(完整版)南京信息工程大学高数期末考试大一上学期高数期末考试题
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期（第一学期）高数期末考试题详解
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题小题, , 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f ¢= （B ）(0)1f ¢=（C ）(0)0f ¢= （D ）()f x 不可导不可导. . 2.）时（，则当，设133)(11)(3®-=+-=x x x x xx b a . （A ）()()x x a b 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x a b 与是等价无穷小；（C ）()x a 是比()x b 高阶的无穷小； （D ）()x b 是比()x a 高阶的无穷小高阶的无穷小. . 3. 若()()()2x F x t x f t dt=-ò，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且¢>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=òx f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+®xxx sin 2)31(l i m .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx =×òx xxx f d cos )(则. 7.lim(coscoscos )®¥-+++=22221n n nn nn pp pp .8.=-+ò21212211arcsin －dx x x x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程s i n ()1x y e xy++=确定，求¢()y x 以及¢(0)y .10. .d )1(177x x x x ò+-求 11.．求，， 设ò--ïîïíì£<-£=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=ò1()()g x f xt dt，且®=0()limx f x Ax，A 为常数. 求¢()g x 并讨论¢()g x 在=0x 处的连续性处的连续性. .13. 求微分方程2ln xyyx x¢+=满足=-1(1)9y 的解的解. .四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(³=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. .五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y l n =的切线，该切线与曲线x y l n =及x轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]Î01q ，1()()³òòqf x d x q f x dx..17. 设函数)(x f 在[]p ,0上连续，且)(0=òpx d x f ，cos )(0=òpdx x x f .证明：在()p ,0内至少存在两个不同的点21,x x ，使.0)()(21==x x f f （提示：设ò=xdx x f x F 0)()(）解答 一、单项选择题一、单项选择题((本大题有4小题小题, , 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2p. 8.3p.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y+¢¢+++=cos()()cos()x y x y e y xy y x e x xy +++¢=-+ 0,0x y ==，(0)1y ¢=-10. 解：767u x x dx du ==1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++òò原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++7712ln ||ln |1|77x x C =-++ 11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx ---=+-òòò123()1(1)xxd e x dx--=-+--òò 0232cos (1sin )xxxee d x p q q q ----éù=--+-=ëûò令3214e p=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。
2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。
3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。
4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。
5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。
7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。
8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。
9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。
10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。
南京信息工程大学高数期末考试试卷aB
(6 分)
2 2 22、若 un 与 vn 都收敛,则 (un vn ) 2 收敛. n1 n1 n1
2 2 2 2 证：由于 0 (u n vn ) 2 u n vn 2u n vn 2(u n vn ),
(3 分)
2 2 2 2 vn ) 收敛, 并由题设知 un 与 vn 都收敛,则 2(un n1 n1 n 1
2 解：公司利润为 L R x1 x2 15 13 x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
13 8 x2 4 x1 0, 4 x 8 x2 13, Lx 令 1 即 1 2 31 8 x1 20 x2 0, 8 x1 20 x2 31, Lx 3 5 得驻点 ( x1 , x2 ) ( , ) (0.75,1.25) ,而 4 4 1 x1 4 0 , B Lx 1x2 8 , C Lx 2 x2 20 , A Lx D AC B 2 80 64 0 ,
编号
南京信息工程大学试卷
学年 第 1 学期
本试卷共 高等数学 课程试卷( B 卷) 页；考试时间 120 分钟；任课教师 课程组 ；
题序 得分
一
二
三
四
总 分
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
评 分
阅 卷 人
y 1、已知 f ( x y, ) x 2 y 2 ,则 f ( x, y ) _____________. x
2 y 1 y x y
3 1 1 解： I 1 dy 2 e dx e e 2 y 8 2 2
1 y
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
、单项选择题
1设f(x)cos x(x sin x),则在x 0处有(
).
