高等数学下册模拟试题2及答案.
高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题)
高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题) 高等数学(下)模拟试卷一一、填空题(每空3分，共15分)z,的定义域为y2yy2(1)函数(2)已知函数z arctan20zx，则 x,(x,y)ds(3)交换积分次序，dyf(x,y)dx(4)已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 L(5)已知微分方程y ,2y ,3y 0，则其通解为二、选择题(每空3分，共15分)x,3y,2z,1 0(1)设直线L为 2x,y,10z,3 0，平面为4x,2y,z,2 0，则( )A. L平行于B. L在上C. L垂直于D. L与斜交 (2( )xyz,(1,0,,1)处的dz ,D.dx,2A.dx,dyB.dx,2222(3)已知是由曲面4z 25(x,y)及平面z 5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A. 0C.2(x,y)dv5d20rdr dz35B.2 0d240rdr dz202532 0d rdr5dz2r235D. ，则其收敛半径)1drdr dz(4)已知幂级数A. 2B. 1C. 2D. (5)微分方程y ,3y ,2y 3x,2e的特解y的形式为y ( ) A. xx,,xxB.(ax,b)xeC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe三、计算题(每题8分，共48分)x,11、求过直线L1:122y,20zz,3,1且平行于直线L2:x,22y,11z1的平面方程z2、已知z f(xy,xy)，求 x， y3、设D {(x,y)x,y 4}22，利用极坐标求Dxdxdy24、求函数f(x,y) e(x,y,2y)的极值x t,sint (2xy,3sinx)dx,(x,e)dy L5、计算曲线积分，其中L为摆线 y 1,cost从点2y2x2O(0,0)到A( ,2)的一段弧xy xy,y xe6、求微分方程满足x 11的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算半球面z2xzdydz,yzdzdx,zdxdy2，其中由圆锥面z 与上(10 )2、(1)判别级数n 1(,1)n,1n3n,1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;(6 )n(2)在x (,1,1)求幂级数n 1nx的和函数(6 )高等数学(下)模拟试卷二一(填空题(每空3分，共15分)z(1)函数ln(1,x,y)的定义域为 ;xyelnx0(2)已知函数z e，则在(2,1)处的全微分dz ; (3)交换积分次序， 1 dxf(x,y)dy2, ;(4)已知L是抛物线y x)点B(1,1上点O(0,0与之间的一段弧，则L(5)已知微分方程y ,2y ,y 0，则其通解为 .二(选择题(每空3分，共15分)x,y,3z 0(1)设直线L为 x,y,z 0，平面为x,y,z,1 0，则L与的夹角为( ); zA. 0B. 2C. 3D. 4 (2)设z f(x,y)是由方程z,3xyz a确定，则 xyz2233( );xy2yz2x,xz2A. xy,zB. z,xyC. xy,zD. z,xy (3)微分方程y ,5y ,6y xe 的特解y的形式为y ( );,A.(ax,b)e2xB.(ax,b)xe222xC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe22x2x(4)已知是由球面x,y,z a所围成的闭区域, 将三次积分为( ); A2dv在球面坐标系下化成a2 0d20sin d rdra2B.2 0d220d rdra20C. 02dd rdraD. 0ndsin d rdr(5)已知幂级数n 1 2n,12xn，则其收敛半径( ).12 B.1 C.2 D.三(计算题(每题8分，共48分)5、求过A(0,2,4)且与两平面 1:x,2z 1和 2:y,3z 2平行的直线方程 . zz6、已知z f(sinxcosy,e22x,y)，求 x， y .7、设D {(x,y)x,y 1,0 y x}，利用极坐标计算22arctanDyxdxdy.8、求函数f(x,y) x,5y,6x,10y,6的极值. 9、利用格林公式计算2223L(esiny,2y)dx,(ecosy,2)dyxx，其中L为沿上半圆周(x,a),y a,y 0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. x,16、求微分方程四(解答题(共22分)y ,y(x,1)2的通解.1、(1)(6 )判别级数n 1敛;(,1)n,12sinn3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收n(2)(4 )在区间(,1,1) .2、n 3n,3n,2= .3、已知y ln(1,x)，在x 1处的微分dy . 2lim(n,2)224、定积分1,1(x2006sinx,x)dx 2 .dy 5、求由方程y,2y,x,3x 0所确定的隐函数的导数dx二(选择题(每空3分，共15分)2x,3x,2的间断点 1、x 2是函数(A)可去 (B)跳跃(C)无穷 (D)振荡 57 . y x,122、积分= .(A) (B),(C) 0 (D) 1 103、函数y e,x,1在(, ,0] 。
高等数学下册复习题模拟试卷和答案.
