2013-2014学年高中数学 2.1.2 离散型随机变量的分布列课后知能检测 新人教A版选修2-3
高中数学 2.1.2 离散型随机变量的分布列课后知能检测 新人教A版选修23(1)
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 离散型随机变量的分布列课后知能检测 新人教A 版选修2-3一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下，则下列各式中正确的是( )X －1 0 1 2 3 P0.10.20.10.20.4A.P (X ＝1)＝0.1 C ．P (X ＜3)＝1D ．P (X ＜0)＝0【解析】 根据分布列知只有A 正确． 【答案】 A2．设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量X 描述一次试验成功与否(记X ＝0为试验失败，记X ＝1为试验成功)，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23【解析】 设试验失败的概率为P ，则2P ＋P ＝1， ∴P ＝13.【答案】 C3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则p (X ＝3)＝( )A.421B.921C.621D.521【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D4．(2012·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15【解析】 2<ξ≤4时，ξ＝3,4.∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A5．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0＜ξ≤2) B ．P (ξ≤1) C ．P (ξ＝2)D ．P (ξ＝1)【解析】 由已知得ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122·C 14C 226，P (ξ＝2)＝C 24C 226.∴P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 122·C 14＋C 222C 226. 【答案】 B 二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.【答案】 0.37．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为，则q 等于________．【解析】 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【答案】 1－228．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25. ∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题9．某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，求X 的分布列．【解】 由题意，结合两点分布可知随机变量X 的分布列为：10.在83个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【解】 X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为11.(2013·日照高二检测4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X，求X的分布列．【解】(1)若胜一场，则其余为平，共有C14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C24C12＋C24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝431，P(X＝2)＝1831，P(X＝3)＝831，P(X＝4)＝131，所以X的分布列为。
2.1.2离散型随机变量的分布列-课件 共18页
思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中 同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试 写出ξ的分布列.
思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η .
研究性问题
设一部机器在一天发生故障的概率为0.2,机 器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日 里无故障可获利润10万元,发生一次故障可获利 5万元,若发生两次故障所获利润0万元,发生三 次或三次以上就亏损2万元.试写出一周所获利 润可能的取值及每个值的概率.
ξ
-1
0
1
2
3
p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
例3：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、
6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最大号码，
求 的分布列．
解： 的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3” 表示其中一个球号码等于 “3”，另两个都比“3”小
1
1
1
P6
6
6
6
6
6
⑴列出了随机变量 的所有取值． ⑵求出了 的每一个取值的概率．
二、离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 的所有可能的取值为 x 1,x2,x3,,xi,,xn 的每一个取值 x i (i1,2,,n)的概率为 P(xi)pi，则称表格
x1
x2
P
1
12
1
1
1
4
3
12
23
1
1
6
12
分别求出随机变量⑴
2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1
![2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1](https://img.taocdn.com/s3/m/1fea6bc2d5bbfd0a7956732b.png)
§2.1.2离散型随机变量的分布列预习案一、教学目标1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．3. 理解二点分布的意义.二、预习自测：问题一：（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？随机变量是如何定义的？问题二：按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。
那么，随机变量与函数有类似的地方吗？问题三：下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？为什么？（1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个电线铁站，这些电线铁站的编号；（2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差；（3）某城市1天之内的温度；（4）某车站1小时内旅客流动的人数；（5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数.（6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。
导学案重点：离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 难点：分布列的求法和性质的应用.1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X 、Y 表示。
如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i = 的概率()i i P X x p ==，则表称为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。
离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示， 如图所示。
离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：① ；②一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
2013-2014学年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差基础达标(含解析)新人教A版选修2-
【优化方案】2013-2014学年高中数学 离散型随机变量的方差基础达标（含解析）新人教A 版选修2-31．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( )A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：选B.∵D (X 甲)>D (X 乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( ) A ．6 B ．9C ．3D ．4解析：选A.E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6. D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6. 3．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14解析：选A.∵E (X )＝np ＝7，D (X )＝npq ＝6(其中q ＝1－p )，∴q ＝D (X )E (X )＝67. ∴p ＝1－q ＝17. 4．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 P 0.5 xy若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧ x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙7．某运动员投篮命中率p ＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的标准差为________，在5次投篮中(假设各次投篮相互之间没有影响)命中次数η的方差是________．解析：依题意知：ξ 服从两点分布，η服从二项分布，即η～B (5,0.8)，所以D (ξ)＝0.8×(1－0.8)＝0.16， 所以D (ξ)＝0.4.D (η)＝5×0.8×(1－0.8)＝0.8.答案：0.4 0.88．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.答案：60,969．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为在A ，B 12A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)．解：由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，(1)求X 的分布列，均值和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的分布列为 故E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ，故当a ＝2时，由1＝1.5×2＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.因此，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，即为所求．。
