1.3.2利用导数研究函数的极值

a o b
x
c d e
f g
o
h
i
j
x
图1.3 10
以a，b两点为例，函数y=f(x)在点 x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点 的函数值都小， ' a 0 而且在点x=a附 f f ' x 0 ，右侧 f ' x 0 . 近的左侧
y
y f x
知 f (x) 在 x 3时取得极值，则=（ B）
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
解析：利用取得极值时的导数条件进行求解.
随堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是 （ B ) A. y=-x3 C. y=tanx-x B. y=cos2x D. y=1/x
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的 切线的斜率为( B )
一般地，设函数f(x)在点x0附近有 定义，如果对x0附近的所有点，都有 f(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一 个极大值，记作y极大值=f(x0).
极小值的概念
如果对x0附近的所有点，都有 f(x)>f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的 一 个极小值，记作y极小值=f(x0). 极大值和极小值统称极值
极值反映了函数在某一点附近的 大小情况，刻画的势函数的局部性质.
思考：极值与我们前面学过的最值的概 念有什么区别？
1 3 求函数 f x x 4 x 4的极值. 3 解: 1 3 ' 2 因为f x x 4 x 4, 所以f x x 4 3 x 2 x 2 .
结合实例，借助几何直观探索并 了解函数的极值与导数的关系.
情感态度与价值观
利用函数图像，观察、分析函数 的极值与导函数之间的关系，体会导 数在研究函数中的优越性.
教学重难点
重点
求函数的极值.
难点
函数在某点取得极值的必要 条件和充分条件.
h
M
h f (t )
o
m
t
h
h' a 0
单调递增
当x变化时, f ( x)，f(x)的变化情况如下表:
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a
时,f(x)有极小值f(a)=2a.
x
(-∞,-a)
-a
(-a,0)
(0,a)
a
(a,+∞)
f’(x)
f(x)
+
↗
0
极大 值-2a
↘
↘
0
极小 值2a
+
↗
D. 1
2 5.函数y=x3-3x的极大值为_____.
6 .对可导函数，在一点两侧的导数异号是这 点为极值点___________. 充要条件
7.求函数
a2 f ( x ) x ( a 0) x
的极值.
解:函数的定义域为(, 0) (0, ),
a 2 ( x a)( x a) f ( x) 1 2 . 2 x x 令 f ( x) 0 ,解得x1=-a，x2=a(a>0).
a o b
x
图1.3 10
类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数 值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大， ' b 0 ；而且在点x=b附近的左 f 侧 f ' x 0 ，右侧 f ' x 0
y
y f x
a o b
x
图1.3 10
极大值的概念
（5）如果函数f(x)在点x0处连续,总
结判别f(x0)是极大或极小值的方法： 左负右正为极小，左正右负为极大.
高考链接
（广东卷7）设 a R，若函数 y eax 3x
有大于零的极值点，则（ B ）
A． a 3
1 a C． 3
B．a 3
1 D． a 3
（全国卷Ⅰ）函数 f ( x) x 3 ax2 3x 9，已
（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内 的部分为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内 的部分为减区间．
新课导入
观察下图，点a与点b处的函数值， 与他们附近点的函数值有什么关系？ f (a )
f (b )
a
b
观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的 函数值都大．b点的函数值f(b)比它 临近点的函数值都小．
,2
因此,当x=-2时有极大值,y极大值=28/3; 当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
1 3 函数f x = x - 4x + 4的图象如图1.3 - 12 3 y 所示.
1 3 f x x 4 x 4 3
2
o
2
x
图1.3 12
极大值一定大于极小值吗 ?
2 如果在x0附近的左侧f ' x 0, 右侧 ' f x 0, 那么f x0 是极小值 .
口诀：左负右正为极小，左正右 负为极大.
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可 得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
你还能再 举例吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点.
例如，函数 f x = x3 ，f ' x = 3x2 .虽 然f ' 0 = 0 ，但无论x>0，还是x<0，恒 有f ' x > 0 ，即函数 f x = x3是单调递增 的，所以x=0不是函数 f x = x3极值点.
A. –5
C. –7
B. –6
D. –8
3. 下列说法正确的是 （
C）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x) 无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
4.已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那 么a等于( A ) A. 6 B. 0 C. 5
知识要点
一般地，函数y=f(x)在一点的 导数值为0是函数y=f(x)在这点取 极值的必要条件，而非充要条件.
知识要点
一般地，求函数y=f(x)的极值的 ' f ' x0 0时： 方法是:解方程 f x 0.当
（1）如果在 x0 附近的左侧f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f x0是极大值；
旧知回顾
一般地，函数的单调性与导数的关系：
在某个区间 a, b 内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x 在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0, 那么函数 y = f x 在这个区间内 单调递减.
（1）确定函数y=f(x)的定义域；
（2）求导数f’(x)；
下面分两种情况讨论：
1当f ' x 0,即x 2,或x 2时; 2当f ' x 0,即 2 x 2时. ' 当x变化时, f x , f x 的变化情况如下表 :
2 2,2 2 2, f ' x 0 0 28 4 f x 单调递增 单调递减 单调递增 3 3 x
当x变化时，y，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂小结
（1）可导函数极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定都是极值点. （2）对于一般函数，函数的不可导 点也可能是极值点.
（3）极大值与极小值的概念.
（4） 一般地，函数y=f(x)在一点的 导数值为0是函数y=f(x)在这点取极 值的必要条件，而非充分条件.
单调递增 h t 0
'
单调递减 h' t 0
图1.3 9
h ' t 0; 当t<a时，函数h(t)单调递增，
当t>a时，函数h(t)单调递减，h t 0.
'
这就是说，在t=a附近，函数值先
增后减.这样，当t在a附近从小到大经
过a时， ' t 先正后负，且h' t 连续变化， h 于是 h' a . 0
h' a 0
单调递增 h' t 0
单调递减 h' t 0
图1.3 9
探究 下图中函数y=f(x)在a—j点的函 数值与这些点附近的函数值有什么函数 关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？ 在这些点附近，该函数的导数符号有什 么规律？
y
y ห้องสมุดไป่ตู้ x
y
y f x
观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图 象思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2 处的函数值，与它们附近所有各点处 的函数值，比较有什么特点?
1.3.2 利用导数研究函数的极值
教学目标
知识与能力
理解函数的极大值、极小值、 极值点的意义.掌握函数极值的判别 方法.进一步体验导数的作用.
过程与方法
O
单调递减 h' t 0
a 图1.3 8
h t 0
'
t
图1.3 9
观察上图，可以发现t=a时，高台跳水 运动员距水面的高度最大，那么函数在此 点的导数是多少？此点附近的图像有什么 特点？相应的，导数的符号有什么变化规 律？