初三数学中考压轴冲刺训练(4)

初三压轴题专项训练（四）
【例题1】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，FE ：FD=4：3．
（1）求证：AF=DF ； （2）求∠AED 的余弦值； （3）如果BD=10，求△ABC 的面积．
【变式练习】如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC=90°，CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EF 交BD 于点G ，设AD=a ，BC=b ．
（1）求CD 的长度（用a ，b 表示）；（2）求EG 的长度（用a ，b 表示）；（3）试判断EG 与FG 是否相等，并说明理由．
【例题2】如图，已知抛物线y=
211(1)444
b
y x b x =
-++ （b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B的坐标为_________，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式练习】如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线
交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=1
3
，A（3，0），D（-1，0），
E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
B 卷练习（三十）
21、若m-n=2，则2m 2-4mn+2n 2-1的值为____________。

22、已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB ，BC 的中点，AF 分别交 DE ，DB 于G ，H 两点，则四边形BEGH 的面积是_________。

23、如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y
k x
=（k ＞0）
经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为24，则k=_______。

24、已知点P1、P2、P3、…、P2009在反比例函数y=
6x
(x ＞0)上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、
x2009，纵坐标分别是1、3、5…共2009个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2009分别作y 轴的平行线，与
3
y x
=-
(x ＞0)的图象交点依次为Q1（x1，y1′）、Q2（x2，y2′）、…、Q2009（x2009，y2009′），则|P2009Q2009|=__________。

25、已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为 直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面 积之和是10，图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是________。

(保留π)
26、在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图（1），易证 EG=CG 且EG ⊥CG ．
（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降
低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
27、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，连接CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连接AD 并延长交BC 于点F ．
（1）试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； （2）求证：
BD CD BE BC = ； （3）若3
2
BC AB = ，求tan ∠CDF 的值．
28、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=2164x -与直线1
2
y x =相交于A ，B 两点． （1）求线段AB 的长；
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积
是多少；
（3）如图2，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点，垂足为点M ，分别求出OM ，OC ，OD 的长，并验证等式
222
111OC OD OM +=
是否成立；
（4）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，设BC=a ，AC=b ，AB=c ．CD=b ，试说明：
222
111a b h +=
【课后练习】1、已知：如图，直线y=kx+3（k ＞0）交x 轴于B 点，交y 轴于A 点，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连接BE 、CE ，∠CBD 的平分线交CE 于I 点． （1）求证：BE=IE ；
（2）若AI ⊥CE ，设Q 为弧BF 上一点，连接DQ 交y 轴于T ，连接BQ 并延长交y 轴于G 点，求证：AB 2=A T •AG 。

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）
．将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线y=223y ax x =-经过点A ，点D 是该抛物
线的顶点．
（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；
（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ，求点P 的坐标；
（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标．
3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=BC=1，以AB 为直径作半圆O 切CD 于E ，连接OE ，并延长交AD 的延长线于F ．
（1）问∠BOE 能否为120°，并简要说明理由；
（2）证明△AOF∽△EDF，
1
2 DF DE
OF OA
==
（3）求DF的长．。