数学：2.1.2《离散型随机变量的分布列》课件(新人教A版选修2-3)
P
的变 0.2 离散型随机变量分布列 .如在 化情况可以用图象表示 ,掷出的点数 0.1 X 掷骰子试验中 的分布列在直角坐标系 中的 O 2 . 图象如图 .1− 2所示
1
2 3
4 5
6
X
在图 2.1 − 2 中, 横坐标是随 机变量的取值, 纵坐标为概 率 .从中可以看出, X 的取值 范围是 { ,2,3,4,5, 6},它取每 1 1 个值的概率都是 . 6
表2 −1
X P
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
利用表2 − 1可以求出能由X表示的事件的概率.例如, 在这个随机试验中事件{X < 3} = {X = 1} ∪ {X = 2}, 由概率的可加性得 1 1 1 P(X < 3 ) = P(X = 1) + P(X = 2) = + = . 6 6 3
3 3 4 4 5 5 C10C5−−10 C10C5−−10 C10C5−−10 30 30 30 = + + ≈ 0.191. 5 5 5 C30 C30 C30 55 左右 , 思考 如果要将这个游戏的中 奖控制在 % 那么应该如何设计中奖 ? 规则
Байду номын сангаас 作业：P49A组（4—6）和B组 P49A 4—6 B
X
P
0
0 n CMCN−0 −M n CN
1
n C1 CN−1 M −M n CN
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
3
m n CMCN−m −M n CN
.如果随机变量 的分布列为 X 为 超几何分布列 , 超几何分布列 则称随机变量X服从超几何分 布(hypergeome tric distributi on).
第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x 与p 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)1.离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1.类型一 离散型随机变量的分布列的性质的应用例1 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai (i ＝1,2,3,4)，求： (1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52.解 题中所给的分布列为由离散型随机变量分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，解得a ＝110.(1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})＝P (X ＝1)＋P (X ＝3) ＝110＋310＝25. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. 反思与感悟 1.本例利用方程的思想求出常数a 的值. 2.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列.试说明该同学的计算结果是否正确.(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0).解 (1)因为P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12＋14＋16＝1112，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确.(2)①由分布列的性质得，1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1， ∴q ＝1－22. ②P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 类型二 求离散型随机变量的分布列例2 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.解 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25， 从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为：反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.跟踪训练2 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列. 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中原有的白球的个数. (2)求随机变量ξ的分布列. (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6.可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球. (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.跟踪训练3 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只.(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率.(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列.解 (1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.X 的分布列为1.已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139 D.1310 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52等于( ) A.12 B.19 C.16 D.15 答案 D解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2.P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15. 3.将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________. 答案 0.75解析 P (0<X <3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝3) ＝1－123－123＝0.75.4.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列. 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P (ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；P (ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；P (ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；P (ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；P (ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.一、选择题1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A.1110B.155 C.110 D.55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.2.若随机变量X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 3.若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A.x ≤1 B.1≤x ≤2 C.1<x ≤2 D.1≤x <2答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2. 4.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得：ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5.已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C.[－3,3] D.[0,1]答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.二、填空题7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 答案 47解析 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 8.由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________. 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能值为________. 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1表示甲抢到1题但答错了， 若乙两题都答错，则甲获胜； 甲获胜还有以下可能：X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错. X ＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对. X ＝3时，甲抢到3题均答对.10.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________. 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .求这名运动员投中3分的概率.解 由题中条件知，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16.12.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列.解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}.由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以事件A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：13.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为。
