工程物理基础 第1篇 声学基础 第2章 弹性体的振动
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声学基础第一章-弹性波理论基础1-2(2012年新版)
、(， )分别为弹性介质的密度 和拉梅常数；
上式是位移矢量三个分量函数的波动方程，矢量形式的位移 矢量波动方程为：（！！！）
s ( x, y, z, t ) 2 ( )( s ( x, y, z, t )) s ( x, y, z, t ) 2 t
( ) 2 0 ( )( ( )) ( ) 2 t 2 2 左 0 0 t 2 t 2
显然，三个方程均为达朗贝尔方程，解为：
( x , t ) f1 ( x c l t ) f 2 ( x c l t ) 2 ( x ,t ) g1( x ct t ) g 2 ( x ct t )；其中：cl ; ct ( x ,t ) h ( x c t ) h ( x c t ) 1 t 2 t
cl
; kt
ct
坐标x处质点的运动轨迹在 3个坐标面上的投影曲线 ： （ 1 ）o x y坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Y ( x, t ) B cos(t kt x) （2）o x z坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Z ( x, t ) C cos(t kt x) （3）o y z坐标面上： Y ( x, t ) B cos(t kt x) Z ( x, t ) C cos(t kt x) 其中：kl
是空间椭圆（广义）曲 线
cl
; kt
ct
3o弹性介质中质点位移势函数的波动方程 据‘场论’理论，一个矢量场可表示成一个标量场的梯 度与一个矢量场的旋度之和。 定义：若,位移矢量
中科院声学所2009年硕士入学考试《声学基础》大纲
本《声学基础》考试⼤纲适⽤于中国科学院研究⽣院声学等专业的硕⼠研究⽣⼊学考试。
声学是物理学的⼀个分⽀，主要研究与声有关的各种现象，包括⼈⽿不能听到的超声波和次声，声学基础是与声学各个分⽀学科的基础，是与声相关的研究和应⽤的基础课程。
要求考⽣掌握声学基相关的机械振动的基本概念与基本运算，并具有⼀定的灵活应⽤的能⼒。
⼀、考试内容
（⼀）简单振⼦的振动
1.简单振⼦的概念，运动⽅程和规律；
2.⾃由振动、衰减振动和受迫振动的概念；
3.共振频率的计算；
4.振动能量及转化的概念和计算。
（⼆）弹性体的振动
1.⽆限长弦的振动⽅程和解；
2.两端固定的弦的共振频率；
3.模式的概念；
4.棒的横振动、膜和板的振动概念。
（三）声波的基本性质
1.线形声波⽅程的基本假设和推导；
2.平⾯波的基本性质，声压级和声强级的概念；
3.平⾯声波在平⾯界⾯上反射和折射的研究⽅法，⼀般规律；
（四）管道和房间中的声波
1.声波导中模式的概念，频散现象；
2.房间中声场的模式；
3.混响时间的概念和计算；
（五）声波的辐射
1.球⾯波的基本性质；
2.辐射阻抗的概念；
3.偶极源的辐射。
⼆、主要参考书⽬
声学基础(第2版)，杜功焕、朱哲民、龚秀芬著，南京⼤学出版社(2001年)。
建筑物理 +声学部分+《第1章：建筑声学基础知识》
0c 又称为介质的特性阻抗。
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建筑物理
第1章 建筑声学
1.2.2 声功率级、声强级和声压级 人耳刚能听见的下限声强为10-12w／m2，相应的声压为 2×10-5N／m2；使人感到疼痛的上限声强为1w／m 2，相 应的声压为20N／m2。所以用声强和声压计量声音很难。 1.声功率级（ LW ） 声功率级是声功率与基准功率之比的对数的10倍。记为 LW W LW 10 lg (dB) W0
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建筑物理
