苏教版初二数学反比例函数讲义
苏科版数学八下《反比例函数的图像与性质》ppt课件
画出反比例函数
y=
6 x
步骤: 1.列表
的图象.
2.描点
3.连线
1.列表
X … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
y=
6 x
…
-1 -1.5
-2 -3 -6
6
2.描点
3 2 1.5 1 …
y
3.连线
6
4
2
-6 -4 -2 O 2 4 6
X
-2
-4
-6
6 反比例函数 y = X 的图象有哪些特征?
y
6 4 2
-6 -4 -2 O 2 4 6
X
-2
-4
-6
6 反比例函数y = -
X
的图象在什么象限?
y
6 4 2
-6 -4 -2 O 2 4 6
X
-2
-4
-6
请你在直角坐标系中画出它的图象 .
反比例函数 y =
象有什么共同特征?
6 X
与 y=
-6 X
的图
y
6 4 2
-6 -4 -2 O 2 4 6
X
-2
-4
-6
y
6 4 2
-6 -4 -2 O 2 4 6
X
-2
-4
-6
反比例函数的图象:
k 一般地反比例函数 y = X (k为常
数,k≠0) 的图象是由两个分支组成的,叫 做双曲线(hyperbola).
P66 1 、2
如果P（a，b）在 上，则在此图象上的点还有
y
k x
的图象
（c ）
A.（-a，b）;
反比例函数的图象与性质
苏教版八年级下册第11章反比例函数知识要点及经典例题解析
初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1．（如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。
根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。
（2）由消去，得。
即,∴或。
∴或。
∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。
苏教版初二数学反比例函数讲义
初二数学反比例函数讲义上课时间：20XX 年__月___日一、本节课知识点梳理1、反比例函数的概念2、反比例函数的图像及其性质3、反比例系数k 的意义及其实际应用二、重难点点拨教学重点：反比例函数图像及其性质教学难点：反比例函数k 的几何意义三、典型例题与分析知识点一：反比例函数概念一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数）1、在下列函数中，反比例函数是（）A11x yB xy=0 CxkyD xy212、如果函数12m xy为反比例函数，则m 的值是（）A 、1 B 、0 C、21 D 、1知识点二：反比例函数的图象与性质注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
函数解析式正比例函数：y=kx(k ≠0)反比例函数：y=x k(k ≠0) 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围图象位置（性质）当k ＞0时，经过象限当K ＜0时，经过象限当K ＞0时，在象限当K ＜0时，在象限性质当K ＞0时，y 随x 的增大而当K ＜0时，y 随x 的增大而当K ＞0时，在每一个象限内．．．．．．，y 随x 的增大而当K ＜0时，在每一个象限内。
．．．．．．．y 随x 的增大而（1）已知y=xk （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。
（2）已知y=xk （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。
苏科版八年级下册数学1反比例函数的图象与性质课件(1)
A的横坐标为3x.
A
(1)求k的值.
o
x
BC
(2)另一个交点B的坐标是什么?
(3)过A点作AC∥y轴,过B点作BC∥x轴， 则△ABC的面积是___5_4___.
(A)
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,
y2=
k x
在同一坐标系中的图
象大致是 ( D )
(C)
2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与 (A)
正比例函数图象性质填表
y=kx （k≠0）
大致图象
k>0
y 0x
k<0
y 0x
图象所在 象限
一、三
二、四
y随x的变化 y 随 x 的增大 y 随 x的增大
的增减性 而增大
而减小
与x轴交点
(y轴呢？)
(0 , 0)
(0 , 0)
• 观察课本P.66、P.67练习中反比例函数的 图象思考下列问题： • （1）每个函数图象分别在哪些象限？ • （2）在每个象限内，随着x的增大， y是
(ห้องสมุดไป่ตู้
k≠0的常数 )
双曲线
K>0 K<0
位 一三 置 象限
一三 象限
增 减 性
y 随 x 的增大而增大 在每个象限内，y 随 x 的
增大而减小
位 二四 置 象限
增 减 性
y 随 x 的增大而减 小
二四 象限
在每个象限内， y 随 x 的增大而增大
在第一、三象限，那么m的取值范围是
__m____12__ .
已知反比例函数 y k 的图像经过
点A（2，－4）.
x
(1)求k的值.
苏科版八年级下册数学课件 反比例函数
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系： 1、计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数
y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；
解：根据题意，得：xy=500
即 y 500
x
2、某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的 无息贷款，该厂的年平均还款额y（万元）随还款年限x（年） 的变化而变化；
（1）面积是50cm2的矩形，一边长y (cm)随另一边长 x(cm)的变化而变
化；
（2）体积是100cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化．
（3）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的鱼a 斤，则总的花 费 y(元)随着所购买的斤数 a（斤）的变化而变化． （4）两条对角线长分别为a、b的菱形的面积为12，则一条对角线a随另 一条对角线b的变化而变化
解：根据题意，得：xy=20
即 y 20
x
3、游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水所需时间 t(h)随注水速度 v(m3 /h) 的变化而变化；
解：根据题意，得vt=5000 即 t 5000
v
4、实数m与n的积为－500，m随n的变化而变化；
解：根据题意，得mn= － 500 即 m 500
与x成正比例关系
x
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两 种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系.