(A)f(0)
2(B)f(0)1(C)f(0)0(D)
f(X)不可导.
c设(x)1
2.1
X，(x) 3 33x，则当x1时(
X
)
(A)(x)与
(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
(B)(X)与(X)
是等价无穷小；
(C)(X)是比(x)高阶的无穷小；(D)(X)是比(x)高阶的
无穷小.
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(X)0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
0，则().
函数F(x)必在x0处取得极大值；
函数F(x)必在x0处取得极小值；
函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；
17.设函数f(x)在0，上连续，且0
证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f(1)f( 2)0.(提
x
F(x) f(x)dx
示：设0
解答
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1、D2、A3、C4、C
、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
9.解：方程两边求导
x y
e(1y)cos(xy)(xy y) 0
四、解答题(本大题10分)
14.已知上半平面内一曲线y y(x) (x0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xX。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15.过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
南京信息工程大学高数期末考试试卷
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设1(1),0(),xx x f x x a x ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =-1e。
解()()1111lim 1lim 1x xx x x x e-----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则0(3)(3)lim2h f h f h →--=1-。
解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h →--'==则(3)(3)1(3)(3)limlim22h h f h f f f h h h→→----=-()1132122f '=-⋅=-⨯=-3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=()026622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩ ， 则t dydx==0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dydyt dt dx dxt dt======+22t t t dy d dy dx d d y dx dt dxdxdxdt===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭==()()()22cos 1cos sin 1cos 151cos 20t t t tt t =+++==+5. 设1(0)xy xx +=>，则y '=()1ln xx x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x yx'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy--。
大专高数期末高数试题大一上学期
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若f（x）为奇函数，且对任意实数x恒有f（x+3）-f（x-1）=0，则f（2）=（）A. -1B.0C.1D.22.极限=（）A.e-3B.e-2C.e-1D.e-33.若曲线y=f（x）在x=x0处有切线，则导数f＇（x0）（）A.等于0B.存在C.不存在D.不一定存在4.设函数y=（sinx4）2，则导数=（）A.4x3cos（2x4）B.4x3sin（2x4）C.2x3cos（2x4）D.2x3sin（2x4）5.若f＇（x2）= （x>0），则f（x）=（）A.2x+CB. +CC.2 +CD.x2+C二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.若f（x+1）=x2-3x+2，则f（）=_________.7.无穷级数的和为_________.8.已知函数f（x）= ，f（x0）=1，则导数f＇（x0）=_________.9.若导数f＇（x0）=10，则极限_________.10.函数f（x）= 的单调减少区间为_________.11.函数f（x）=x4-4x+3在区间[0，2]上的最小值为_________.12.微分方程y〃+x（y＇）3+sin y=0的阶数为_________.13.定积分_________.14.导数_________.15.设函数z= ，则偏导数_________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设y=y（x）是由方程ex-ey=sin（xy）所确定的隐函数，求微分dy.17.求极限 .18.求曲线y=x2ln x的凹凸区间及拐点。
19.计算无穷限反常积分 . 20.设函数z= ，求二阶偏导数。
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x
南京信息工程大学试卷
学年 第1学期 高等数学 课程试卷（B_卷）
120分钟；任课教师 课程组 ；
f(x)
0处连续,
xy
6.
由
e
y
1
nx C0S2X 确定函数 y （x ）, 则导函数y
2sin 2x — ye xy
______ x ____
xe xy In x
7.
直线I 过点
M （1
23）且与两平面x 2y z 0,2x 3y 5z 6都平行，则直
x 1 y 2 z 3 线l 的方程为
111.
2
8.
求函数y 2x ln （4x ）
的单调递增区间为 （—,0）和（1 , + ）.
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
1
(A )
3f (a)
(B ) 2f (a)
(C) f (a)
(D ) 1 -f (a) 3
、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共16
4.设
f
（x ）在点x a 处可导，那么
1.当
x x 0
时, 无
穷小. 都是无穷小，则当
x
X 。
时（
不一定是
(A) x x (B)
2
x
2
(x) (C)
ln 1
(x)
1
(x)
(D)
(x)
sin x
x a
lim
2.极限x
a
Sin
a
的值是（C
) .
cot a
(A ) 1
(B ) e
(C )
e
tan a
e
本试卷共 页；考试时间 3.