第1章 建筑声学
2.声强级（LI ） 声强级是声强与基准声强之比的对数的10倍。记为 LI
I LI 10 lg I0
(dB)
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建筑物理
第1章 建筑声学
3.声压级（Lp） 声压级是声压与基准声压之比的对数的20倍。记为 Lp
p L p 20 lg (dB) p0
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建筑物理
第1章 建筑声学
1.1.4 声音的透射、反射和吸收
当声波入射到建筑构件(如墙、天花)时，声能的一部 分被反射，一部分透过构件，还有一部分被构件吸收。 根据能量守恒定律，若入射总声能为E0，反射的声能 为Eρ，构件吸收的声能为Eα，透过构件的声能为Eτ， 则互相间有如下的关系:
E0＝E 十Eα十E τ
Lp LW 20lg r 8
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建筑物理
第1章 建筑声学
1.4.2 室内声压级的计算
1.直达声、早期反射声及混响声。
1.直达声：是指声源直接到达接收点的声音。 2.早期反射声：一般指直达声到达以后，相对延 迟时间为50ms内到达的反射声。（对于音乐声可 放宽至80ms）。 3.混响声：在早期反射声之后陆续到达的，经过 多次反射后的声音统称为混响声。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-3(2012年新版)
1 －3
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
第一章第一节物理声学基础
第一部分：声学基础篇*******************第一章：声学基础********************第1节：物理声学基础一、声音的本质1、声波的产生及传播声音产生于物体的振动，声音是在弹性介质中传播的频率在20至20000Hz的机械纵波。
低于20Hz的声波叫次声波，高于20000Hz的声波称为超声波。
次声波、超声波人耳都听不见，但它与声波的本质相同。
由此可见,要产生声音必须有振动和传播正动的弹性介质，而要听到声音除存在声源，要有传播媒介外，还必须通过人耳听觉感知。
才能产生声音的感觉.◆图片1-1声波的产生和传播过程中学课本将声波的传播用投石入水现象和甩绳实验作了形象的比喻。
◆图片1-2 投石入水现象◆图片1-3 甩绳实验横波的特点是质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。
纵波又称疏密波是质点的振动方向与传播方向一致的波。
振动和波动是相互联系的运动形式，但是两个不同的概念，振动是波动产生的根源，波动是振动的传播过程。
声音的本质是一种波动，是声能在随声波在传播。
一般把声能的物理传播过程称为声波，而把声能的人耳感知过程叫做声音。
2、声波的表征（周期、频率、波长、波度，声场的基本概念及自由声场的传播）周期是指声源完成一次振动所经历的时间,记作T,单位为秒(s).一秒钟内振动的次数称为频率,记作f,单位为赫兹(Hz),它是周期的倒数,即f=1/T.声波传播速度是指声波在媒质中每秒传播的距离,简称声速.记作c单位为米/秒(m/s).声速不是质点振动的速度而是振动状态的传播速度,它的大小与振动的特性无关,而与媒质的弹性,密度和温度有关.声波的传播速度实质是媒质分子向相邻分子作动量传递的快慢程度.显然,媒质分子结构越紧密,内损耗特性越小,声速值就越大.例如,空气,水,钢铁的媒质特性决定了它们的声速值约为1:4:12.声波的波长是指声源完成一周的振动,声波所传播的距离,或者说声波在传播途径上相位相同的两相邻质点之间的距离,记作λ,单位为米(m). 因此,声速.波长和频率三者有如下的关系:c=λf或c=λ/T由于一定媒质的声速为常数,故频率与波长呈反比关系.例如室温空气中频率f=100赫兹的波长为3.4m,f=1000赫兹的波长为0.34m或34cm声场指的是媒体中有声波存在的时空区域，声波在各向同性无反射均匀媒体中产生的声场称为自由声场。
