播声波的质点（或微元体）在其平衡位置附近的振动位移和振动 速度。
通常它们是矢量（场）。
4、声速c指声波在介质中的传播速度，分为相速度和群速度。
关于它们以后再介绍。
5、声波的频率f 、角频率ω、波长λ、周期T 等是我们熟悉的物理量，此处不再赘述。
描述声波的物理量还有许多，以后还要陆续介绍。
2.1.2 声波分类关于声波有多种分类方法很多，常见的分类方法主要有：根据波阵面（或等相位面）的形状或波源的几何特征，可以将声波分为： 1、 球面波（点源）；2、柱面波（直线源）；3、平面波（平面源） 根据波的振动方向与波传播方向的几何关系，可以将声波分为： 1、纵波，振动方向与波传播方向平行； 2、横波，振动方向与波传播方向垂直； 根据介质的几何尺寸和形状，还可将其中的声波分类为体波和导波，前者指在无限大介质中传播的波，而后者则指在有限介质中传播的波。
另外根据介质的理想化程度和对其数学描述的近似程度，把声学划分为：线性声学 理想介质理想介质 线性声学非线性声学 实际介质 声学 或 声学线性声学 理想介质实际介质 非线性声学非线性声学 实际介质流体介质因具有不可压缩性，同时其粘滞系数较小，对剪切应力的传递能力有限，因此其中只能传播纵波。
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○ 重点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程; – 4、声传播速度的计算.
○ 难点: – 1、运动方程； – 2、连续方程; – 3、状态方程;
4.3.1三个基本物理定律
思想:目的是推导某一参量(如声压)的波动方程, 但 是声扰动过程中,各参量声压,密度增量及振速等的 变化是相互关联的,首先要找出各参量之间的关系.
同一时间从EFGH面流出的质量:
x方向体元质量的增加为: F1
F
2
同理y方向,z方向使体元的质量增加为
根据质量守恒定律: 即 连续性方程:
小振幅声波:
简化得: 声场介质中的连续性方程
3）状态方程 仍然考察一小体积元.设它在没有声扰动时状态为
一般情况下,当声波传过来时它们会发生变化,三个 量的变化不是独立的,而是相互联系的. 由于在理想流体的假设下,声波过程进行较快,介质还 来不及与旁边的介质进行热量交换,因而声波过程可 以认为是绝热过程,即温度T0不变.这样,就可认为压
合并: 由
欧拉方程
欧拉方程描述了声场中声压和振速之间的关系.
2）连续性方程 根据质量守恒定律,连续介质中,任意一处体积元中 流进和流出的质量不等,必然引起该体积元介质密 度的变化.
仍取小体元分析,某一瞬时,质点振速为 研究x方向流动. Δt时间内介质由ABCD面流入体元ΔV的质量为
为单位时间通过单位面积的质量
由于声压p是标量,又容易测量,因此我们常采用声压 描述声场: 对连续性方程
对t求导 将运动方程带入上式
得到:
由
即 略去二阶小量,得 因此,状态方程可写为:
由
得:
波动方程
在不同坐标系中有不同形式
直角坐标系:
球坐标系: 运动方程为 可得质点振速:
分量形式:
强P仅仅是密度的函数,即:
一般说, 压强 P 与密度 的函数关系很复杂,但
在小振幅条件下,小体积元体积变化比较小,因而,
密度 相对静态密度 0 的变化也很小, P=P()在 0 附近展开成泰勒级数
线性近似:忽略二级以上的小量,得
微分:
对于一定介质,绝热压缩时,压强和密度都增加,
dp>0, d>0;绝热膨胀时,压强和密度都减小,dp<0, d<0;因此dP/d>0.
声振动满足三个基本物理定律: 牛顿第二定律 运动方程:
质量守恒定律 连续性方程
状态方程
状态方程
1）运动方程
声场中取小体元ABCDEFGH
F1
F2
介质静止时
有声波作用时压强为
对ABCD面: 由于P随坐标变化,在 内变化量为
对EFGH面:
x 方向的合力为:
体元的加速度 体元的质量 由牛顿第二定律得
同理可得:
声速度势与声压之间的关系
声速度势与振速之间的关系 速度势也是一标量,用它描述声场也比较方便,只要 知道势,即可求出声压和振速.
上式表明理想流体中小振幅声场是无旋的. 由矢量分析知识可知:如果某一矢量的旋度等于0, 则这一矢量必为某一标量函数的梯度；矢量的分 量则是该标量函数对相应坐标的偏导数. 因此:
ψ称为声速度势函数,不同的坐标中有不同的形式.
直角坐标中 球坐标中 柱坐标中 速度势也具有与声压类似的波动方程:
由
对时间微分,消去 得
令:
得到声扰动的状态方程.
dP c2d
比例系数 c 实际上代表声传播的速度.它在一般情况 下不是常数,仍可能是压强或密度的函数,其值决定
于具体介质情况下压强 P 对密度 的依赖关系.
理想气体中传播的声速
理想气体的绝热状态方程
对一定质量的气体
得到:
dP c2d
对于小振幅声波,压强及密度变化很小,近似得:
理想气体的绝热状态方程:
对一定质量理想气体: 得: 小振幅声场中:
状态方程:
描述声场中声压与微小密度变化
4.3.3 理想流体中小振幅波传播的波动方程
○ 波动方程的导出 ○ 声速度势
波动方程的导出 理想流体介质的三个基本方程 运动方程 连续性方程
状态方程 利用上述三个关系式,消掉任意两个量,就可以得到 任意一个量的时空关系式.