∫ (ex sin y − 2 y)dx + (ex cos y − 2)dy
9、 利用格林公式计算 L
，其中
L 为沿上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2, y ≥ 0 、从 A(2a, 0) 到 O(0, 0) 的弧段.
y′ −
y
3
= (x +1)2
6、求微分方程
x +1
的通解.
四．解答题（共 22 分）
3 ．已知 z = e xy ，则 ∂x = (1,0)
。 。
∫ 4 ．设 L 为 x 2 + y 2
= 1上点 (1,0)到 (−1,0)的上半弧段，则
2ds =
L
。
e
ln x
∫ ∫dx f (x, y)dy =
5 ．交换积分顺序 1 0
。
∑∞ (−1)n
6 .级数 n=1 n 是绝对收敛还是条件收敛？
⎧x + y + 3z = 0
（1）设直线
L
为
⎨ ⎩
x
−
y
−
z
=
0
，平面 π 为 x − y − z +1 = 0 ，则 L 与 π 的夹角为（
）；
π
π
π
A. 0
B. 2
C. 3
∂z
（2）设 z
=
f
(x,
y) 是由方程 z3
− 3xyz
=
a3 确定，则
∂x
=
（
D. 4
）；
yz
yz
xz
xy
A. xy − z2
间断点
（C）无穷
（D）振荡
江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题及答案
江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤2.当122m -<<时，复数i2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+ 4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y ()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.136.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多(参考数据：3 1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.07.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1B.2C.5D.8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为6410.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.2a b ≤B.1222a b<<C.22log log 1a b +≥- D.21a b ->-11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为1212.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，csin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．18.已知矩形ABCD，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤【答案】A 【解析】【分析】先求出集合A 的补集，再与集合B 求并集．【详解】{|3U A x x =≤-ð或4}x >，{}25B x x =<<，所以(){|3U A B x x =≤- ð或2}x >，故选：A ．2.当122m -<<时，复数i 2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．【详解】()()()()i i i 21i 2i 22525i 2i m m m m z -++-+===+-++因为12,2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2120,055m m-+，故复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，故选：B ．3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用AB 、AC 表示ED即可判断作答.【详解】在ABC 所在平面内，D 在BC 延长线上，且4BD CD =，则43BD BC =，又E是AB 的中点，所以2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ .故选：C4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式．【详解】解：由题意知22πωπ==．将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为其图像关于y 轴对称，所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈．又||2ϕπ<，所以6πϕ=．即()sin(26f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.13【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得公差9d ≤，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．【详解】因为三个数成递增等差数列，设为,,2a a d a d ++，按题意必须满足220a d +≤，9d ≤，若给定了d ，则a 可以取1,2,,202d - ，故三数成递增等差数列的个数为912)109d d -=⨯∑，所以三数成递增等差数列的概率为3201093C 38⨯=，故选：C ．6.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B 的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多?(1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0【答案】B 【解析】【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案．【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大．若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，该椎体的高为333sin602⨯︒=，底面对角线长为23cos603⨯︒=，故正四棱锥的体积为1933933224⨯⨯=，菠萝眼共有64个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为644⨯，若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，其底面的高为()(0.70.70.72tan15tan 4530==⨯︒︒-︒，底面积为((11.40.7222⨯⨯⨯+=⨯+，直三棱柱的体积为(0.4928h ⨯+⨯，故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为(0.49288h ⨯+⨯⨯，由题可得：(930.49288644h ⨯⨯⨯=⨯，则()()9393921.73 3.64 1.840.49 1.96 1.96h ⨯⨯⨯-==≈=⨯，故选：B ．7.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答案．【详解】223log 3log 2a =>=，333272(28c =<=，所以32c <，由于5832<，所以25log 38<，即28log 3 1.65<=，而123 1.7b ==>，所以c<a<b ，故选：D ．