(B)
(C ) e
(D)
叫
a
a
r
ax
山
一
叫(D) sin x 2
x
2ax
e
9.计算极限lim (1 x)x x 0
x
12.求
令-
x
£3
V 1。
6
2x
y -------- T
13.求函数 1 x 的极值与拐点. 解：函数的定义域(一 ，+)
极大值y(1)1
，极小值y (
11 1
lim
(1 x)x
e .. e x
elim ----------- 1 .. ln(1 x) x
elim 2.——
e 解：x °
x
x ° x
x ° x 2
2
F(x)
x (x t)f (t)dt x
[a,b] 1°.设 f
(x)在[a ，
b ］上连续，且 a
，试求出
F
(x)
1
ln(1 x) 1
x
a
x
x f (t)dt tf (t)dt
a
解：
令y ° 得 x 3 = °, x 4 =
' 3 , x 5 =-
3
F(x)
F (x)
xf(x)
11.求 解
cosx
x — sin x 1 . xsin 2
四、解答题(
a
cosx
3~ x sin
1 .. xd sin
2 1
■ 2 , sin xdx 2
2x 本大题有4小题, dx
r~2
x\ x
x
f(t)dt
a
F (x) f (x)
1
cot x C 2
1 . xsi n
2 每小题8分，共32分) 2x
原式
1
T
3
一
古)dt
dt__
—t 2
arcsi nt
y
2(1 x)(1 x)
y
(1 x )
令 y ° 得 x 1 =
:1, x 2 = -1
y ⑴ ° x 1 = 1 是极大值点，
是极小值点 4x(3 x 2) (1 x 2)3
y ( 1) °x 2=-1
■■■?■? 3 、、3
-2 ), (0, 0)(応,2 ) 3
x
ABP 的面积
S (x) 4 0 当x 1时S( x)取得极大值也是最大值 此时y 3
所求点为(1, 3)
另解：由于 ABC 的底AB —定，故只要高最大而过C 点的抛物线 的切线与AB 平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x °, 4 xo) ,使f (X 0)
2X 0
5 3
3 1
2,解得 X 0 1,所求 C 点为(1,3)
六、证明题(本大题4分)
16.设x 0，试证 e 2X (1 x) 1
x .
证明：设 f (x) e 2x (1 x) (1
x), x 0
f (x) e 2x (1 2x) 1
, f (x) 4xe 2x , x 0, f (x) 0，因此 f
(x)在(°,
+ )内递减。
在(0, + )内，f (x) f (0)
°,
f (x)
在(0, + )内递减，在(0, + )
内, f (x)
f (0),即 e
2X
(1 x) (1
x) 0
亦即当
x >0 时，e
2X
(1 x) 1 x
试证
e 2x (1 x) 1 x
14.求由曲线
7
3
解:―
4 x(x
0 2
3x x ,
2
4与y
3x x
所围成的平面图形的面积.
12x
4x 2 0,
6)( x 2)
3
x
S ( 3x
6 4
x 4
3 2 : ( x 16 2
1
45 2
3 15.设抛物线y p
(x,
y)使ABP 的面积最大.
AB 连线方程：y 2x 1 0
2x y 1 0, x 2)dx
3 刍) 471
3
4 点P 到AB 的距离
X i
2
(3x 0 \
(3 2 2 x 上有两点
6, x 2 X 2
0, X 3
2.
3
—)dx
4
4
A( 1,3) B (3
，5)，在弧A B 上，求一点
AB x 2 2x 3
5
1 x 3)
S(x)
S (x)
2
.■■■— x 4 ： 5 ------ <5 当x 1
1 2 4x 4 2x 3
2( 2x 3) S (x)。