建筑物理-声学基本知识
2000Hz 4000Hz
1000Hz
4m
21
0.004
0.01
0.024
Architectural Acoustics
2019年3月8日星期五
第一章 建筑声学基本知识
室内声学原理 混响与混响时间
混响时间的意义及影响因素
• •
反映了声波在房间衰减的快慢程度； 大致反映了直达声与反射声的比例；
人耳的主观听觉特性 人耳的听闻范围
听觉过程：外耳——中耳——内耳——大脑 人耳对不同频率的声音的敏感程度不一样
•
对中、高频敏感；对低频不敏感
听闻范围
人耳所感觉的声音的大小称为响度
相同声压级，不同频率的声音，响度不同 • 相同频率，不同声压级的声音，响度不同 • 等响
•
响度
响度的单位为宋(sone)
线源声音随距离的衰减
无限长线声源：传播距离加倍，声压级降低 3 dB 有限长线声源：传播距离加倍，声压级降低 3~6 dB
面源声音随距离的衰减
近处：声能没有衰减 远处：传播距离加倍，声压级降低3~6dB
14
2019年3月8日星期五
Architectural Acoustics
第一章 建筑声学基本知识
声波的性质>>声波的折射 声波的折射
介质的温度、密度等条件发生变化后，会产生声传播的弯曲现象 温度的影响：
白天，地面附近的空气温度高，声波向上弯曲； 夜间，地面附近的空气温度低，声波向下弯曲
风的影响：
顺风时声波向下弯曲；逆风时向上弯曲
1000Hz
4m
21
0.004
0.01
0.024
Architectural Acoustics
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第一章 建筑声学基本知识
室内声学原理 混响与混响时间
混响时间的意义及影响因素
• •
反映了声波在房间衰减的快慢程度； 大致反映了直达声与反射声的比例；
人耳的主观听觉特性 人耳的听闻范围
听觉过程：外耳——中耳——内耳——大脑 人耳对不同频率的声音的敏感程度不一样
•
对中、高频敏感；对低频不敏感
听闻范围
人耳所感觉的声音的大小称为响度
相同声压级，不同频率的声音，响度不同 • 相同频率，不同声压级的声音，响度不同 • 等响
•
响度
响度的单位为宋(sone)
线源声音随距离的衰减
无限长线声源：传播距离加倍，声压级降低 3 dB 有限长线声源：传播距离加倍，声压级降低 3~6 dB
面源声音随距离的衰减
近处：声能没有衰减 远处：传播距离加倍，声压级降低3~6dB
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第一章 建筑声学基本知识
声波的性质>>声波的折射 声波的折射
介质的温度、密度等条件发生变化后，会产生声传播的弯曲现象 温度的影响：
白天，地面附近的空气温度高，声波向上弯曲； 夜间，地面附近的空气温度低，声波向下弯曲
风的影响：
顺风时声波向下弯曲；逆风时向上弯曲
第1章_声学基础_绪论
声学基础
1
课程的目标与任务
基础性专业课程 从声音的物理学原理出发，利用高等数学、大学
物理等课程的基础理论知识，解决声学问题。 从人耳的听觉特性出发，解决人对的声音的感知
问题。
2
课程的主要内容
➢ 振动与波 ➢ 声波的基本概念和性质 ➢ 人耳的听觉心理 ➢ 声音信号分析 ➢ 音律分析 ➢ 乐器声学 ➢ 声乐和语音分析 ➢ 噪声控制 ➢ 室内声学原理 ➢ 音质评价
各声部在不同时间、不同地点分别录制 适用类型：流行音乐
声学基础
同期录音
优点：融合度好，感染力强 缺点：录制难度大
第一章 绪论
声学基础
分期录音
第一章 绪论
优点：时间、空间不受限制；缺点：融合性不好
流程：前期录音 后期缩混 母带处理 输出成品
Recording
Mixing Down Mastering Product Manufacture
