2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供理科考生使用）
第I 卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
（1）复数的11
Z i =-模为
（A ）12 （B ）2
（C （D ）2 （2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x =<<=≤，则A B =
（A ）()01， （B ）(]02，
（C ）()1,2 （D ）(]12， （3）已知点()()1,3,4,1A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为
（A ）3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列
3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是递增数列 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列 其中的真命题为
（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p
（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，
数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.
若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
（A ）45 （B ）50
（C ）55 （D ）60
（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且a b >，则B ∠=
（A ）6π （B ）3
π （C ）23π （D ）56π （7）使得()3n x n N
+⎛∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小n 为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（8）执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S =
（A ）
511 （B ）1011
（C ）3655 （D ）7255
（9）已知点()()()
30,0,0,,,O A b B a a ，若ABC ∆为直角三角形，则必有 （A ）3b a = （B ）31b a a
=+ （C ）()3310b a b a a ⎛
⎫---= ⎪⎝⎭ （D ）3310b a b a a
-+--= （10）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若
34AB AC ==，，34AB AC ==，，,AB AC ⊥112AA =，则球O 的半径为
（A （B ） （C ）132 （D ）（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则
A B -=
（A ）2216a a -- （B ）2
216a a +- （C ）16- （D ）16 （12）设函数()f x 满足()()()2
2
2,28x e e x f x xf x f x '+==，则0x >时，()f x
（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值
（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体
的体积是 .
（14）已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a
的前n 项和，若 13a a ，是方程2
540x x -+=的两个根，则 6S = .
（15）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相较于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=，则C 的离心率e = . （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦ （I ）若.a b =求x 的值；
（II ）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值。

（18）（本小题满分12分）
如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点，
（I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（II ）若2AB AC PA ===，1，1，求二面角C PB A --的余弦值。

（19）（本小题满分12分）
现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
（I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
35，答对每道乙类题的概率都是45
，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.
（20）（本小题满分12分）
如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的
切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）。

当01x =时，切线MA 的斜率为1-
2。

（I ）求P 的值；
（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。

（,A B 重合于O 时，中点为O ）
（21）（本小题满分12分）
已知函数()()()3
21,12cos .2
x x f x x e g x ax x x -=+=+++，当[]0,1x ∈时 （I ）求证：()11-;1x f x x
≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

(22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 为O Θ的直径，直径CD 与O Θ相切于E 。

AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C EF ，垂直AB 于F ，连接,AE BE 。

证明：
（I ）;FEB CEB ∠=∠
（II ）2.EF AD BC =⋅
(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立坐标系.圆1C ，直线2C
的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-
= ⎪⎝⎭. （I ）求1C 于2C 交点的极坐标；
（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为 ()33,12
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求,a b 的值 (24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-，其中 1.a >
（I ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥--的解集；
（II ）已知关于x 的不等式()()222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值。