2020届高考数学一轮总复习第八单元立体几何第54讲空间中的垂直关系练习理(含解析)新人教A版

第54讲空间中的垂直关系
1．(经典真题)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行
．．．与β平行的直线
．．．，则在α内不存在
D．若m，n不平行
．．．垂直于同一平面
．．．，则m与n不可能
可以结合图形逐项判断．
A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
2．(2018·江西南昌第五次月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(D)
A．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β B．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
C．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
A选项中，α⊥β，l⊂α，则l与β可能相交或平行；
B选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m可能相交或异面；
C选项中，α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n可能异面；
D选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的，选D.
3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)
A．AE⊥CE
B．BE⊥DE
C．DE⊥CE
D．平面ADE⊥平面BCE
因为BE⊥AE，BE⊥DA⇒BE⊥平面ADE⇒BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE
⊥CE .故A 、B 、D 都为真命题．
对于C ，假设DE ⊥CE ，又DE ⊥BE ⇒DE ⊥平面BCE ，又AE ⊥平面BCE ⇒DE ∥AE ，这显然矛盾．故选C.
4．(2018·大庆二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是(D)
A ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m
B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
由线面垂直的性质知，若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ，故A 正确．显然B 正确．根据垂直于同一平面的两直线平行知，若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，故C 正确．由线面平行的性质知，若l ∥α，m ∥α，则l 与m 的位置关系是平行、相交或异面，故D 错误．
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取AB ＝4，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝ 13 .
连接AD ，则
CD ＝AC 2＋AD 2＝AC 2＋AB 2＋BD 2＝13.
6．已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，将它沿AE 、AF 和EF 折起，使点B 、C 、D 重合为一点P ，则必有AP ⊥ 平面PEF .
折起后，有
⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PF
AP ⊥PE PF ∩PE ＝P ⇒AP ⊥平面PEF .
7．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
(3)求证：EF ∥平面PCD .
(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，
所以PE ⊥AD .
因为底面ABCD 为矩形，
所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD .
又因为PA ⊥PD ，
所以PD ⊥平面PAB .
所以平面PAB ⊥平面PCD .
(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .
因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，
所以FG ∥BC ，FG ＝12
BC .
因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，
所以DE ∥BC ，DE ＝12
BC . 所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形．
所以EF ∥DG .
又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，
所以EF ∥平面PCD .
8．(2016·广东华附等四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，P ∉l ，则下列命题中是假命题的为(B)
A ．过点P 垂直于平面α的直线平行于平面β
B ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确，B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．9．(2018·安徽三校联考)如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB; ②EF⊥PB；
③AF⊥BC; ④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是__①②③__．
由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，
因为AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
所以AF⊥平面PBC，
所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.
故①②③正确．
10．(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
求证：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.。