13
声学基础
思考问题
第一章 绪论
➢ 物体围绕它的平衡位置的往复运动叫做振动, 而振动在连续介质中的传播就产生声音。
➢ 声波有两个基本要素：
① 声源，即振动的物体。 ② 声波赖以传播的介质，这种介质可以是固体、液
体或气体。
14
声学基础
思考问题
声音是怎么传播的
第一章 绪论
声音经过各次反射最 终到达人耳，其时域 和频域的波形在这过 程中发生很大变化
鼻腔 口腔
鼻输出 口输出
语音产生的动力源于肺，肺产生 压缩空气，然后通过气管、喉、 口腔、鼻腔、牙齿、嘴唇等这一 套发声器官调制以后，再喷射出 来，就产生了语音。
18
声学基础
思考问题
第一章 绪论
1
课程的目标与任务
基础性专业课程 从声音的物理学原理出发，利用高等数学、大学
物理等课程的基础理论知识，解决声学问题。 从人耳的听觉特性出发，解决人对的声音的感知
问题。
2
课程的主要内容
➢ 振动与波 ➢ 声波的基本概念和性质 ➢ 人耳的听觉心理 ➢ 声音信号分析 ➢ 音律分析 ➢ 乐器声学 ➢ 声乐和语音分析 ➢ 噪声控制 ➢ 室内声学原理 ➢ 音质评价
各声部在不同时间、不同地点分别录制 适用类型：流行音乐
声学基础
同期录音
优点：融合度好，感染力强 缺点：录制难度大
第一章 绪论
声学基础
分期录音
第一章 绪论
优点：时间、空间不受限制；缺点：融合性不好
流程：前期录音 后期缩混 母带处理 输出成品
Recording
Mixing Down Mastering Product Manufacture
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声学基础
思考问题
第一章 绪论
➢ 物体围绕它的平衡位置的往复运动叫做振动, 而振动在连续介质中的传播就产生声音。
➢ 声波有两个基本要素：
① 声源，即振动的物体。 ② 声波赖以传播的介质，这种介质可以是固体、液
体或气体。
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声学基础
思考问题
声音是怎么传播的
第一章 绪论
声音经过各次反射最 终到达人耳，其时域 和频域的波形在这过 程中发生很大变化
鼻腔 口腔
鼻输出 口输出
语音产生的动力源于肺，肺产生 压缩空气，然后通过气管、喉、 口腔、鼻腔、牙齿、嘴唇等这一 套发声器官调制以后，再喷射出 来，就产生了语音。
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声学基础
思考问题
第一章 绪论
建筑物理 第1章 声学基本知识
第一讲 声学基本知识
• 声音来源于物体的振动。 • 通常把受到外力作用而产生振动的物体称为声
源。传播声音的物质称为传声介质。
• 声源在空气中振动，使邻近的空气（或其它介 质）随之产生振动并以波动的方式向四周传播 开来，当传到人耳时，将引起耳膜产生振动， 最后通过听觉神经产生声音的感觉。
敲打音叉之后，音叉产生振动，振动中的音叉会来回推撞周围的空气，使得空气的压力时高 时低，而使得空气分子产生密部和疏部的变化。
Lp 20lg P (dB) P0
Lp 20lg P (dB) P0
• 当几个不同声源同时作用时，它们在某处形成 的总声强是各个声强的代数和，即：
I I1 I 2 In
• 而它们的总声压则是各声压的均方根值，即：
P p12 p22 ... pn2
• 但是，声强级、声压级的叠加不能简单地进行 算术相加，而要按对数运算规律进行。
• 对于1000Hz的声音，听觉下限为2×10-5Pa,上限为20Pa, 相差106倍，如果以10倍为一级划分，则从可闻阈到疼痛 阈只有七级。
• 2）人耳对声音的大小的感觉，并不与声强或 声压值成正，而是近似地与它们的对数值成正 比。
• 声强级的定义就是声音的强度I和基准声强I0之 比的常用对数来表示，单位为贝尔(BL)。但一 般不用贝尔，而用它的十分之一作单位，称为 分贝（dB）。
• ：波长，在传播途径上，两相邻同相位质 点距离。单位：m，声波完成一次振动所走 的距离。
