高中数学两条直线的交点教时教案旧人教版
【新教材精创】2.3.1 两直线的交点坐标 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
2.3.1 两直线的交点坐标本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系多媒体核心素养目标一、情境导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、探究新知 两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,设这两条直线的交点为P ,则点P 既在直线l 1上,也在直线l 2上.所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x+B 1y+C 1=0,也满足直线l 2的方程A 2x+B 2y+C 2=0,即点P 的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.方程组的解一组无数组 无解 直线l 1和l 2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1和l 2的位置关系 相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解. 1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 解析:解方程组{x +y =5,x -y =3,得{x =4,y =1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 三、典例解析通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系， 精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3） 附件1 教学设计 方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程 复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。
高中数学两直线交点教案
高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。
2. 掌握求解两直线交点的方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 直线的方程形式。
2. 求解两直线交点的方法。
教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。
2. 将代数方法应用于实际问题。
教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。
Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。
2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。
3. 举例说明代数方法的具体步骤。
Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。
Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。
Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。
Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。
Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。
教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。
教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。
资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。
祝学生学习顺利！。
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
高中数学必修二教案-两条直线的交点坐标+两点间的距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 两直线的交点坐标阅读教材P 102～P 103“探究”以上部分，完成下列问题．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0)．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 【解析】 由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 【答案】 C教材整理2 两点间的距离阅读教材P 104“练习”以下至P 105“例3”以上部分，完成下列问题． 1．平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.已知点A (－1,2)，点B (2,6)，则线段AB 的长为__________． 【解析】 由两点间距离公式得|AB |＝＋2＋－2＝5.【答案】 5[小组合作型]两直线的交点问题直线l 过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直线3x－2y ＋4＝0平行，求直线l 的方程.【精彩点拨】 先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．【自主解答】 法一 联立方程⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，即直线l 过点(－1,3)．因为直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为y －3＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋9＝0.法二 因为直线x ＋y －2＝0不与3x －2y ＋4＝0平行，所以可设直线l 的方程为x －y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 整理得(1＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与直线3x －2y ＋4＝0平行，所以1＋λ3＝λ－1－2≠4－2λ4，解得λ＝15，所以直线l 的方程为65x －45y ＋185＝0，即3x －2y ＋9＝0.1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．2．过两条相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含直线l 2)．[再练一题]1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．【解】 法一 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.两点间距离公式的应用已知△ABC 的三个顶点坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【精彩点拨】 (1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC 的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解． 【自主解答】 (1)法一 ∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 且|AB |＝|AC |，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵k AC＝7－11－－＝32，k AB＝－3－13－－＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝＋2＋－2＝213，|AB|＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[再练一题]2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．【解】因为|AD|＝－2＋－2＝2 5.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝2 6.所以等腰△ABC的腰长为2 6.[探究共研型]坐标法的应用探究1 在如图331所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？图331【提示】设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC |＝b －2＋c －2＝b 2＋c 2.|BD |＝a －b －a2＋c －2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |.探究2 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【提示】 以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )，斜边BC 的中点为M ，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2. 由两点间距离公式得|BC |＝－b2＋c －2＝b 2＋c 2， |AM |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－c 22 ＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．【精彩点拨】 建立适当的坐标系―――――――→“形”化到“数”坐标表示A 、B 、C 、D 各点―→代数计算―――――――→“数”化到“形”几何关系 【自主解答】 以边BC 所在直线为x 轴，以D 为原点，建立坐标系，如图所示，设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．[再练一题]3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )A．5 B.37C.13 D．4【解析】|MN|＝＋2＋－2＝5.【答案】 A2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( ) A．6 B. 2C．2 D．不能确定【解析】 由k AB ＝1，得b －a1＝1，∴b －a ＝1. ∴|AB |＝－2＋b －a 2＝1＋1＝ 2. 【答案】 B3．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．【解析】 l 1与l 2相交，则有a 4≠36，∴a ≠2.【答案】 a ≠24．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________.【解析】 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 的中点为P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5.【答案】 2 55．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0；(2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.【解】 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行，∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即：2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即：2x ＋3y －5＝0.。
