第二章 单变量的统计描述分析(2)

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定类数据的众数 （例）
【例3.1】根据第二章表2-1中的数据，计算众数
表2-1 某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广 告 其他广告 合计 人数(人) 112 51 9 16 10 2 200 比例 0.560 0.255 0.045 0.080 0.050 0.010 1
50
322.5 562.5 940.0 1715.0 1275.0 795.0 550.0
6160.0
X
X
i 1 K i 1
K
i
Fi
i
Fຫໍສະໝຸດ 6160 123.（个） 2 50
32
加权均值：权数对均值的影响
甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）： 1 1 8 乙组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）： 8 1 1
挠头的数值
公司员工的月薪如下：
（元）
经理 副经 职员 职员 职员 职员 职员 职员 职员 A B C D E F G 员工 理 月薪 6000 4000 1700 1300 1200 1100 1100 1100 500
我们有三种方法选择集中趋势： （1）根据频数：哪个变量值出现次数越 多，就选择哪个变量值，比如民主决策的表决 机制。 （2）根据居中：比如一个城镇居民的生活 水平，居中的是小康家庭，那么就用小康家庭 来代表该城镇的生活水平。 （3）根据平均：用平均数来代表变量的 平均水平。
如下：


N cf Md L ( 2 ).w f
81 4950
51 94.5
132 5950


=4950+
189 81 ( 2 ) 1000 5215 美元 51
数值型分组数据的中位数：例
【 例 3.5】 根据第二 章 表 2-5 中 的数据， 计算50 名 工人日加 工零件数 的中位数


不同类型的数据用不同的集中趋势测量 值
低层次数据的集中趋势测量值适用于高 层次的测量数据，反过来，高层次数据 的集中趋势测量值并不适用于低层次的 测量数据 选用哪一个测量值来反映数据的集中趋 势，要根据所掌握的数据的类型来确定



下面是一个小故事： 一个人到某公司求职，经过调查，得出关 于该公司工资的一些数据，如果是你，应 该如何选择？
表2-5 按零件数分组 105~110 110~115 115~120 下界值L 120~125 上界值U 125~130 130~135 135~140 合计 某车间50名工人日加工零件数分组表 频数（人） 3 5 8 14 10 6 4 50 3 8 16 30 40 46 50 累积频数
下界累计频数Sm-1 上界累计频数Sm
2000-2900 3000-3900 4000-4900 5000-5900 6000-6900 7000-7900 总 和
1950-2950 2950-3950 3950-4950 4950-5950 5950-6950 6950-7950
17 26 38 51 36 21 189
17 43 81 132 168 189
按零件数分组
某车间50名工人日加工零件均值计算表
组中值（Xi） 频数（Fi） XiFi
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140
合计
107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5
—
3 5 8 14 10 6 4
X甲 X乙
Xi
i=1
Xi
i=1
n

0×1+20×1+100×8
10
0×8+20×1+100×1 10
33
82（分） 12（分）
n
均值：数学性质
1. 各变量值与均值的离差之和等于零
(X X ) 0
i 1 i
n
2. 各变量值与均值的离差平方和最小， 小于任何其他数的偏差平方和。 n


萨姆：每周100元又是怎么回事呢？
吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣的 工资。 吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不懂 平均数、中位数和众数之间的区别。 萨姆：好，现在我可懂了。我……我辞 职！


一、定类变项：众值(Mode)
众值（Mode）：众值(Mo)就是次数 最多之值。对于定类变项，以众值 作预测所犯的错误是最小的。 众值适合于分析定类变项，也可以 用来分析定序、定距变项的资料。 不受极端值的影响。
Mo＝商品广告
定序数据的众数 （例）
【例3.2】根据第二章表2-2中的数据，计算众数
表2-2 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
甲城市
回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计
户数 (户) 24 108 93 45 30
300
百分比 (%) 8 36 31 15 10
100.0
解：这里的数据为 定序数据。变量为 “回答类别”。甲 城市中对住房表示 不满意的户数最多 ，为108户，因此众 数为“不满意”这 一类别，即 Mo＝不满意
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二、定序变项： 中位值(Median)

