湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试高三数学试题(理科)

湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试高三数学试题(理科)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()p A B p A p B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C p p -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值为（ ）. A ．i B ．i - C ．1 D ．1-2．已知集合{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==1,21,1,log y y 2x y y B x x A x,则=B A ( ).A ．{}10<<y y B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210y y C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121y y D ． φ 3．．条件P ：21>+x ，条件Q ：131>-x，则P ⌝是Q ⌝的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．等差数列｛n a ｝中，若4a ＋6a ＋8a ＋10a ＋12a ＝120，则9a －1131a 的值是（ ）. A ．14 B ．15 C ．16 D ．175．设θ是三角形的一个内角，且51cos sin =+θθ，则方程1cos sin 22=+θθy x 所表示的曲线为（ ）. A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的的双曲线6．若6)1(-a 的展开式中的第5项等于215，则∞→n lim 2()n a a a +++ 的值为（ ）.A ．1B ．21 C ．31 D ．417．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n ∥α,α⊥β，则n ⊥β；②若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊥β，则α⊥β；③若n ⊥α，α⊥β，m ⊂β，则m ∥n ；④n ⊥β，α⊥β，则n ∥α，或n ⊂α. 其中真命题是（ ）.A ．① ④B ．② ④C ．② ③D ．③ ④８．圆心在抛物线22x y =()0x >上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是( ). A. 041222=+--+y x y x B. 01222=+--+y x y x C. 041222=+--+y x y x D . 041222=+--+y x y x ９．函数()21++=x ax x f 在()+∞-,2上为增函数，则a 的取值范围是（ ）. A ．210<<a B ．1-<a 或21>a C ．21>a D ．2->a10．定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b ba ab a ,,,max ，设实数y x ,满足约束条件{},3,2max ,22y x y x z y x +-=⎩⎨⎧≤≤则z 的取值范围是（ ） .Ａ.［－5，6］ Ｂ.［－3，6］ Ｃ.［－5，８］ Ｄ.［－8，８］二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 .12．过椭圆14922=+y x 内一点()1,1P 作弦AB ，若PB AP =，则直线AB 的方程为 . 13．半径为４的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和的最大值是 .14．设A （1，0），点C 是曲线21x y -=（0≤x ≤1）上异于A 的点，CD ⊥y 轴于D ，，∠CAO ＝θ （其中O 为原点），将│AC │＋│CD │表示成关于θ的函数)(θf ，则)(θf ＝ .15．已知m 、n 为大于1的正整数，对nm 作如下的“分裂”：分解为m 个连续奇数的和.则⑴在25 的“分裂”中最大的数是 ；⑵在3m 的“分裂”中最小的数是211，则m ＝ .三．解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知→a ＝（1＋x 2cos ，1），→b ＝（1，x m 2sin 3+）（x ，m ∈R ），且=)(x f →a ·→b . （Ⅰ）求函数)(x f y =的最小正周期；（Ⅱ）若)(x f 的最大值是4，求m 的值，并说明此时)(x f 的图象可由)6sin(2π+=x y 的图象经过怎样的变换而得到.17．（本小题满分12分）设有3个投球手，其中一人命中率为q ，剩下的两人水平相当且命中率均为p ()(),0,1p q ∈，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ. （Ⅰ）当12p q ==时，求E ξ及D ξ； （Ⅱ）当1p q +=时，求ξ的分布列和E ξ.18．（本小题满分12分）如图,四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的菱形,60=∠DAB ,⊥PD 平面ABCD ,AD PD =.（Ⅰ）求直线PB 与平面PDC 所成的角的正切值; （Ⅱ）求二面角A －PB －D 的大小.19．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =-在区间（1，2 ]上是增函数，()g x x =-0，1）上为减函数.（Ⅰ）试求函数()(),f x g x 的解析式；（Ⅱ）当 x >0时，讨论方程()()2f x g x =+解的个数.20．（本小题满分13分） 已知圆A ：425)2(22=++y x ，圆B ：41)2(22=+-y x ，动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为a x =（a ≤21）. （Ⅰ） 求动圆P 的圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点B 的直线与曲线C 交于M 、N 两点，（1）求｜MN ｜的最小值；（2）若MN 的中点R 在l 上的射影Q 满足MQ ⊥NQ ，求a 的取值范围.21．（本小题满分14分）设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 3,0,0所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（x ，y ）（x 、y ∈z ）的个数为)(n f （n ∈*N ）.（Ⅰ） 求)1(f ，)2(f 的值及)(n f 的表达式； （Ⅱ）记nn n f n f T 2)1()(+=，若对于任意n∈*N ，总有n T ≤m 成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ） 设n S 为数列｛n b ｝的前n 项和，其中n b ＝)(2n f ，问是否存在正整数n 、t ，使11++--n n nn tb S tb S ＜161成立？若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题11．54（或1024） 12．01394=-+y x 13． 32 14．22cos 2cos 1θθ-++，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππθ 15．