人教A版高中数学选择性必修一231两条直线的交点坐标 教学设计
第二章 直线和圆的方程2.3.1 两条直线的交点坐标（1课时）【教学内容】两条直线的交点坐标的求法；两条直线的位置关系（相交、平行、重合）的判定方法．【教学目标】1．理解并掌握用直线方程求两条相交直线的交点坐标的方法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，会用直线方程组的解和斜率两种方法判断两条直线的位置关系；3． 提高数形结合能力，初步感悟坐标法的运用，培养提高逻辑推理，数学运算和直观想象素养。
【教学重难点】教学重点：求两直线的交点坐标的方法、判断两条直线的位置关系的方法. 教学难点：判断两条直线的位置关系的方法.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）引言在初中平面几何中，我们对直线作定性研究。
通过前一阶段的学习，我们把几何图形放入平面直角坐标系中。
用坐标来表示点00(,)x y ，用二元一次方程0Ax By C ++=来表示直线，实现几何图形的代数化。
这样我们可以通过把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如两条直线的交点坐标。
（二）求解两条直线交点坐标问题1：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交，如何求得两条直线的交点坐标？因为两条直线相交，所以两条直线存在唯一交点，记为00(,)x y .也就是说，点00(,)x y 既在直线1l 上也在直线2l 上.因此，00(,)x y 同时满足两条直线方程。
即，00(,)x y 是方程组的唯一解。
反之，00(,)x y 是方程组的唯一解，说明00(,)x y 既在1l 上也在直线2l 上. 所以, 00(,)x y 是两条直线的唯一交点. 因此求两条直线的交点，只需联立方程组求解即可.联立方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，解得00,.x x y y =⎧⎨=⎩即，00(,)x y 就是两条直线的交点坐标.例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形.12:3420,:220.l x y l x y +-=++=解：（1）解方程组3420, 220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得2,2.x y =-⎧⎨=⎩. 所以，12l l 与交点坐标为(2,2)-. （如图）（三）二元一次方程组的解与两直线位置的对应关系问题2：如果两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行，能否判断对应方程组解的情况？两条直线平行说明两条直线没有公共点，即不存在点同时满足两条直线方程，所以方程组无解.反之亦然. 所以两条直线平行等价于对应方程组无解.问题3：如果两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=重合，能否判断对应方程组解的情况？两条直线重合等价于两条直线有无数个公共点，即存在无数个点同时满足两条直线方程，所以方程组有无数组解.梳理两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数的关系.如果相交，求出交点的坐标.（1）12:0,:33100l x y l x y -=+-=；（2）12:340;:6210l x y l x y -+=--=；（3）12:3450,:68100l x y l x y +-=+-=.(逐题讲解)解：（1）解方程组033100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得5353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 交点坐标为55(,)33.（2）解方程组3406210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，90,⨯=①2-② 得矛盾，方程组无解，所以，l 1与l 2无公共点， l 1∥l 2.（3）解方程组：345068100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，两方程为同一方程，即方程组有无数解，所以两条直线重合.追问1：题目改为只问“判断下列各对直线的位置关系”，你还有没有其他的判断方法？用斜率，对于斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.追问2：能否用直线斜率判断上述两对直线的位置关系？可以，但关注方程形式，我们所给的直线方程都是一般式.追问3：如何从直线方程的一般式中确定斜率？将两条直线方程化为斜截式,找x 的系数即为斜率.（1）将两条直线方程化为斜截式，直线1:l y x =，210:3l y x =-+直线1l 与直线2l 的斜率不等，12,l l 相交. （2）将两条直线方程化为斜截式，直线1:34l y x =+，21:33l y x =-直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距不等，12,l l 平行. （3）将两条直线方程化为斜截式，直线135:44l y x =-+，235:44l y x =-+直线1l 与直线2l 的斜率与截距均相等，因此两条直线重合.小结：用斜率判断两直线位置关系如果两直线斜率都不存在，就看截距：截距相同，则重合；不同则平行如果两直线一个的斜率不存在，另一个的斜率存在：则相交如果两直线斜率都存在，就先看斜率：斜率相同，则看截距，若截距不等则平行，若截距相等则重合问题4：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？用斜率能快速判断两条直线平行或相交。
两直线的交点坐标说课稿
两直线的交点坐标说课稿一、说教材本文是高中数学课程中的内容，主要讲述平面直角坐标系中两条直线交点坐标的求解方法。
这部分内容在数学课程中的作用和地位非常重要，它是解析几何基础中的基础，不仅与学生的日常生活密切相关，而且在高考中占有重要地位。
通过学习两直线的交点坐标，学生可以进一步理解坐标系的概念，掌握解析几何的基本方法，为后续学习曲线、方程等更复杂的概念打下坚实基础。
本文主要内容分为三个部分：第一部分是直线方程的一般形式，包括点斜式、截距式等；第二部分是直线方程组的建立及求解方法，特别是通过消元法求解两直线交点坐标；第三部分是实际应用，通过具体例子让学生了解两直线交点坐标在实际问题中的应用。
（1）直线方程的一般形式直线方程是解析几何的核心内容之一，通过点斜式、截距式等不同形式的直线方程，让学生从不同角度理解直线在坐标系中的表示方法。
（2）直线方程组的建立及求解这部分内容是本文的重点，通过建立直线方程组，运用消元法求解两直线交点坐标，让学生掌握解析几何的基本方法。
（3）实际应用将两直线交点坐标的求解应用于实际问题，让学生体会到数学知识在实际生活中的价值。
二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识与技能：（1）理解直线方程的各种形式，并能够熟练地互相转化；（2）掌握直线方程组的建立方法，能够运用消元法求解两直线交点坐标；（3）能够将两直线交点坐标的求解应用于实际问题，解决简单的几何问题。
2. 过程与方法：（1）通过自主探究、合作交流等方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（2）学会运用数学软件或工具进行坐标计算，提高计算速度和准确性。
3. 情感态度价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情；（2）让学生体会数学知识在实际生活中的应用，增强学习的积极性。
三、说教学重难点本文的教学重点是直线方程组的建立及求解方法，特别是消元法的运用。
教学难点在于如何让学生理解并熟练掌握消元法求解两直线交点坐标的过程，以及如何将所学知识应用于实际问题。
高中数学两直线相交教案
高中数学两直线相交教案
教学内容：两条直线的性质及相交情况
教学目标：学生能够理解两直线相交的概念，掌握两直线相交时的相关性质，并能够运用相关知识解决问题。
教学重点：两直线的相交情况、相交角的性质、解决相关问题。
教学难点：判断两直线相交情况、运用相关性质解题。
教学准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
教学过程：
一、引入课题
通过绘制两条相交直线，引导学生讨论两直线相交时可能出现的情况。
二、讲解两直线相交的情况
讲解两直线相交的情况，包括相交于一点、平行、重合等情况，并引导学生探讨各种情况下的性质。
三、介绍相交角的性质
讲解相交角的定义及基本性质，包括邻补角、对顶角等，并引导学生观察相交角的特点。
四、实例演练
给学生提供一些相关的实例题，让他们运用所学知识解决问题。
五、课堂练习
让学生自主解答一些相关问题，加深对知识的理解和掌握。
六、作业布置
布置相关作业，巩固学生学习成果。
七、课堂小结
对本节课的重点内容进行总结，并激励学生继续努力学习。