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值， 那么上面的这种数量关系可以用 y ＝k (k一定)来表示
x
这里的x,y可以表示 单项式也可以是多 项式
例如： 1、圆柱的底面积是10，体积v与高度h的函数关系式 2、有6个相同的本子，售价y与单价x的函数关系式
苏教版八年级数学(下)第九章反比例函数复习讲义
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位
于第二、四象限。
在每个象限内，随着 $x$ 的增 大，$y$ 的值逐渐减小，但永远
不会等于 0。
反比例函数性质总结
01
02
03
04
比例系数 $k$ 决定了反比例 函数的图像所在象限和增减性
。
反比例函数的图像关于原点对 称，即如果点 $(x, y)$ 在图像 上，则点 $(-x, -y)$ 也在图像
代数法
联立反比例函数和直线的方程，通过 解方程组判断是否有解，从而确定是 否有交点。
交点坐标求解方法
联立方程法
将反比例函数和直线的方程联立起来，解方程组即可求得交 点坐标。
图像法
在坐标系中分别画出反比例函数和直线的图像，通过图像的 交点确定交点坐标。
典型例题解析
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 和直线 $y = mx + b$，求它们的交点坐标。
经济问题中反比例关系分析
生产成本问题
在生产过程中，随着产量的增加，单位产品的成本通常会降低。这种关系可以通 过反比例函数来描述，帮助企业分析生产成本和制定合理的产量计划。
投资回报问题
在投资领域，投资回报率与投资金额之间往往存在反比例关系。通过建立反比例 函数模型，投资者可以预测不同投资金额下的预期回报，从而做出更明智的投资 决策。
函数$y = frac{m}{x}$图象的两个交点，且$x_1^2 + x_2^2 = 10$，
$x_1x_2 = -3$，求这两个函数的解析式及点$A$、$B$的坐标。
XXX
PART 05
苏科版八年级数学下册1用反比例函数解决问题课件
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
(1) 请你认真分析表格中的数据,确定y是x 的什么函数？
解：（1）因为2.5×7.2=18 3×6=18 4×4.5=18 4.5×4=18
发现 x·y=18 得： y= 18 x
所以产品成本y是投入技改资金x的反比 例函数
①估计生产成本每件比2004年降低多少万元？
（2） ①当 x= 5 时，y= 18 =3.6
5
4-3.6=0.4（万元）
所以，生产成本每件比2004年降低0.4万元。
例3、某厂从2001年起开始投入技术改进资金， 经技术改进后，其产品的生产成本不断降低， 具体数据如下表：
年度
2001 2002 200 200 34
例2、某自来水公司计划新建一个容积为 4×104m3的长方体蓄水池。 （1）蓄水池的底面积S（m2）与其深度 h(m)有怎样的函数关系？
解:(1)由Sh=4×104
变形得S= 40000 h
所以蓄水池的底面积S是其深度h的反比例函数
例2、某自来水公司计划新建一个容积为 4×104m3的长方体蓄水池。
（3）根据题意，得 S=100×60＝6000
代入 S 40得00: 0 h
h 40000 20 ≈6.67
6000 3
所以蓄水池的深度至少到达 6.67m才能满足要求。
例3、某厂从2001年起开始投入技术改进资金， 经技术改进后，其产品的生产成本不断降低， 具体数据如下表：
年度
200 200 200 200 1 234
例3、某厂从2001年起开始投入技术改进资金， 经技术改进后，其产品的生产成本不断降低， 具体数据如下表：
新苏科版八年级数学下册《11章反比例函数11.2反比例函数的图象与性质》课件
函数值域范围
反比例函数的值域为 $y neq 0$，即除了0以外的所有实数。 当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0，但永远不会等于0。
奇偶性与周期性
XXX
新苏科版八年级数学
下册《11章反比例函
数11.2反比例函数的
图象与性质》课件 汇报人：XXX
2024-01-27
REPORTING
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图象 • 反比例函数性质 • 反比例函数应用举例 • 反比例函数与一次函数比较 • 课堂小结与拓展延伸
目录
XXX
PART 01
反比例函数的图象：双曲线，两支分别 位于第一、三象限或第二、四象限
反比例函数的性质
学生自我评价及建议收集
学生自我评价 是否能够准确理解反比例函数的定义和表达式；
是否能够熟练绘制反比运用反比例函数解决实际问题。
学生自我评价及建议收集
建议收集 针对本节课的难点和重点，提出自己的疑问和建议；
反比例函数基本概念
REPORTING
反比例函数定义
一般地，形如 $y = frac{k}{x}$ （ $k$ 是常数，$k neq 0$）的函数叫 做反比例函数。其中 $x$ 是自变量 ，$y$ 是因变量。
反比例函数也可以写为 $xy = k$ 的形 式，其中 $k$ 是比例系数。
反比例函数解析式
在社会科学研究中，反比例函数可以用来描 述某些社会现象之间的关系，如人口增长与 资源消耗之间的关系。
XXX
THANKS
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初二数学反比例函数讲义 上课时间：2014年__月___日一、本节课知识点梳理1、反比例函数的概念2、反比例函数的图像及其性质3、反比例系数k 的意义及其实际应用二、重难点点拨教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义三、典型例题与分析知识点一：反比例函数概念一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ）A 11+=x y B xy=0 C x k y = D xy 21-= 2、如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21D 、1 知识点二：反比例函数的图象与性质注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
（1）已知y=xk（k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。
（2）已知y=xk（k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。
注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。
【例1】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 练习：1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______A y=-x+1B y=x 43-C y=x21 D y=2x-1 2．反比例函数y=xk图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。
3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=xk（k ≠0）的图象大致是___________。
4．已知反比例函数3y x=， ①若x ＜-3，则y 的取值范围 ②若y ＞-1，则x 的取值范围知识点三：反比例函数y=xk比例系数k 的意义 1. 如图过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|∵y=xk∴xy=k ∴s=|k|，即反比例函数y=xk（k ≠0）中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。