8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1 B.2C.5D.8【答案】D 【解析】【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1，设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ），对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意．在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i ==，对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d A C d A C ==，平面234C C C 符合题意，即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个；设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G ，当平面α经过234A A A △的中位线EF 时，如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面2B EF ，34A A ⊄平面2B EF ，可得34A A //平面2B EF ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面2B EF 的距离相等，因此平面2B EF 符合题意．如下图3：对于平面34B B FE ，3B 在线段13A A 上，4B 在线段41A A 上，且131433442A B A B A B A B ==，利用三角形相似可知1313332A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面34B B FE ，34A A ⊄平面34B B FE ，可得34A A ∥平面34B B FE ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面34B B FE 的距离相等，因此平面34B B FE 符合题意．对于中位线EG GF 、，也有类似结论,即平面α经过234A A A △的某条中位线时，满足条件的平面有6个，综上所述，符合题意的平面共有8个．故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为64【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断各项正误即可．【详解】A ：若E 为CD 中点，连接,AE BE ，由题设知：各侧面均为等边三角形，所以,AE CD BE CD ⊥⊥，AE BE E =I ，,AE BE ⊂面ABE ，则CD ⊥面ABE ，又AB ⊂面ABE ，故AB CD ⊥，正确；B ：若F 为面ACD 中心，连接BF ，则BF ⊥面ACD ，CF ⊂面ACD ，所以直线BC 与平面ACD 所成的角为BCF ∠，且BF CF ⊥，而2331323CF =⨯⨯=，故cos 3CF BCF BC ∠==，显然BCF ∠不为60 ，错误；C ：由B 分析3BF ==，即该正棱锥的体高为3，故C 到平面ABD 的距离为63，正确；D ：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为R ，则22263()33R R =-+，所以64R =，正确.故选：ACD10.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.a ≤B.1222a <<C.22log log 1a +≥- D.21a b ->-【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 利用基本不等式可判断；对于B 利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C 可用特殊值法判断；对于D 直接根据不等式的基本性质判断即可．【详解】0a > ，0b >，且21a b +，212a b ∴=+≥，()((22222a b a a ∴+≥+∴+≤，，当且仅当22a ==取等号，故A 正确；0a > ，0b >，且21a b +=，010111a a ∴<<<<∴-<<∴，，，1222a <<，故B 正确；则21a b b ->->-，故D 正确；取2122a ==，则223log log 12a +=-<-，故C 错误.故选：ABD ．11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为12【答案】BCD 【解析】【分析】通过k 取不同值求出周长即可判断A ，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B ，确定线段PM 取最小值的条件即可判断C ，确定a 、c 的值即可求出离心率从而判断D ．【详解】该椭圆中42a b c ===，，则()2,0F ，所以离心率为12，故D 正确；设()11,M x y ，()22,P x y ，()22Q x y --，，则在PM 、QM 斜率都存在的前提下有1212PM y y k x x -=-，1212QM y y k x x +=+，于是()()()()2212121222121212PM QMy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+-221222123312124434x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--为定值，故B 正确；由题意可设PM 的方程为2x my =+，联立22116122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 得()223412360m y my ++-=，则1212221236,3434m y y y y m m +=-=-++，所以()2224134m PM m +===+2222424134311m m m ==++++，则当0m =时，min6PM =，所以线段PM 的长度存在最小值，故C 正确.当216k =时，直线216y x =与椭圆2211612x y +=交于点2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和2132⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，不妨取点P 为2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，得直线PF 方程为()2122y x =-，求得交点M 为132124⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则254PM =，2174QM =，PQ =PQM的周长为2521744++，当32k =时，联立221161232x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x =±，不妨取()2,3P ，则PM 垂直于x 轴，此时6PM =，4QM =，PQ =，此时PQM的周长为10+，显然PQM 周长不为定值，故A 错误；故选：BCD ．12.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据函数的奇偶性得到()f x 在R 上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A 正确；由图象可得<2x -时，()y f x =单调递减，从而得到B 正确；由()11f =，令211x =-，解得：3x =，数形结合得到13a ≤≤，C 正确；求出()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，进而当<2x -时，2313513=--+，再结合对称性得到32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，从而35m =-或32-，D 错误.