数学人教版九年级上册切线的判定和性质

3、(*)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延 长线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
C A O B D
(*) 如图，如果直线l是⊙O的切线，切点
为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
(*)切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半
课堂检测
（一）、判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） ）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切 线（ ）
O O l O r l A A r l
r
A
课堂检测
• • • • • • • （二）填空 1.切线的判定方法有---种； 2.具体是 （1）-----------------（2）------------------（3）------------------3.判定定理必需的两个条件是：（1）----------；（2）-------------
作业
• 导学案
切线的性质定理：圆的 切线垂直于过切点的半径。
O l
A
OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
求证：AB是⊙O的切线.
B F O
A
E
C
• 例2．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD 是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E， • 连结DE、BE，且∠C=∠BED． • （1）求证：AC是⊙O的切线； • （2）若OA=10，AD=16， • 求AC的长．
定理的数学语言表达： ∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
O r
l
A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 A O
C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可。
B
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一 点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作
⊙O 。
求证：⊙O与AC相切。
D
A E O C B
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
O
A
l
（3） 由此你发现了什么？
(1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A．
O l A
则:直线l与⊙O相切
这样我们就得到了从“位置”的角度圆
的切线的判定方法——切线的判定定理．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半 径的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l
A
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．(二者缺一不 可）
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切
线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 方法2：直线到圆心的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用第一 种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线 的判定方法。
O
l
(*)请在⊙O上任意取一点A，连接OA，
过点A作直线l⊥OA。思考：
（1） 圆心O到直线l的距离和 圆的半径有什么数量关系? （2） 二者位置有什么关系？ 为什么？
心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.
简记为：有交点，连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
自主学习
• 请同学们自己阅读题目，完成切线的证明， 也可小组帮助完成。
ห้องสมุดไป่ตู้
例1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
人教版九年级上册
直线与圆的 位置关系
相交
O d r B l
相切
O d A r l
相离
O d r l
图
形
A
公共点个数
公共点名称
直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系
2个 交点 割线
1个 切点 切线
没有
d<r
d=r
d>r
切线的定义
• 像上图，直线和圆只有一个公共点，这时 我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做 圆的切线，这个点叫做切点。
O
A
P
2、(*)如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若 ∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则
∠BPC的度数是（
A、600
）
B
O C
B、1200
C、600或1200 D、1400或600
P
A
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立 的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不 可． 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的 距离等于圆的半径的直线是圆的切线． (3)根据切线的判定定理来判定． 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选用其中之一．
径。
O l
A
(*)切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
O
切线
A
l
切线性质定理：
①圆的切线;
②过切点的半径.
切线垂直于半径
1、(*)如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,
则⊙O的半径多少？
B
注：已知切线、切
点，则连接半径，应用
切线的性质定理得到垂 直关系，从而应用勾股 定理计算。
C D E F B O A
探究提升
• 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. • （1）求线段AD的长度； • （2）点E是线段AC上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说 明理由.
A D B C O
探究提升
• 如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6， AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D， 交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的 延长线于点E． • (1)求证：直线EF是⊙O的切线； • (2)求sin∠E的值．