专题3：牛顿运动定律与连接体

牛顿运动定律与连接体【知识回顾】1、整体法与隔离法的应用条件：2、三角形法的应用技巧：3、正交分解法：【课程教学】一、连接体与隔离体两个或两个以上物体相连接组成的物体系统，称为连接体。

如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为隔离体。

二、外力和内力1.如果以物体系为研究对象，受到系统之外的作用力，这些力是系统受到的外力，而系统内各物体间的相互作用力为内力。

2.应用牛顿第二定律列方程不考虑内力。

如果把物体隔离出来作为研究对象，则这些内力将转换为隔离体的外力。

三、连接体问题的分析方法1．整体法连接体中的各物体如果加速度相同，求加速度时可以把连接体作为一个整体。

运用牛顿第二定律列方程求解。

2．隔离法如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体，对该物体应用牛顿第二定律求解，此法称为隔离法。

3．整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的。

本来单用隔离法就可以解决的连接体问题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题就更加方便。

如当系统中各物体有相同的加速度，求系统中某两物体间的相互作用力时，往往是先用整体法法求出加速度，再用隔离法法求物体受力。

四、简单连接体问题的分析方法1．连接体：两个（或两个以上）有相互作用的物体组成的具有相同大小加速度的整体。

2．“整体法”：把整个系统作为一个研究对象来分析（即当做一个质点来考虑）。

注意：此方法适用于系统中各部分物体的加速度大小方向相同情况。

3． “隔离法”：把系统中各个部分（或某一部分）隔离作为一个单独的研究对象来分析。

注意：此方法对于系统中各部分物体的加速度大小、方向相同或不相同情况均适用。

4． “整体法”和“隔离法”的选择求各部分加速度相同的连结体的加速度或合外力时，优选考虑“整体法”；如果还要求物体之间的作用力，再用“隔离法”，且一定是从要求作用力的那个作用面将物体进行隔离；如果连结体中各部分加速度不同，一般都是选用“隔离法”。

5． 若题中给出的物体运动状态（或过程）有多个，应对不同状态（或过程）用“整体法”或“隔离法”进行受力分析，再列方程求解。

【典例分析】类型一、“整体法”与“隔离法”例1. 如图所示，A 、B 两个滑块用短细线（长度可以忽略）相连放在斜面上，从静止开始共同下滑，经过0.5s ，细线自行断掉，求再经过1s ，两个滑块之间的距离。

已知：滑块A 的质量为3kg ，与斜面间的动摩擦因数是0.25；滑块B 的质量为2kg ，与斜面间的动摩擦因数是0.75；sin37°=0.6，cos37°=0.8。

斜面倾角θ=37°，斜面足够长，计算过程中取g =10m/s 2。

〖解析〗设A 、B 的质量分别为m 1、m 2，与斜面间动摩擦因数分别为μ1、μ2。

细线未断之前，以A 、B 整体为研究对象，设其加速度为a ，根据牛顿第二定律有（m 1+m 2）g sin θ-μ1m 1g cos θ-μ2m 2g cos θ=（m 1+m 2）a ，a =g sin θ-112212()cos m m g m m μμθ++=2.4m/s 2。

经0.5 s 细线自行断掉时的速度为v =at 1=1.2m/s 。

细线断掉后，以A 为研究对象，设其加速度为a 1，根据牛顿第二定律有：a 1=1111sin cos m g m g m θμθ-=g （sin θ-μ1cos θ）=4m/s 2。

滑块A 在t 2＝1 s 时间内的位移为x 1=vt 2+2122a t ，又以B 为研究对象，通过计算有m 2g sin θ=μ2m 2g cos θ，则a 2=0，即B 做匀速运动，它在t 2＝1 s 时间内的位移为x 2=vt 2，则两滑块之间的距离为Δx =x 1-x 2=vt 2+2122a t -vt 2=2122a t =2m 练习1、 如图用轻质杆连接的物体AB 沿斜面下滑，试分析在下列条件下，杆受到的力是拉力还是压力。

（1）斜面光滑；（2）斜面粗糙。

〖解析〗解决这个问题的最好方法是假设法。

即假定A、B间的杆不存在，此时同时释放A、B，若斜面光滑，A、B运动的加速度均为a=g sinθ，则以后的运动中A、B间的距离始终不变，此时若将杆再搭上，显然杆既不受拉力，也不受压力。

若斜面粗糙，A、B 单独运动时的加速度都可表示为：a=g sinθ-μg cosθ，显然，若a、b两物体与斜面间的动摩擦因数μA=μB，则有a A=a B，杆仍然不受力，若μA＞μB，则a A＜a B，A、B间的距离会缩短，搭上杆后，杆会受到压力，若μA＜μB，则a A＞a B杆便受到拉力。

〖答案〗（1）斜面光滑杆既不受拉力，也不受压力（2）斜面粗糙μA＞μB杆不受拉力，受压力斜面粗糙μA＜μB杆受拉力，不受压力类型二、“假设法”分析物体受力例2.在一正方形的小盒内装一圆球，盒与球一起沿倾角为θ的斜面下滑，如图所示，若不存在摩擦，当θ角增大时，下滑过程中圆球对方盒前壁压力T及对方盒底面的压力N将如何变化?（提示：令T不为零，用整体法和隔离法分析）（）A．N变小，T变大；B．N变小，T为零；C．N变小，T变小；D．N不变，T变大。