【详解】因为()f x 为定义域为R 的奇函数，当<2x -时，2x ->，故()()2211f x f x x x =--=-=--+，当20x -≤<时，02x <-≤，故()()()222222f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=---⎣⎦，当0x =时，()0f x =，综上：()222,2122,020,022,202,21x x x x x f x x x x x x x ⎧>⎪-⎪-+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪⎪<-⎪+⎩，画出函数()f x的图象，如下：存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，理由如下：如图1，当1k =时，直线1:l y x =与()f x 的图象有5个交点，联立y kx =与()222f x x x =-+，()2220xk x -++=，由()2280k ∆=+-=且0k >得：2k =，且此时()2y x =与()222f x x x =---联立，220x ---=，其中(280∆=--=，故2k =时，直线()2:2x l y =与两抛物线刚好相切，故有5个交点，则当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A正确；当<2x -时，()y f x =单调递减，故当122x x <<-时，有()()12f x f x >，B 正确；由图象可知：()11f =，令211x =-，解得：3x =，当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤，C 正确；令()32f x ＝，当02x <≤时，23222x x -+=，设两根为12,x x ，则12221,122x x =+=-，当2x >时，2312x =-，解得：373x =，故()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，当<2x -时，2313513=--+，故当35m =-时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，由对称性可知32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，综上：35m =-或32-，D 错误.故选：ABC【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中()f x kx ＝实数根个数问题，要转化为两函数()y f x =与y kx =的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出()y f x =与y kx =的图象，用数形结合的思想求解.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．【答案】6【解析】【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为23321C 2n r r r n r nT x --+⋅=，由展开式中，第5项为常数项，此时4r =，则23402n -⨯=，即6n =．故答案为：6.14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________【答案】3x =或3410x y +-=【解析】【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆C 方程化为圆的标准方程()()22124x y -+-=，得圆心()1,2C ，半径为2r =，当过点()3,2P -的直线斜率不存在时，直线方程为3x =是圆C 的切线，满足题意；当过点()3,2P -的直线斜率存在时，可设直线方程为()23y k x +=-，即320kx y k ---=，2=，解得34k =-，即此直线方程为3410x y +-=，故答案为：3x =或3410x y +-=．15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________【答案】366-【解析】【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．【详解】由21y x =-，得2y x '=，则曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为102k x =，由31y x =+，得23y x '=，则曲线31y x =+在0x x =处的切线斜率为2203k x =，则根据题意有121k k =-，即3061x =-，得0366x =-．故答案为：6-.16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________【解析】【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于a 、c 的方程即可求出离心率．【详解】如图，设P 为MN 中点，MF t =，由3FN FM =可知3FN t =，MP PN t ==，由双曲线的定义可知22MF t a =+，232NF t a =-，由0OM FN ⋅=可知OM FN ⊥，又O 为2FF 中点，M 为FP 中点，可知2OM PF ，则2PF FN ⊥,从而2PF 为线段MN 的垂直平分线，22MF NF =，即232t a t a +=-，所以2t a =，则2MNF 为正三角形，2PF =，在直角△2FPF 中，22222FP PF FF +=，即222(4))(2)a c +=，所以e =．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c sin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．【答案】（1）π3；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式及三角函数性质求解作答.（2）利用正弦定理结合已知变形，再由差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】在ABC sin cos B b A b =+及正弦定理得sin sin cos sin A B B A B =+，而sin 0B ≠，cos 1A A =+，即cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又ππ5π666A -<-<，则ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理sin sin c b C B =，得sin sin c B b C=，而1cos b C -=2sin 1sin BC C -=，即2sin sin cos B C C C -=，而2π3B C =-，因此2π2sin sin cos 3C C C C ⎛⎫--=⎪⎝⎭，整理得cos C C C =，显然cos 0C ≠，解得sin 2C =，所以sin 2C =.18.已知矩形ABCD ，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，先利用线面垂直判定定理证得BC ⊥平面PMQ ，再由线面垂直性质得证；（2）先利用线面垂直判定定理证得PB PMC ⊥平面，可得BCP ∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，从而得解．【小问1详解】已知矩形ABCD ，沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ，可得11BP AB CD CP ====，，取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，1BP CP ∴==，BM CM =，BC MQ ∴⊥，BC PQ ∴⊥，又MQ PMQ ⊂平面，PQ PMQ ⊂平面，MQ PQ Q ⋂=，BC ∴⊥平面PMQ ，PM PMQ ⊂ 平面，BC PM ∴⊥；【小问2详解】1BP CP == ，BC AD ==，222PB PC BC ∴+=，PB PC ∴⊥，又四边形ABCD 为矩形，PB PM ∴⊥，PM PC P PM PMC PC PMC ⋂=⊂⊂ ，平面，平面，PB PMC ∴⊥平面，BCP ∴∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，2sin2BCP ∠==，即直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值为22．