• c ：声速，声波在某一介质中传播的速度。 单位：m/s。
• 声速的大小与声源无关，只与传声介质的弹性、 密度和温度有关。不同的介质声速不同。
在 0oC 时，C钢＝5000m/s, C水＝1450m/s， C混凝土＝3100m/s。
• 声音来源于物体的振动。 • 通常把受到外力作用而产生振动的物体称为声
源。传播声音的物质称为传声介质。
• 声源在空气中振动，使邻近的空气（或其它介 质）随之产生振动并以波动的方式向四周传播 开来，当传到人耳时，将引起耳膜产生振动， 最后通过听觉神经产生声音的感觉。
敲打音叉之后，音叉产生振动，振动中的音叉会来回推撞周围的空气，使得空气的压力时高 时低，而使得空气分子产生密部和疏部的变化。
Lp 20lg P (dB) P0
Lp 20lg P (dB) P0
• 当几个不同声源同时作用时，它们在某处形成 的总声强是各个声强的代数和，即：
I I1 I 2 In
• 而它们的总声压则是各声压的均方根值，即：
P p12 p22 ... pn2
• 但是，声强级、声压级的叠加不能简单地进行 算术相加，而要按对数运算规律进行。
• 对于1000Hz的声音，听觉下限为2×10-5Pa,上限为20Pa, 相差106倍，如果以10倍为一级划分，则从可闻阈到疼痛 阈只有七级。
• 2）人耳对声音的大小的感觉，并不与声强或 声压值成正，而是近似地与它们的对数值成正 比。
• 声强级的定义就是声音的强度I和基准声强I0之 比的常用对数来表示，单位为贝尔(BL)。但一 般不用贝尔，而用它的十分之一作单位，称为 分贝（dB）。
• ：波长，在传播途径上，两相邻同相位质 点距离。单位：m，声波完成一次振动所走 的距离。
• c ：声速，声波在某一介质中传播的速度。 单位：m/s。
• 声速的大小与声源无关，只与传声介质的弹性、 密度和温度有关。不同的介质声速不同。
在 0oC 时，C钢＝5000m/s, C水＝1450m/s， C混凝土＝3100m/s。
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2.2 棒的纵振动
我们这里所讨论的棒是均匀的细棒（密度均匀，粗细均 匀）。“细”的意思是说它的横截面直径d比在其中传播之 弹性波的波长 小得多，即 ，因而振动沿着轴线方向 传播。在棒振动中，恢复力主要是棒的劲度。我们知道，在 弦振动中的恢复力主要是弦的张力。 棒振动可分为三类，即纵振动，横振动和扭转振动。因 为振动沿棒轴传播，因此做纵振动时，棒上各点振动方向与 轴平行；横振动时，质点振动方向与轴垂直；而做扭转振动 时，质点绕轴振动。本节只研究棒的纵振动，其他两种振动 形式可参看有关书籍。
由于是小振动，垂直位移
很小，因此
和
很小为 ，则元段的质量为 牛顿第二定律就可以得到该元段弦的运动方程
，于是根据
所以
其中
因为元段的选择具有任意性，所以式（2-1-3）可以用来描述 弦上任意位置的振动规律，称之为弦的振动方程．
2.1.2 弦振动方程的一般解
弦振动方程（2-1-3）是一个二阶偏微分方程，它的解应 是两个独立变量x和t的函数，设该方程的解具有下列形式：
这表明在经过t2 －t1的时间后， 在t=t1，x=x1处弦的位移状态 没有变化地向x的正方向由x1 点移到x2点，而移动的速度 为c，因为位移的选择是任意 的，因此每个横向波均以相 同的速度向x正向移动。这意 味着扰动的形状保持不变； 函数f1（ ct－x ）表示了一个 在x正方向传播的波动过程， 称为波函数。
在
腹）。
处振幅极大（波
由式（2-1-17）可求得第n次振动方式的波节与波腹，令
得到波节位置为 可以看出n次振动有n+1个波节。 令 ，则波腹位置为
由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式．
每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是