2. 如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线， 则S △AOQ =k 21【例2】如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线ky x =与直线y x m =-+ •在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S △ABO ＝32，则反比例函数的解析式 ．【例3】如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． 练习：1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)ky k x=≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象，请同学观察有什么特点。
甲同学说：双曲线与直线2y x =-有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ．yxOACB2、 如图A ，B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行与y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S 。
则（ ）A 、S=1B 、1＜S ＜2C 、S=2D 、S ＞23、如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+与双曲线ky x =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求： （1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．知识点四：待定系数法【例4】已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A （m ，1），正比例函数的解析式为_________________. 练习：1．已知y=xk（k ≠0）的图象经过（3，2）则k= 。
2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定3、已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，且x ＝1时，y ＝－1；x ＝3时，y ＝5，求x ＝5时y 的值。
知识点五：反比例函数与正比例函数的交点问题直线x k y 1=与双曲线xk y 2=的交点情况： ①当1k 与2k 满足：______________，直线x k y 1=与双曲线xk y 2=无交点 OAB②当1k 与2k 满足：_______________，直线x k y 1=与双曲线xk y 2=有两个交点。
若其中一个交点坐标为（m,n ）,另一个交点坐标为___________。
【例5】已知函数xay ax y -==4和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是 。
练习： 1、已知函数y k x=1与y k =2x 的图象交点是（－2，5）是，则它们的另一个交点是 A ． （2，5） B ． （5，－2） C ． （－2，－5） D ． （2，-5） 2．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0B 1k >0，2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号知识点六：反比例函数与一次函数 1、当k ＜0时，反比例函数x ky =和一次函数2+=kx y 的图象大致是图中的 （ )2、如图，已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数)0(8≠-=m xy 的图象交于A ，B 两点，且A 点的横坐标与B 点的纵坐标都是2-；（1）求一次函数的解析式 （2）求△AOB 的面积。
知识点七：与反比例函数有关的实际问题【例6】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：x （元）3456oxyoxy oxy oyxABC Dy （元） 20 15 12 10（1）猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；（2）设经营此卡的销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？练习：1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 32、、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面，通过一次又一次地拉长面条，测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(橫截面积)（1）请根据右表中的数据求出面条的总长度y （m ）与面条的粗细(橫截面积) s(mm 2)函数关系式；(2)求当面条粗1.6mm 2时， 面条的总长度是多少？3、 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m 3），那么将满池水排空所需的时间t （h ）将如何变拉面的橫截面积S(mm 2) 面条的总长度y （m ） 200 0．8 160 1 120 1．3 80 2 40 4．1化？（3）写出t 与Q 的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m 3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？四、拓展应用：如图5，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）.⑴分别求出直线AB 及双曲线的解析式； ⑵求出点D 的坐标；⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y .课后作业：1、矩形的面积为6cm 2，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象表示为（ ）2、已知点A(―2，a )在函数x y 2=的图像上，则a =（ ）A.―1B.1C.―2D. 2图5ABCD3、如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则该直线的解析式为___________________.4、已知：y=y 1+y 2，其中y 1与x 成反比例，y 2与x-2成正比例，但当x=1时，y=-1，当x=3时，y=3，求函数y 的解析式。
5、正比例函数x y 2=与双曲线xky =的一个交点坐标为A （2，m ）。
（1）求出点A 的坐标；（2）求反比例函数关系式； （3）求这两个函数图象的另一个交点坐标6．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。
7、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y 关于x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？。