2.1.2 离散型随机变量的分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：(2)表示：离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示． (3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②11=∑=ni ip2．两个特殊分布列 (1)两点分布列如果随机变量X 的分布列是P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝nNkn MN k M C C C --，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，称分布列如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．(3)公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N的推导由于事件{X ＝k }表示从含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有k 件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N 件产品中任取n 件．由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有nN C 个基本事件，而其中恰有k 件次品，则必有(n －k )件正品，因此事件{X ＝k }中含有kn M N k M C C --个基本事件，由古典概型的概率公式可知P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N.[知识点拨]1.离散型随机变量分布列表格形式的结构特征分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率． 2．两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知：P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝1.3．两点分布的适用范围(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． (2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．4．对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M ，N ，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．题型一、离散型随机变量的分布列例1、一袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.[解析] 随机变量X 的可能取值为3、4、5、6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33；事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 23；事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 24；事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.所以随机变量X 的分布列如下表：例[解析] 将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1、2、3、4、5、6.P (ξ＝1)＝136，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)、(2,1)、(2,2)，(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y .∴P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝14，P (ξ＝6)＝1136，∴ξ的分布列为例3、设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (13)k .(k ＝1,2，…，n )，求实数a 的值.[解析] 依题意，有P (ξ＝1)＝13a ，P (ξ＝2)＝(13)2a ，…，P (ξ＝n )＝(13)n a ，由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋…＋P (ξ＝n )＝1知，a (13＋132＋…＋13n )＝1.则a ·13(1－13n )1－13＝1.∴a ＝2×3n 3n －1.例4、(1)设随机变量X 的分布列P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.(2)设随机变量X 的概率分布列为，则P (|X －3|＝1)＝________.[答案] (1)37 (2)512题型三、两点分布例5、袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎨⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列.[解析] 由题设可知X 服从两点分布P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为例6η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解析] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎨⎧1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4.显然η只取0,1两个值．且P (η＝1)＝P (掷出点数小于4)＝36＝12，故η的分布列为题型四、超几何分布列例7、盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．(精确到0.001)[解析] ξ可能取的值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320≈0.491，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320≈0.421，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320≈0.084，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320≈0.004.∴ξ的分布列为箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．[解析] 由题意得X 取3、4、5、6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542；P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021；P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514；P (X ＝6)＝C 34C 39＝121. 所以X 的分布列为题型五、综合应用例9、已知A 盒中有2个红球和2个黑球；B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中同时各取出一个球再放入对方盒中.(1)求A 盒中有2个红球的概率；(2)求A 盒中红球数ξ的分布列．[解析] (1)A 盒与B 盒中各取出一个球来再放入对方盒中后，A 盒中还有2个红球有下面两种情况：①互换的是红球，将该事件记为A 1，则P (A 1)＝C 12·C 12C 14·C 15＝15. ②互换的是黑球，将该事件记为A 2，则P (A 2)＝C 12·C 13C 14·C 15＝310.故A 盒中有2个红球的概率为P ＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝12.(2)A 盒中红球数ξ的所有可能取值为1,2,3.而P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 14·C 15＝310；P (ξ＝2)＝12； P (ξ＝3)＝C 12·C 12C 14·C 15＝15，因而ξ的分布列为抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列．[解析] (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A －表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P (A )＝1－P (A －)＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)X 的所有可能值为0、1、2、3、4，且P (X ＝0)＝5C 26＝13；P (X ＝1)＝4C 26＝415；P (X ＝2)＝3C 26＝15；P (X ＝3)＝2C 26＝215；P (X ＝4)＝1C 26＝115.从而知X 的分布列为：用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列.[正解] ξ的所有可能取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝C 33C 312＝1220；P (ξ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220；P (ξ＝5)＝C 29C 13C 312＝2755；P (ξ＝6)＝C 39C 312＝2155.所以ξ的分布列为例12在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．