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．【答案】（1）分布列见解析，496（2）11279000【解析】【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；（2）根据随机变量η服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．【小问1详解】设事件i A 为“从甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“从乙盒中取出j 个红球”，则()()21324C C ,01C i i i P A i -==，，()()22426C C ,012C j jj P B j -==，，,记x 为取出的4个球中红球的个数，则()()2234002246C C 10C C 5P x P A B ===⋅=，()()()2111233244011022224646C C C C 71C C C C 15C P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()()2121133224021122224646C C C C C 32C C C C 10P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()1232122246C C 13C C 30P x P A B ===⋅=，由题意得ξ的分布列为则()113749578930510156E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由（1）可知，获得7折及以下资格的概率为11730530+=．由题意得7330B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，则()2237711272C ()130309000P η⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．【答案】（1）*(1)N 2nn n na n =-∈，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证．【小问1详解】根据题意，由()1120n n n a na +++=可知，0n a ≠，则112n n a n a n++=-，当2n ≥且*N n ∈时，由累乘法得()()1111121311212223212n n n a n na n --⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-⎢⎥ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，又112a =-，则111(1)(1)222n n n n n n n a --⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，112a =-也符合上式，综上可知，*(1)N 2nn nn a n =-∈；【小问2详解】因为1(1)2nn n n n n nb k b a k b +=⋅+=⋅+-，1k ≤，所以1(1)22nn n n n n n n b k b b +≤⋅+-≤+，即12n n nn b b +-≤，当2n ≥且*N n ∈时，由累加法得121121222n n n b b ---≤+++ ，设21121222n n n S --=+++ ，则2223121222n n n S --=++++ ，所以12211111111111212122222212n n n n n n n n n S --------+=++++-=-=-- ，又11b =，则111112322n n nn n n n b b S b --++-≤=-⇒≤-，当1n =时，11b =上述不等式也成立，因此，当1k ≤时，1132n n n b -+≤-对*N n ∈恒成立．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）1669．【解析】【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点P 、M 纵坐标相等，从而得证；（2）根据向量关系得19PAB PCD S S = ，又结合点P 在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值．【小问1详解】设(),P P P x y ，(),C C C x y ，(),y D D D x ，(),M M M x y ，则由3PC PA =，3PD PB =，(,)3C P C P x x y y --=(,)A P A P x x y y --，(,)3D P D P x x y y --=(,)B P B P x x y y --，可得2233C P C Px x y y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，，2233D P D Px x y y B ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由点,A C 都在抛物线上可得224(2)2493C C C PC P y x y y x x ⎧=⎪⎨++=⨯⎪⎩，化简可得2221220C P C P P y y y x y -+-=，同理可得2221220D P D P P y y y x y -+-=，故C y ，D y 可视为二次方程2221220P P P y y y x y -+-=的两根，由韦达定理可得2C D P y y y +=，故2C DM P y y y y +==，由此可得PM 垂直于y 轴.【小问2详解】由（1）可得2C D P y y y +=，2122C D P P y y x y ⋅=-；由3PC PA = ，3PD PB =知19PAB PCDS S = 11922C D P C D x x x y y +⎛⎫=⋅⋅-⋅- ⎪⎝⎭221188CD P y y x ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭2()21188C D C D P y y y y x ⎛⎫+-⋅=⋅- ⎪⎝⎭()21418P P y x =⋅-⋅()2349P P y x =-⋅=，又P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，可得224414PPP P x y x x -=--且2P x ≤-，则PABS = ，又当2P x ≤-时，24184PP x x --≥，因此，当2P x =-时PAB S 取最小值为1669．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．【答案】（1）单调递增区间为(),∞∞-+（2）e12-．【解析】【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；（2）求导，对a 进行分类讨论，根据函数()f x 在()0+∞，的最小值为12-，求得a 的取值范围，从而得到a 的最大值．