中位值(Md )就是在一个序列的中央位置之值， 即高于此值的有50%的研究个案，低于此值的也 有50%。即：按大小次序排列的N个数值的中间 值。 50% 50%
如果个案数是奇数，中位数就是中间个数的记 分数。如果N是偶数，按惯例，我们取两个中间 个案的平均值。
—
50 16 M d 120 2 5 123.21(个) 14
26
三、均值(MEAN)
所有变量值的和除以变量的个数。
算术平均数是反映集中趋 势最常用、最基本的平均指标。 它只适用于定距以上的变量。
1、未分组资料

(1)根据原始资料求均值X=
x
N

例 7，3，11，10，4
14
频率(%) 56.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0 100
解：这里的变量为“广 告类型”，这是个定类 变量，不同类型的广告 就是变量值。我们看到 ， 在 所 调 查 的200 人 当 中，关注商品广告的人 数 最 多 ， 为 112 人 ， 占 总被调查人数的56%， 因此众数为“商品广告 ”这一类别，即

一、众数:众数的不唯一性
无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8 一个众数 原始数据:
6 5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
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众数:众数的不唯一 性
无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8 一个众数 原始数据:
6 5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
第二章 集中趋势的测量法
一. 定类数据：众数
二. 定序数据：中位数 三. 定距和定比数据：均值
四. 众数、中位数和均值的比较
1

统计分析首先要解决的问题，就是寻求 一个简单数值以代表搜集所得的资料。 所谓集中趋势测量法，就是找出一个数 值来代表变项的资料分布，以反映资料 的集中情况。 集中趋势测量法有一个特殊意义，就是 可以根据这个代表值来估计或预测每个 研究对象(即个案)的数值。这样的估计 或预测，由于所根据的数值最有代表性， 故所发生错误的总和是最小的。
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例： 学生的学业成绩
等级 甲 乙 丙 丁 总数 f 5 20 30 25 80 cf 80 75 55 25
解：中位值的位置：
(N+1)/2=(80+1)/2=40.5 从累加次数(cf)中很易见到在这个 位置上的值应在丙级内 故Md =丙
根据分组资料计算中位值

公式；Md=L+(
关于集中趋势的一个故事


吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小 玩意儿。 管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六 个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个 工人组成。工厂经营得很顺利，现在需 要一个新工人。 现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作 问题。


吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金 是每周300美元。你在学徒期间每周得75 美元，不过很快就可以加工资。 萨姆工作了几天之后，要求见厂长。
从分组的数据计算中位数时，我们把给 定间距中的所有个案看作等距分布在整 个间距内。




我们要找到包含中间或N/2个个案的间距， 这里189/2=94.5，显然中位值在 4950~5950这一组。 则中位值组的真实下限L =4950 中位值组的频数f=51 低于中位值组真实下限的累加次数cf=81 中位值组的组距W=1000 全部个案数N=189
3、均值与中位值的比较



(1)均值受极端值的变化影响，而中位值则 不受影响，除非中位值本身变化。 (2)均值随样本变化较少，所以与中位数相 比，均值一般是比较稳定的量度，因此， 往往不同的样本之间，中位数比均值有更 大的差异。 (3)均值比较容易进行算术运算 (4)计算均值以定距尺度为前提，中位数既 可用于定序的，也可以用于定距的尺度
N 1 5 1 位置 3 2 2
中位数 22
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数值型未分组数据的中位数：6个数据的例子


原始数据: 10 5 9 12 6 8 排序: 5 6 8 9 10 12 位置: 1 2 3 4 5 6
位置 N+1 6+1 3.5 2 2 8+9 中位数 8.5 2