线性代数期末试卷A答案及评分标准

线性代数期末试卷A答案及评分标准IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+等于【0】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【2】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【1】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【1】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【-8】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1.设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【A 】.(A)2-；(B)21-；(C)1-；(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【A 】．(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(D)110110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【A 】． (A)||0A =；(B)||1A =；(C)A 可逆；(D)A 满秩.4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A)4；(B)8；(C)0；(D)1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【B 】．(A)2=a ；(B)1=a ；(C)3=a ；(D)以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1.若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k =分2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得0=+B E A又02=122010012=+≠--E A ----------2分因此0=B因此可得5=-a .----------7分3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为-1,t ,3，因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3ta t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分 解得12a t ==,.----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭,把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2.问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -，----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a .----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解；----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ， 正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ，----------12分 令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=.----------14分 七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1.“设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。

由于A 为反对称阵，则A A T -=，对于任意n 维实的列向量α，有： 所以[]0=ααA ，即α和αA 正交；----------3分考虑0=)x E A -（，即x Ax =，等式两边同时左乘T x ，得0==x x Ax x T T ，由此得：0=x ，即0=)x E A -（只有零解，所以0≠-E A ，E A -可逆.----------7分2.设矩阵A 满足122A B B E -=+，1002110223002B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，试求出A E -的第2行的元素. 解：等式122A B B E -=+两边同时左乘A 得：A AB B +2=2，整理得：)+2=2E B A B （，B 已知，由此可求出1101003002A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,----------5分从而可求出A E的第2行的元素为：1，-1,分。