【小问1详解】当1a =时，()()1212e 2x f x x x x -=--+，则()()()()111e 11e 1x x f x x x x --'=--+=--，令()()11()1e1,()e 1x x g x x g x x --'=--=-，()g x '在R 上单调递增，当1x <时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，故()(1)0g x g ≥=，所以()()()11e10x f x x -'=--≥恒成立，仅当1x =时取等号，即()f x 的单调递增区间为(),∞∞-+;【小问2详解】()()()()11e e 1x x f x x a x a x a --'=--+=--当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1x =取得最小值12-，符合题意；当01a <<时，(0,)x a ∈时，()0f x '>，(,1)x a ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，因为()f x 最小值为()112f -=，所以()()01f f ≥得e 12a ≤-，即e012a <≤-；当1a =时，由（1）可知()f x 单调递增，则当0x >时()f x 无最小值，不合题意；当1a >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，(1,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a∈+∞时，()0f x'>，则有()()112f a f<=-，不合题意；综上可得，a的最大值e12-．【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.。
高数二试题模拟及答案解析
高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。
选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。
2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。
...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。
答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。
利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。
2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。
答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。
...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。
专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．cos x的一个原函数是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x的一个原函数是，故选B．知识模块：一元函数积分学2．经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x2的曲线方程是( )A．y=x3一1B．y=x2一1C．y=x3+1D．y=x3＋C正确答案：A解析：因为y’=3x2,所以y=∫y’dx=x3+C，又过点(1，0)，所以C=一1．知识模块：一元函数积分学3．已知∫f(x2)dx=+C，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∫f(x2)dx=+C，两边求导得f(x2)=，所以f(x)=．知识模块：一元函数积分学4．∫xf(x2)f’(x2)dx= ( )A．f2(x2)+CB．f2(x2)+CC．f(x2)+CD．4f2(x2)+C正确答案：A解析：∫xf(x2)f’(x2)dx=∫f(x2)f’(x2)d(x2)=∫f(x2)df(x2)=f2(x2)＋C．知识模块：一元函数积分学5．∫－11(3x2+sin5x)dx= ( )A．一2B．一1C．1D．2正确答案：D解析：∫－11(3x2+sin5x)dx=3∫－11x2dx+∫－11sin5xdx，因为f1(x)=x2为偶函数，所以∫－11x2dx=2∫01x2dx=，因为f2(x)=sin5x为奇函数，所以∫－11sin5xdx=0．故∫－11(3x2+sin5x)dx=×3=2．知识模块：一元函数积分学6．∫0xetdt= ( )A．exB．ex一1C．ex－1D．ex＋1正确答案：A解析：因为∫axf(t)dt=f(x)，故∫0xetdt=ex．知识模块：一元函数积分学7．设f(x)连续，则(∫0xtf(x2－t2dt)= ( )A．xf(x2)B．一xf(x2)C．2xf(x2)D．一2xf(x2)正确答案：A解析：∫0xtf(x2一t2)dt f(μ)dμ．则[∫0xtf(x2－t2)dt]=[∫0x2f(μ)dμ]=xf(x2)，故选A．知识模块：一元函数积分学8．设函数f(x)=∫0xet2dt，则f’(0)= ( )A．0B．1C．2D．e正确答案：B解析：因为f(x)=∫0xet2dt，所以f’(x)=ex2，f’(0)=1．知识模块：一元函数积分学9．由曲线y=，直线y=x，x=2所围面积为( )A．∫12(一x)dxB．∫12(x一)dxC．∫12(2一)dy+∫12(2一y)dyD．∫12(2一)dx+∫12(2一x)dx正确答案：B解析：曲线y=与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则SD=∫12(x一)dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：x—arctanx+C解析：=x—arctanx+C．知识模块：一元函数积分学11．已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则定积分∫01xf’’(x)dx的值等于_________．正确答案：2解析：∫01xf’’(x)dx=∫01xdf’(x)=xf’(x)｜01－∫01f’(x)dx=f’(1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=e－x，则∫12dx=________．正确答案：解析：由f(x)=e－x知，f’(x)=一e－x，因此f’(lnx)=，所以．知识模块：一元函数积分学13．当p_________时，反常积分∫1＋∞dx收敛．正确答案：＜0解析：=xp－1，∫0＋∞dx＜∫0＋∞xp－1dx=xp｜0＋∞，只有当P＜0时，∫0＋∞xp－1dx才收敛，也即∫0＋∞dx收敛，故p ＜0时，∫0＋∞dx收敛．知识模块：一元函数积分学14．由y=x3与y=所围成的图形绕Ox轴旋一周所得旋转体的体积为________．正确答案：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫01(x－x6)dx=．知识模块：一元函数积分学解答题15．求∫(x—ex)dx．正确答案：∫(x－ex)dx=∫xdx－∫exdx=一ex+C．涉及知识点：一元函数积分学16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．求∫x2exdx．正确答案：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex一∫2xexdx=x2ex一2∫xdex=x2ex一2(xex－∫exdx)=x2ex一2xex+2ex+C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算．正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，涉及知识点：一元函数积分学19．求．正确答案：=sin1．涉及知识点：一元函数积分学20．设∫1＋∞(—1)dx=1，求常数a，b．正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．涉及知识点：一元函数积分学21．若f(x)=∫01f(t)dt，求f(x)．正确答案：设∫01f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得k=．涉及知识点：一元函数积分学22．已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=x2，23．