根据胡克定律，邻段A作用在B段右端面上之力，指向x 轴正方向，为
而邻段C作用在B段左端面上之力，指向x轴负方向（其中E是 表示物质劲度的一个常数，称杨氏模量，而s是棒的横截面 积），为 由牛顿第二定律得元段B的运动方程：
式中
为棒之密度。上式可以改写为
式（2-2-1）就是棒作纵向自由振动的振动方程。
因此，只要 的 具体函数形式给定就可以求出 Cn，Dn，从而定出Bn， ， 于是弦的振动位移就可以完全 确定。 例 如图2-5所示，一两端固 定的弦，设在 t＝ 0时，在中 央位置 x＝ l／2处把弦拉开一 位移 ，然后就释放，任其 自由振动。求解弦的振动位移。
初始条件可写为
将上述条件代入式（2-1-24）可得
得到纵振动沿x轴方向之传播速度为
把棒的纵振动方程与弦的振动方程相比，可以发现它们在形 式上完全类似。因而我们不必再进行重复的求解过程，可参 照弦振动方程的求解结果（2-1-12），直接写出方程（2-2-1） 的解为
式中 为波数。同弦的振动讨论相似，棒的振动也要受 到边界条件和初始条件的制约。下面就来讨论边界条件对棒 的纵振动的影响。
第2章 弹性体的振动
2.1 弦的振动 2.2 棒的纵振动 2.3 模的振动
在第1章中，我们曾假定振动系统的质量是集中在一 点的，弹簧的压缩与伸长是均匀的，描述系统性质的一 些参数（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间位置无
关，这种系统称为集中参数系统。但实际上不少振动系
统质量在空间有一连续分布，并且空间某一部分的质量 本身还包含弹性和阻尼性质，这种系统称为分布参数系 统，具有这种性质的物体称为弹性体。实际中的弹性体 是多种多样的，我们仅选择几何形状比较简单，具有一
式中， 波长。
称为第n次振动方式的波数，
为相应的
现在我们来研究初始条件对弦振动的影响。我们假定在 t＝0时刻有一般形式的位移和速度
此处 是x的任意函数，为了处理方便，我们将 式（2-1-21）改写成为
其中 （2-1-21）代入可得
仍为待定系数，将条件式
对上面两个等式分别乘以 弦函数的正交性可得
，从0到l积分，利用正
式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn， 由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率 的振动情况便完全确定。 图24是按式（2-1-17）计算出来 的较低阶的（ n＝ 1，2，3）振 动方式的振幅分布图。从图中 可以看到，当弦以基频振动时， 除在两固定端位移振幅为零以 外（波节），弦的其他位置振 幅都不为零，并且有一定分布，
2.2.2 两端固定的棒的振动
两端固定的棒，其长为l
边界条件
用分离变量法解（2-2-3）式，并把边界条件代入，经过运 算后可得到
式中An，Bn为任意常数，由初始条件决定。
是t的周期函数，表示一振动过程，当x取某些值
时， 等于零。因此不管t为何值， 恒等于
零（节点）。可见式（2-2-5）所表示的是一种“驻波”形 式的振动过程。每一个n对应于一种振动方式：n＝1的振动 称为基波，n＞1的各次振动称为n次谐波． 棒做纵向自由振动之固有频率 第n次谐波频率fn为基频f1的n倍，波长 节点位置由 所决定，即
其中A、B、
是待定常数。
如果弦的两端固定，对任何时间t满足下列边界条件
将边界条件代入式（2-1-12）中得到
因为A＝0，所以B ≠0，否则整个弦都不振动，显然没有意义。 因此要有非零解就必有 ，则
用一新符号
代替
，于是
由式（2-1-12）可知，弦的位移对时间函数来说是一个简谐函 数，因而 应代表振动的固有频率，而fn代表弦振动频率。 从式（2-1-16）可知，对于两端固定的弦，振动频率具有一系 列特定的数值 ，并且仅与弦本身的固有力 学参数有关，因而称为弦的固有频率。它与质点系统不同， 一个单振子系统仅有一个固有频率，而弦的固有频率不止一 个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。