[解析] (1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为课后作业1．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1、2、…，则P (2＜X ≤4)＝( )A ．316B ．14C ．116D ．516[答案] A[解析] P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316. 2．已知随机变量ξ的概率分布如下：则P (ξ＝10)＝( A ．239 B ．2310 C ．139D ．1310[答案] C[解析] P (ξ＝10)＝m ＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋239＝1－23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1391－13＝139.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i2a(i ＝1,2,3)，则P (ξ＝2)＝( )A ．19B ．16C ．13D ．14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a ＋22a ＋32a ＝1，∴62a ＝1，即a ＝3，∴P (ξ＝2)＝1a ＝13.4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] B[解析] 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，∴x ＝2或8. ∵次品率不超过40%，∴x ＝2， ∴次品率为210＝20%.5．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.[答案]1225[解析] c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225.6．已知离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k15，k ＝1、2、3、4、5，令Y ＝2X －2，则P (Y >0)＝________.[答案]1415[解析] 由已知Y 取值为0、2、4、6、8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415. 7．某学院为了调查本校学生2015年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.导学号 03960365(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0、1、2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：8．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A ．12B ．56C ．34D ．23[答案] B[解析] 由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P ＝3036＝56，故选B ．9．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______.[答案] 56[解析] 从10名同学中选出3名同学有C 310种不同选法，在3名同学中没有女同学的选法有C 36种，∴所求概率为P ＝1－C 36C 310＝56.10．某校2015～2016学年高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数.(1)请列出X 的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． [解析] (1)依题意得，随机变量X 服从超几何分布， ∵随机变量X 表示其中男生的人数，∴X 可能取的值为0,1,2,3,4.∴P (X ＝k )＝C k 6·C 4－k4C 410，k ＝0,1,2,3,4.∴X 的分布列为：(2)即P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (x ＝4)＝821＋114＝1942.11．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求： (1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215，P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310， P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.所以随机变量ξ的分布列为：。
数学高二-选修2教案 2.1.2离散型随机变量的分布列
2.1.2离散型随机变的分布列教学设计一、教学目标1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．二、教学重点 离散型随机变量的分布列的概念教学难点 求简单的离散型随机变量的分布列三、教学方法 讨论交流，探析归纳 四、教学过程 一）、复习引入1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值 或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.二）、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：三）、典例分析例1、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ． ∴ 7474)1(===n n P ξ，717)0(===n n P ξ，7272)1(==-=n n P ξ． 所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为说明：1、在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1． 2、求随机变量X 的分布列的步骤： （1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…； （2）求出相应的概率()i i P X x p ==； （3）列成表格的形式。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 离散型
随机变量的分布列课后知能检测 新人教A 版选修2-3
一、选择题
1．设随机变量X 的分布列如下，则下列各式中正确的是( )
A.P (X ＝1)＝0.1 C ．P (X ＜3)＝1
D ．P (X ＜0)＝0
【解析】 根据分布列知只有A 正确． 【答案】 A
2．设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量X 描述一次试验成功与否(记
X ＝0为试验失败，记X ＝1为试验成功)，则P (X ＝0)等于( )
A ．0 B.12 C.1
3
D.23
【解析】 设试验失败的概率为P ，则2P ＋P ＝1， ∴P ＝13.
【答案】 C
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用
X 表示4人中的团员人数，则p (X ＝3)＝( )
A.421
B.921
C.621
D.
521
【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 1
5C 410＝5
21.
【答案】 D
4．(2012·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1
2
k ，k ＝1,2，…，则
P (2<ξ≤4)等于( )
A.316
B.14
C.116
D.15
【解析】 2<ξ≤4时，ξ＝3,4.
∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝3
16.
【答案】 A
5．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 1
22C 1
4＋C 2
22
C 2
26
的是( ) A ．P (0＜ξ≤2) B ．P (ξ≤1) C ．P (ξ＝2)
D ．P (ξ＝1)
【解析】 由已知得ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 2
22C 226，P (ξ＝1)＝C 1
22·C 1
4C 226，P (ξ＝2)＝C 2
4
C 226.
∴P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 1
22·C 1
4＋C 2
22
C 2
26. 【答案】 B 二、填空题
6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．
【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
【答案】 0.3
7．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为
，则q 等于________．
【解析】 由分布列的性质知⎩⎪⎨
⎪⎧
1－2q ≥0，q 2
≥0，
12＋1－2q ＋q 2
＝1，
∴q ＝1－
22
. 【答案】 1－
22
8．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：
【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25. ∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题
9．某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，求X 的分布列．
【解】 由题意，结合两点分布可知随机变量X 的分布列为：
10.在83个，求取出的球中白球个数X 的分布列．
【解】 X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 1
6·C 2
2C 38＝3
28；
P (X ＝2)＝C 2
6·C 1
2C 38＝15
28；
P (X ＝3)＝C 3
6·C 0
2C 38＝5
14.
故X 的分布列为
11.(2013·日照高二检测4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
【解】(1)若胜一场，则其余为平，共有C14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C24C12＋C24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝4
31，P(X＝2)＝
18
31
，P(X＝3)＝
8
31
，P(X＝4)＝
1
31
，
所以X的分布列为。