讲义 反比例函数1

教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释：1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。

两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数A.()12x y -=B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221n y n x-=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 24.已知函数2211kk y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?反比例函数 y=xk(k ≠0) k 的符号 k>0 k<0图象性质 ①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.②当k<0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

1、点（3，4）在反比例函数xm m y 122-+=的图像上，则此函数还过点（ ）A ．（2，6）B ．（2，-6）C ．（4，-3）D ．（3，-4）2、已知反比例函数的图象经过点(2)m ，和(23)-，，则m 的值为 ．要点诠释：（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；（2）若点(a,b)在反比例函数y= kx的图象上，则点(－a,－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；（3）在反比例函数中由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴．典例分析：1、如果反比例函数12my x-=（m 为常数）的图象在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．12m <C ．12m >D ．m ≥122、已知一次函数y = kx + b （0k ≠）的图象经过第一、二、四象限，则函数kby x=的图象有（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第三、四象限D ．第一、二象限典例分析： 1. 函数1ky x-=的图象过点P （1，2），则该函数图象在其所在的每个象限内，y 随x 的增加而 ．2．反比例函数12k y kx -=，当x ＞0时，y 随x 而增大。

3．反比例函数22(21)my m x -=-，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ．4.已知反比例函数1y x=-的图象上有两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.y 1>y 2B.y 1=y 2C.y 1<y 2D.不能确定y 1与y 2的大小关系5．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数2y x=-的图象上，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）．A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1 = y 2D ．y 1与y 2的大小关系不能确定6. 若点(x 1，y 1)、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数1y x=-的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 3 <y 1C.y 1>y 2>y 3D.y 1<y 3<y 27.若点()12,y -、()21,y -、()31,y 都是反比例函数1y x=的图象上的点,则下列各式中正确的是（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 1>y 3C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 18. 反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上的三个点（x 1，-1）（x 2，2）（x 3，3），则下列成立的是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 1＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 19．已知函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点（-4，y 1）（-1，y 2）（2，y 3）则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 210. 已知反比例函数2y x =，下列结论中，不正确的是（ ）A ．图象必经过点(12)，B ．y 随x 的增大而减少C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <11.在函数3k y x--=(k 为常数，且0k ≠)的图象的一支在第四象限. (1)图象的另一支在第几象限? 你能求出符合题意的k 的取值范围吗? (2)图象上有三点(-1,y 1)、21,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭,你会比较y 1、y 2、y 3的大小吗?要点诠释：如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积。

∵ky x=， ∴。

∴，即反比例函数()0ky k x=≠中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作x 轴，y 轴的垂线所得的矩形的面积。

如图所示，过双曲线上一点Q 向x 轴或y 轴引垂线，则所得的三角形的面积yA BCD O xyA BCDx2AOQk S=，即反比例函数()0ky k x=≠中的比例系数k 的绝对值的一半表示过双曲线上任意一点，作x 轴（或y 轴）的垂线，并连接原点，所得的直角三角形的面积。

典例分析：1.如图，点A 、B 是函数ky x=(0k <)图象上的两点，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别是C 、D ，已知点O 是坐标原点，则△AOC 、△BOD 的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.S 1≠S 22.A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过A 作x 轴的垂线交x轴于B ，过C 作y 轴的垂线交y 轴于D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ）A.S 1<S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1和S 2的大小关系不能确定3.A 、B 是函数1y x=的图象上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，交x 轴于点C ，BD ∥y 轴，交x 轴于点D ，设四边形ADBC 的面积为S ，则（ ）A.S =1B.S =2C.1＜S ＜2D.S ＞24．如图，A 、B 是函数1y x=的图象上关于原点O 行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ） A ．S = 1 B ．1＜S ＜2 C ．S = 2 D ．S ＞2要点诠释：(1)、待定系数法，由于在反比例函数关系式ky x=中，只有一个待定系数k ，只要确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入ky x=中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：kyx(k≠0)；②根据已知条件，列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k 值代入函数关系式ky x=中。

典型例题：1．一个反比例函数的图象经过点()3,4-，则其函数关系式是 .2. 若函数y m m x m m =+--()232是反比例函数，求其函数解析式。

点拨：反比例函数可写成y kx =-1，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对k ≠0这一条件的讨论。

3. 已知：y 与2x 成反比例，且当2x =-时，2y =，那么当4x =时，y 等于 ( ).A. 0.5B.2C. -2D.-14. 已知：12y y y =-，1y 与2x 成反比例，2y 与1x -成正比例，且当1x =时1y =；当2x =时54y =，求1x =-时y 的值.5. （1）已知y y y =+12，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2，求y 与x 的函数关系式；（2）直线l ：y kx b =+与y x =2平行且过点（3，4），求l 的解析式。