〖点拨〗物体间有没有相互作用，可以假设不存在，看其加速度的大小。

〖解析〗假设球与盒子分开各自下滑，则各自的加速度均为a=g sinθ，即“一样快”∴T=0，对球在垂直于斜面方向上：N=mg cosθ，∴N随θ增大而减小。

〖答案〗B练习2、如图所示，火车箱中有一倾角为30°的斜面，当火车以10m/s2的加速度沿水平方向向左运动时，斜面上的物体m还是与车箱相对静止，分析物体m所受的摩擦力的方向。

〖解析〗（1）方法一：m受三个力作用：重力mg，弹力N，静摩擦力的方向难以确定，我们可假定这个力不存在，那么如图，mg与N在水平方向只能产生大小F=mg tgθ的合力，此合力只能产生g tg30°=3g/3的加速度，小于题目给定的加速度，合力不足，故斜面对物体的静摩擦力沿斜面向下。

（2）方法二：如图，假定所受的静摩擦力沿斜面向上，用正交分解法有：N cos30°+f sin30°=mg ①N sin30°-f cos30°=ma ②①②联立得f=5（1-3）m N，为负值，说明f的方向与假定的方向相反，应是沿斜面向下。

〖答案〗静摩擦力沿斜面向下类型三、“整体法”和“隔离法”综合应用例3.如图所示，一内表面光滑的凹形球面小车，半径R=28.2cm，车内有一小球，当小车以恒定加速度向右运动时，小球沿凹形球面上升的最大高度为8.2cm，若小球的质量m=0.5kg，小车质量M=4.5kg，应用多大水平力推车?（水平面光滑）〖点拨〗整体法和隔离法的综合应用。

〖解析〗小球上升到最大高度后，小球与小车有相同的水平加速度a，以小球和车整体为研究对象，该整体在水平面上只受推力F的作用，则根据牛顿第二定律，有：F=（M+m）a①；以小球为研究对象，受力情况如图所示，则：F合=mg cotθ=ma②，而cotθ=22() R R hR h---③；由②③式得：a=10m/s2，将a代入①得：F=50N。

〖答案〗50N练习3、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有物体质量为m，当盘静止时，弹簧伸长了l，今向下拉盘使弹簧再伸长Δl后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚刚松开手时盘对物体的支持力等于（）A．（1+ll∆）（m+m0）gB．（1+ll∆）mgC．ll∆mgD ．ll （m +m 0）g〖解析〗题目描述主要有两个状态：（1）未用手拉时盘处于静止状态；（2）刚松手时盘处于向上加速状态。

对这两个状态分析即可：（1）过程一：当弹簧伸长l 静止时，对整体有：kl =（m +m 0）g ①（2）过程二：弹簧再伸长Δl 后静止（因向下拉力未知，故先不列式）。

（3）过程三：刚松手瞬间，由于盘和物体的惯性，在此瞬间可认为弹簧力不改变。

对整体有：k （l +Δl ）-（m +m 0）g =（m +m 0）a ②对m 有：N -mg =ma ③由①②③解得：N =（1+Δl /l ）mg 。

〖答案〗B练习4、 如图所示，两个质量相同的物体1和2紧靠在一起，放在光滑的水平桌面上，如果它们分别受到水平推力F 1和F 2作用，而且F 1＞F 2，则1施于2的作用力大小为（ ）A ．F 1B ．F 2C ．12（F 1+F 2）D ．12（F 1-F ）。

〖解析〗因两个物体同一方向以相同加速度运动，因此可把两个物体当作一个整体，这个整体受力如图所示，设每个物体质量为m ，则整体质量为2m 。

对整体：F 1-F 2=2ma ，∴a =（F 1-F 2）/2m 。

把1和2隔离，对2受力分析如图（也可以对1受力分析，列式）对2：N 2-F 2=ma ，∴N 2=ma +F 2=m （F 1-F 2）/2m +F 2=（F 1+F 2）/2。

〖答案〗C类型四、临界问题的处理方法例4. 如图所示，小车质量M 为2.0kg ，与水平地面阻力忽略不计，物体质量m =0.50kg ，物体与小车间的动摩擦因数为0.3，则：（1）小车在外力作用下以1.2m/s 2的加速度向右运动时，物体受摩擦力是多大？（2）欲使小车产生3.5m/s 2的加速度，给小车需要提供多大的水平推力？（3）若小车长L =1m ，静止小车在8.5N 水平推力作用下，物体由车的右端 向左滑动，滑离小车需多长时间？〖点拨〗本题考查连接体中的临界问题〖解析〗m 与M 间的最大静摩擦力F f =μmg =1.5N ，当m 与M 恰好相对滑动时的加速度为：F f =ma ，a ==m F 3m/s 2（1） 当a =1.2m/s 2时，m 未相对滑动，则F f =ma =0.6N（2） 当a =3.5m/s 2时，m 与M 相对滑动，则F f =ma =1.5N ，隔离M 有F-F f =MaF=F f +Ma =8.5N（3） 当F =8.5N 时，a 车=3.5m/s 2，a 物=3m/s 2，a 相对= a 车- a 物=0.5 m/s 2，由L =21a 相对t 2，得t =2s 。

〖答案〗（1）0.6N （2）8.5N （3）2s练习5、 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系一劲度系数为k 的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m 的小球，球被一垂直于斜面的挡板A 挡住，此时弹簧没有形变。

若手持挡板A 以加速度a （a ＜g sin θ）沿斜面匀加速下滑，求，（1）从挡板开始运动到球与挡板分离所经历的时间；（2）从挡板开始运动到球速达到最大，球所经过的最小路程。

〖解析〗（1）当球与挡板分离时，挡板对球的作用力为零，对球由牛顿第二定律得sin mg kx ma θ-=，则球做匀加速运动的位移为x =(sin )m g a k θ-。