求该曲线在点(1，1)处的切线方程；正确答案：因为y’=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x 一1；涉及知识点：一元函数积分学24．求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；正确答案：S=∫01；涉及知识点：一元函数积分学25．求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：V=∫01π(x2)2dx一．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=(a＞0)与曲线y=在点(x0，y0)处有公共切线，求26．常数a及切点(x0，y0)；正确答案：由题设条件可得解此方程组可得a=，x0=e2，y0=1，于是切点为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学27．两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．正确答案：画出曲线y=的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫01(e2y一e2y2)dy=．涉及知识点：一元函数积分学。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题（二）一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5．x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P （1,2）沿点P 到点M （2,4）的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 － 3 y 2 ＋ z 2 = －1在点P （1,1, 1）切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分（每小题6分，共12分） 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D ：由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V ：－2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题（每小题6分，共12分）1. 一均匀物体（密度ρ为常量）占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z ＝4所围成，求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ，该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、（8分）求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、（8分）求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、（6分）求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点（0,0）。
高等数学(下)模拟试题（二）答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
2023年高考数学模拟试题（二）参考答案
面上,
球的半径为 R ,
则r=R ,
又球的表面积
正确;
两人 至 少 一 人 获 得 满 分 的 概 率 为 1-
以 △ABD 为 等 边 三 角 形。
BE ⊥AD ,且 AE =DE =1。
提示:
设直角圆锥 SO 的底面圆 的
P(
AB)
=P (
A)
P(
B )=
提 示:如 图 2,因
又 E 是 AD 的 中 点,所 以
的公比为q,
an }
8.
A
图3
2
2
2
=1,
PD = 2,即 PE + DE = PD ,所 以
PE ⊥DE 。又因为 PE ∩BE =E ,
PE ,
BE ⊂
平面 PBE ,所 以 DE ⊥ 平 面 PBE 。 又 DE∥
BC,则 BC ⊥ 平 面 PBE 。 又 BC ⊂ 平 面
所以平面 PBE ⊥ 平面 PBC,
2
所以椭圆 C 的方 程 为 +
a -c =4-1=3,
形,
设|NF2|=m ,则|PF2|
=3m ,|NF1 | = 2
a + m,
|PF1|= 2
a
+ 3m , 在
由勾股定理得
R
t△PNF1 中,
图4
2
2
2
(
2
a+m )+ (
4m ) = (
2
a+3m ),整 理 可 得
m =a,在 Rt△F2NF1 中,由 勾 股 定 理 得
2
2
2
2
2
(
3
a)+a = (
高等数学下册模拟试题及答案02,第七版,同济大学数学系
分）求幂级数
n 1
n
!
n
n
的收敛域（端点情形要讨论）．
七、（12 分）利用 Gauss（高斯）公式计算曲面积分 x 2 yz dydz y2 zx dzdx z2 xy dxdy ，
y
八、（12 分）设 1 ，试确定函数 u ，使得曲线积分 sin x x dx x dy
sin x
所以得微分方程 x x
x
x
C cos x 解此方程，得通解 x
x
1 cos x C 1 所以，所求函数为 x
x
( , )
y
( ,0)
y
sin x x dx x dy sin x x dx x dy
22
22
1
1
即： x y z 2 0 和 x y z 2 0
2
2
1
|212 15|
2、所求最短距离为 S 的切点到平面 的距离最短。d1
2
3
22 22 1
2
1
| 2 (1) 2 ( ) 1 5 |
d1
2 22 22 1
13x 10y 4z 7 0 13x 10 y 4z 7 0 。故投影直线方程为
2x 3y z 0
四、（12 分）计算
D
1 x2 y2 dxdy
，其中 D 是由圆周 x 2 y2 1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．
1 x2 y2
L
x
在 x 0 或在 x 0 的域内与路径无关，并求由点 A 1， 0 到 B ， 的上述积分 ．
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高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
z=
的定义域为；（1
）函数
xy
（2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=；
（3）交换积分次序，
⎰
e1
dx⎰
lnx0
f(x,y)dy
2
＝；
)点B(1,1)间的一段弧，
则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之
⎰
=
（5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
⎧x+y+3z=0⎨
（1）设直线L为⎩x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
∂z=33
z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则∂x（）； yzyzxzxy2222
A. xy-z
B. z-xy
C. xy-z
D. z-xy
（3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）；
A.(ax+b)e
B.(ax+b)xe
C.(ax+b)+ce
D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a
三次积分为（）； A
2
2
2
2
2x
2x
2x
2x
2x
*
*
dv⎰⎰⎰所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω
⎰
2π0
π2
dθ⎰sinϕdϕ⎰rdr
a
2
B.