说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。
2.2.1 弦振动方程
设有长为l，两端固定并被张紧的细绳，它的横截面积与 密度都是均匀的，在静止时弦处于水平平衡位置，维持其平 衡的力是张力T，以N为单位。如果弦上的某点突然被移动， 偏离其平衡位置，并被释放，可以观察到，在它的初始位置 上的位移并没有保持固定，而是代之以沿弦传播的两个方向 各自扰动，一个向左一个向右，具有相等的速度，如图2-1所 示。最后弦上形成一定的振 动形状，即产生一定的振动 方式。因为弦的各部分振动 与弦长垂直，而振动的传播 是沿弦长方向，因而弦的这 种振动方式称为横振动。
上式的左边仅与x有关，右边仅与t有关，x和t都是独立变量， 如果式（2-1-7）对任何x和t成立，则其等号两边应恒等于一个 与x和t都无关的常数，令该常数为 ，那么式 （2-1-7）可以写成
上述二方程的解分别为
At，Bt，Ax，Bx均为待定常数，将式（2-1-10）、（2-1-11） 代入式（2-1-6）中合并得
2.2.1 棒的纵振动方程
以下的讨论，将顺着这个顺序： 从推导振动的微分方程开始， 然后根据特定的边界条件得出 相应的解，最后再返回到物理 问题的讨论。 一均匀棒，只要在棒中一 小段有纵向位移或振速，则必 然会引起邻段的压缩或伸长， 这种伸缩的传播即为纵振动沿 棒轴的传播。如图2-6所示． 以 表示棒上各点的位移。在腰上切出一元段 B，其两 端静止时的坐标各为 x和x＋ dx。纵振动时， x端位移为 ； x＋ dx端位移为 ，因而 B段棒的伸长为
这里的f1和f2是自变量（ct－x），（ct＋x）的任意函数。将f1 代入方程（2-1-3），可以证明它确实是方程（2-1-3）的解， 现在我们来研究函数f1（ ct－x ）的物理意义。
在t1时刻，x1处弦的横向位移由f1（ ct1－x 1）给出，在较后的一 个时刻t2，我们观察点移到x＝x2，这时弦的位移f1（ ct2－x 2） ， 见图2-3。如果在经过t2 －t1 的时间后，在x2处观察到原来（t=t1， x=x1）的状态，则必须满足： ct1－x 1 ＝ ct2－x 2 ，则
由前面讨论可知，弦中的振动传播速度为
即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参数有关的常 数，弦的张力T愈大（即弦张的愈紧）或线密度愈小（即密 度愈小或截面积愈细），则传播速度c就愈大。类似地可以 证明f2（ct＋x）是一个沿x负方向，以传播速度c传播的波动 过程。 在上面的弦振动的一般解中，出现了两个沿不同方向传 播的波函数。这就是说假定在初始时刻，对弦某位置施加一 扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。
2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解
上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式： X（x）是仅包含位置变量x的函数，T（t）是仅包含时间变 量t的函数，将式（2-1-6）代人方程（2-1-3）可得
所以，弦振动的位移为
其中 当n为偶数时 当n为奇数时
，再根据正弦函数的性质可以确定，
对这例子进行分析可以发现一个有趣的规律，因为对应于偶数 项的一些振动方式，在中央位置x＝l/2处应是波节，而这一点 恰好在初始时刻被拔动，因而波节条件遭到破坏，所以就不能 在中央位置产生具有波节的一些谐频振动方式。这在数学上就 必然导致与其对应的常数Bn等于零。据上分析可以知道，如 果在初始时刻拔动弦的其它位置，则一定会有另外一些振动方 式被抑制。也就是说，如果同一根弦，初始时拔动的位置不同， 那么弦所产生的振动也各不相同，因此由弦发出的声音的‘音 色”也就不相同。