1. 函数y=xk与y=kx+1(k ≠0)在同一坐标系内的大致图象是 （ ）【解析】列表分析如下：2.在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x 与反比例函数y=xm4的图象大致位置不可能是（ ） 。

【解析】 列表分析如下：【点拨】 没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现．不少同学对解答这类题感到困难．以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案．3.已知反比例函数k y x=与一次函数y = 2x + k 的图象的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 ．4.如图，反比例函数k y x=与直线2y x =-相交于A 、B 两点，A 点的横坐标为-1，则两函数图象另一个交点B 的坐标为（ ）5.已知一次函数y ＝3x+m 与反比例函数y ＝xm 3-的图像有两个交点. (1)当m 为何值时，有一个交点的纵坐标为6? (2)在(1)条件下，求两个交点的坐标.点拨：(1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可.6. 已知一次函数y=2x-k 的图象与反比例函数y=x k 5的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．点拨：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．1.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于()2,1A -、()1,B n 两点.(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.2. 如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+xmb kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）.3.函数1k y x=与2y k x =（k 1，k 2为非零常数）的图象的如图所示，由图象可知：关于x 的不等式12k k x x<的解集是（ ） A ．2x > B ．22x -<< C ．20x -<<或2x > D ．2x >或2x <4.已知反比例函数3my x=-和一次函数1y kx =-的图象都经过点(),3P m m -.(1)求点P 的坐标和两个函数的解析式；(2)若点()211,A a y --、()223,B a y --是反比例函数图象上的点，请比较y 1与y 2.5. 已知一次函数25y x =-的图象与反比例函数k y x= (0k ≠)的图象交于第四象限的一点DB AyxO C(),3P a a -.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6<x <-2时，求y 的取值范围是多少?1．如图，已知一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数8y x=-的图象交于A 、B 两点，且A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴 影部分的面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知一次函数8y x =-+和反比例函数k y x=的图象在第一象限内有两个不同公共点A 、B ，且△AOB 的面积S = 24，则该反比例函数的图象必过点（ ） A ．（2，4） B ．（-1，-7）C ．（1，6）D ．（-1，7）3．已知直线22y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，反比例函数ky x=的图象与该直线交于C 点，CD ⊥x 轴于点D ，若OAB BCD S S ∆∆=，则k 值为（ ）4. 如图,直线22y x =--与双曲线ky x=交于点A ，与x 轴、y轴分别交于点B 、C ，AD ⊥x 轴于点D ，如果S △ADB =S △COB ,那么k =______.5. 已知点A （0，2）和B （0，2-），点P 在函数1y x=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，则P 点的坐标是 ．6．如图所示，如果函数y x =-与4y x=-的图象交于A 、B 两点，过点A作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．7. 如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．48. 如图，Rt ABC ∆的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且S AOB ∆=3 （1）求m 的值（2）求S ABC ∆的值OyAB C DxyACD Ox9. 如图，已知反比例函数ky x=的图象经过点()3,A b -，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，△AOB 3求k 和b 的值；(2)若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，且与x 轴交于点C ，求△AOC 的面积.10. 双曲线5y x=在第一象限的一支上有一点()1,5C ，过点C 的直线y kx b =+(0k >)与x 轴交于点(),0A a .（1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积.11. 已知：如图，一次函数y x b =+()0b ≠的图象与两坐标轴交于A 、B 两点，与函数2y x=的图象交于C 、D 两点，由点C 向x 轴做垂线，垂足为E . （1）若△AOB 的面积是△OCD 的面积的一半，求C 点的坐标； （2）证明：不论b 取任何不为零的实数，AC •BC 为定值；（3）延长CO 交函数2y x=的图象于M 点，试判断△CDM1、某市的一处道路因受强降雨而造成1200cm3的塌方，某部队受命来重新修建好．（1）重新修好所需的时间t（天）与每天完成的土石方V（m2）有怎样的关系？（2）部队共有官兵60人，每天最多完成土石方300 m3，预计部队最快可在几日内完成？（3）部队连续工作了两天后，天气预报说未来的几天还可能会有强降雨，市里要求次日完成余下的任务，需要增加多少人才能按时完成？2、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟），据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，y与时间x成反比例关系（如图），已知该材料操作加工前温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式．（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。