9；15 三、解答题16．（Ⅰ）1)62sin(2)2sin 3()2cos 1()(+++=+++=m x x m x x f π,∴最小正周期为T ＝ππ=22. ………………………………6分 （Ⅱ）当62π+x ＝Z k k ∈+,22ππ，时， max )(x f ＝2＋m ＋1＝4⇒m ＝1. …………………………………8分此时，)(x f ＝2)62sin(2++πx .将)62sin(2π+=x y 的图象上各点的横坐标变为原来的21，纵坐标不变，再向上平移2个单位即可得到)(x f 的图象. ………………………………………12分 17．解：（Ⅰ）当12p q ==时，ξ～13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭. 故13322E np ξ==⨯=，()113131224D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. …………6分 （Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3.()()()22011P q p pq ξ==--=；()()()()2132211112P q q q C p p q p q ξ==-+--=+； ()()()122322112P qqC p p q p pq p ξ==-+-=+；()23P qp ξ==. ………………………………10分ξ的分布列为E ξ=0×2pq +1×322q p q ++2×232pq p ++3×2qp =1+p .． ……………12分 18．（Ⅰ）取DC 的中点E.∵ABCD 是边长为a 的菱形,60=∠DAB ，∴BE ⊥CD. ∵⊥PD 平面ABCD , BE ⊂平面ABCD ，∴⊥PD BE.∴BE ⊥平面PDC.∠BPE 为求直线PB 与平面PDC 所成的角. ……………………3分∵，,∴tan BPE ∠=BE PE ……………………………6分 （Ⅱ）连接AC 、BD 交于点O ，因为ABCD 是菱形，所以AO ⊥BD. ∵⊥PD 平面ABCD , AO ⊂平面ABCD ， ∴AO ⊥ PD. ∴AO ⊥平面PDB. 作OF ⊥PB 于F ，连接AF ，则AF ⊥PB.故∠AFO 就是二面角A －PB －D 的平面角. ……………………………9分∵，OF=4a ，∴tan AO AFO OF ∠=∴AFO ∠=arctan ……………………………12分19．解: （Ⅰ）()02≥-='xax x f 在(]2,1∈x 恒成立, 所以22x a ≤,2≤∴a . 又()021≤-='xa x g 在()1,0∈x 恒成立,所以 x a 2≥,2≥∴a . …………………………………4分 从而有2=a .故()x x x f ln 22-=,()x x x g 2-=. …………………………6分（Ⅱ）令2)()()(--=x g x f x F , 则x x x x F 1122)('+--=xx x x x x )222)(1(+++-= 所以()x F 在()1,0上是减函数,在()+∞,1上是增函数, ……………………9分 从而当0>x 时,()()01min ==F x F .所以方程2)()(+=x g x f 在()+∞,0只有一个解1=x . ……………………12分 20．（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则│PA │＝25+r ，│PB │=21+r ,∴│PA │－│PB │=2.故点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为1322=-y x （x ≥1）. ………………………………………3分 （Ⅱ）(1)设MN 的方程为2+=my x ，代入双曲线方程，得()09121322=++-my y m.由⎪⎩⎪⎨⎧<>∆≠-0,0,013212y y m ，解得3333<<-m . ………………………………………5分 设()()2211,,,y x N y x M ,则()⎪⎭⎫⎝⎛--=-+=-+=131********22212m m m y y m MN . 当02=m 时,6min =MN . ………………………………………7分 (2)由（1）知⎪⎭⎫⎝⎛--22316,312m m m R ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2316,m m a Q . 由NQ MQ ⊥,知MN RQ 21=. 所以()2223113312m m a m -+=--，从而22231211313m m m a --=-+=.由3333<<-m ,得1-≤a . ………………………………………13分 另解：(1)若MN 的斜率存在，设斜率为k ，则直线MN 的方程为)2(-=x k y ，代入双曲线方程,得0344)3(2222=--+-k x k x k .由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆≠-.0334,034,0,03222122212k k x x k k x x k 解得32>k . …………………………………5分 设()()2211,,,y x N y x M ,则MN ＝21k +│21x x -│＝6＋63242>-k .当直线斜率不存在时，21x x =＝2，得1y ＝3，2y ＝－3.此时MN ＝6.所以min MN ＝6. ……………………………………………7分 (2)当MQ ⊥NQ 时，│RQ │＝2MN ＝a x R -.①又21x MB M －＝21x NB N -＝2，即1x MB M -++N x NB＝2 ， 所以│MN │＝24-R x ， 故42MN +=R x . ②将②代入①，得│MN │＝2－a 4.由│MN │＝2－a 46≥,得a ≤－1. ………………………………………13分 21．（Ⅰ）)1(f ＝3，)2(f ＝6. ………………………………………2分 由x ＞0，0＜y ≤n nx 3+-，得0＜x ＜3，又x ∈+N ，∴x ＝1，或x ＝2. 当x ＝1，0＜y ≤2n 时，共有2n 个格点； 当x ＝2，0＜y ≤n 时，共有n 个格点.故 n n n n f 32)(=+=. ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（1）知n T ＝n n n 2)1(9+，则1+n T －nT ＝12)2)(1(9+-+n n n . ∴当n ≥3时，1+n T ＜n T . 又1T ＝9＜2T ＝3T ＝227，所以n T ≤227，故m ≥227. ………………………8分 （Ⅲ）假设存在满足题意的n 和t ，由（1）知n b ＝n32＝n8，故7)18(8-=n n S . ……………………………10分则111187)18(887)18(8++++⋅--⋅--=--n n n n n n n n t t tb S tb S ＜161. 变形得8)78(88)78(81----+t t n n ＜161，即]1)78(8[215)78(8----t t n n ＜0.∴1＜n8（8－t 7）＜15.由于n 、t 均为正整数，所以n ＝t ＝1. …………………………………14分 附:78878-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n n t tb S , 78878111-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-+++n n n t tb S .当1=t 时, 由16111<--++n n n n tb S tb S ,得158<n ,1=∴n .当2≥t 时, 0<-n n tb S ,由16111<--++n n n n tb S tb S ,得()15878>⋅-n t ,n 不存在.所以n ＝t ＝1.。