⎰
2π0
π20
dθ⎰dϕ⎰rdr
a
a0
C.
⎰
2π0
dθ⎰dϕ⎰rdr
0∞
πa
D.
⎰
2π0
dθ⎰sinϕdϕ⎰r2dr
π
2n-1n
x∑
n
2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径
（）.
2 B. 1 C. 2 D.
三．计算题（每题8分，共48分）
1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ∂z∂z
x+y
2、已知z=f(sinxcosy,e)，求∂x，∂y .
22
D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设
⎰⎰arctan
D
y
dxdyx .
22
f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数
5、利用格林公式计算
⎰
L
(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy
，其中
222
L为沿上半圆周(x-a)+y=a,y≥0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. 3
yy'-=(x+1)2
x+16、求微分方程的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6'）判别级数n=1敛；
∑(-1)n-12nsin
∞
π
3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
∞
xn∑(-1,1)'4（2）（）在区间内求幂级数n=1n的和函数 .
2、(12')利用高斯公式计算
z=x2+y2(0≤z≤1)的下侧
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑
，∑为抛物面
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
} 2、edx+2edy 3、1、{(x,y)|y≤4x,0<x+y<1
22222
⎰
10
dy⎰yf(x,y)dx
e
e
1
1)x
4
、12 5、y=(C1+C2x)e 二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A
三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： A(0,2,4)
→
n1={1,0,2}n2={0,1,-3} 2'
→
→
→→
i
s=n1⨯n2=1
→
→
j0
→
k
→→→
2=-2i+3j+k
6'
01-3
xy-2z-4==
31 8' ∴直线方程为-2
2、解：令u=sinxcosy
v=ex+y 2'
f1'⋅cosxcosy+f2'⋅ex+y
6' 8'
∂z∂z∂u∂z∂v
=⋅+⋅=∂x∂u∂x∂v∂x
∂z∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅=∂y∂u∂y∂v∂y f1'⋅(-sinxsiny)+f2'⋅ex+y
3、解：
D:0≤θ≤
π
4
0≤r≤1
， 3'
π
1yπ2
4
∴⎰⎰arctandxdy=⎰⎰rθdrdθ=⎰θdθ⎰rdr=
00x64 8' DD
⎧⎪fx(x,y)=2x-6=0⎨
⎩fy(x,y)=10y+10=0 得驻点(3,-1) 4' 4．解：⎪
A=fxx(x,y)=2,B=fxy(x,y)=0,C=fyy(x,y)=10 6'
A=2>0,AC-B2=20>0∴极小值为f(3,-1)=-8 8' 5．解：
P=ex
siny-2y,Q=excosy-2，
∂P
=excosy-2,∂Q
有∂y
∂x=excosy,2'
取A(2a,0),
OA:y=0,x从0→2a 4' ∂Q∂ ⎰LPdx+Qdy+Pdx+Qdy=⎰⎰(-P)dxdy=D∂x∂y ⎰⎰2dxdy=πa2
D ∴原式＝πa2－⎰Pdx+Qdy＝πa2-0=πa2 8'
P=-13
,Q=(x+1)2
6．解：x+1 2'
-)dx
P(x)dx
131
∴⎰
P(x通解为
y=e[⎰Q(x)e⎰
dx+C]=e⎰x+1dx[⎰(x+1)2
e-⎰x+1dxdx+C]
1
=(x+1)[⎰(x+1)2
dx+C]=(x+1)[23
(x+1)2
+C]
3 四、解答题
u2n+1sin
π
unπlimn+1n→∞u=lim=2<1、解：（1）令
n=(-1)n-12sinnn→∞31
3n2nsin3n
4' ∞∴∑2n
sinπ∞
πn=1
3n∴∑(-1)n-12nsin收敛， n=13n
绝对收敛6' ∞
s(x)=（2）令
∑
xnn=1n
∞
s'(x)=∑⎛n'∞ x⎫⎪=n=1⎝n⎭∑xn-1=
1n=1
1-x， 2' ⇒s(x)=⎰x
s'(x)dx+s(0)=-ln(1-x)
4'
2、解：构造曲面
∑ 1:z=1,上侧
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy+∑
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑1
2'
6'
4'
8'
=⎰⎰⎰(2+1+1)dv=4⎰⎰⎰dv=4⎰ΩΩ2π0dθ⎰rdr⎰2dz=8π1(1-r2)rdr=2π0r⎰011 4' 6' 8' ∴I=2π-⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑1 10'
=2π-⎰⎰dxdy=π
Dxy 12'。