高中数学文科 直线与圆

1．直线的斜率

倾斜角：0180≤α?

⑴ 直线l 与x 轴平行或重合时，0α=?，tan00k =?=; ⑵ 当直线l 与x 轴垂直时，90α=?，k 不存在．

直线的斜率公式：21

21

y y k x x -=-， ()111P x y ，

，()222P x y ，为直线上两点． 2．直线方程

点斜式方程：00()y y k x x -=-； 斜截式方程：y kx b =+；

两点式方程：11

12122121()y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，；

截距式方程：1(0,0)x y

a b a b

+=≠≠；

一般式方程：0Ax By C ++=（A ，B 不全为零)，与直线一一对应． <教师备案>注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零． 3．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=； ⑴相交：12210A B A B -≠

⑵平行：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ⑶重合：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑷垂直：12120A A B B += 4．点到直线的距离公式

⑴点00()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离：002

2

Ax By C

d A B

++=

+，

⑵两条平行线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离：122

2

C C d A B

-=+．

知识点睛

11.1直线

直线与圆

考点：直线的方程

尖子班学案1

【铺1】 ⑴ 已知点()12P ，

，()13Q -，，则直线PQ 的斜率是________． ⑵ 直线350x y -+=的倾斜角是_____．

⑶ 直线5320x y 与两坐标轴围成的三角形面积 ．

【解析】 ⑴ 1

2

⑵ π3

⑶ 215

【例1】 ⑴ 倾斜角是直线3

2y x 倾斜角2倍的直线斜率等于 ．

⑵ 对于任意实数k ，直线(2)3y k x 必过一定点，则该定点坐标为 ． ⑶ 若三点(23)(3)(4)a b ，，，，，在同一直线上，则a b ，满足的关系为__________． ⑷ 直线6120ax y a （a 不等于0）在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，则a

．

⑸ 已知(01)P ，，

()00O ，,()10A ，为平面直角坐标系内的三点，若过点P 的直线l 与线段OA 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）

A ．π04，??????

B ．ππ42，??????

C ．π3π24，??????

D ．3ππ4，??

????

【解析】 ⑴ 3

⑵ (23)， ⑶ 23b a ⑷ 2 ⑸ C

目标班学案1

【拓2】 ⑴ 若0ab ，0ac ，则直线0ax by c 不经过第 象限．

⑵ 过点(12)A ，作直线l 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 的条数是 ．

⑶ 若直线20mx y ++=与线段AB 有交点，其中(23)(32)A B -，，，，求实数m 的取值范围．

【解析】 ⑴ 三．

⑵ 3

⑶ m 的范围为52m ≥或4

3

m -≤．

【例2】 ⑴ 若直线1:260l ax y ++=与()()

22:110l x a y a +-+-=平行，则a 的值是 ；

⑵ 以()13A ，

，()51B -，为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A ．380x y --= B ．340x y ++= C ．360x y -+= D ．320x y ++=

经典精讲

⑶ 过点(01)M ，作直线，使它被两已知直线1:3100l x y -+=，2:280l x y +-=所截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程．

【解析】 ⑴ 1

⑵ B

⑶440x y +-=．

目标班学案2

【拓2】 ⑴ 已知{()|(3)34}M x y m x y m ，=++=-，{()|7(5)80}N x y x m y ，=+--=，

且M N =?， 则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是___________． ⑵ 已知过点(11)A ，且斜率为(0)m m ->的直线l 与x y ，轴分别交于P Q ，

，过P Q ，作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R S ，，求四边形PRSQ 的面积的最小值．

【解析】 ⑴ 2

⑵ 3.6．

尖子班学案2

【铺1】 如图所示，在ABC ?中，顶点A B ，和内心I 的坐标分别为(91)A ，、(34)B ，、(41)I ，，求顶点C 的坐标．

【解析】 点C 坐标为(14)--，．

【例3】 已知三直线1l ：20(0)x y a a -+=＞，2l :4210x y -++=和3l :10x y +-=，且1l 与2l

的距离是

⑴ 求a 的值；

⑵ 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三条件：①P 是第一象限的点；②P 点到1l 的距离是

P 点到2l 距离的1

2

；③P 点到1l 的距离与P 点到3l

的距离之比是P 点

的坐标；若不能，说明理由．

【解析】 ⑴3a =．

⑵ 137918P ，?? ???

1. 圆的方程

标准方程：222()()x a y b r -+-=，()C a b ，为圆心，r 为半径： 一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->） <教师备案>⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零； ⑵没有xy 这样的二次项．

⑶表示以,2

2D E ??

-- ???为圆心，22142D E F +-为半径的圆．

2. 点与圆的位置关系

圆的标准方程()()22

2x a y b r -+-=，圆心()A a b ，，半径r ， 点()00M x y ，在圆上，则()()22

200x a y b r -+-=； 点()00M x y ，在圆外，则()()2

2

200x a y b r -+->；

点()00M x y ，在圆内，则()()2

2

200x a y b r -+-<；反之，也成立． 3．直线与圆的位置关系

如果圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，那么： ①若d r >，则直线与圆相离； ②若d r =，则直线与圆相切； ③若d r <，则直线与圆相交 4．圆与圆的位置关系

设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ， 外离：12r r d +< 外切：12r r d += 相交：1212r r d r r -<<+ 内切：12r r d -=()0d ≠ 内含：12r r d ->

考点：圆的方程

【例4】 ⑴ 已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程．

⑵ 过点()11A -，

与()11B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22

314x y ++-= C ．()()2

2

114x y +++= D ．()()2

2

114x y -+-=

⑶ 如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）．

A ．(11)-，

B ．(11)-，

C ．(10)-，

D ．(01)-，

【解析】 ⑴ 22(2)(3)13x y -++=． ⑵ D

经典精讲

知识点睛

11.2圆

⑶ D

尖子班学案3

【拓1】 已知ABC △三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角

形外接圆的方程．

【解析】 2221

43002

x y x y +-++=．

【例5】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问是否存在斜率为1的直线l ，其被圆C 截得弦AB ，且以

AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

【解析】 10x y -+=或40x y --=．

【例6】 已知圆221:2610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直

线方程及公共弦长．

【解析】 3460x y -+=，

24

5

．

【备选】 求与已知圆227100x y y +-+=相交，所得公共弦平行于已知直线2310x y --=且过点

(23)-，、(14)，的圆的方程． 【解析】

22210210x y x y ++-+=．

【备选】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．

⑴ 证明直线l 与圆相交；

⑵ 当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．

【解析】 ⑴ 将直线l 的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=，由40270x y x y +-=??+-=?解得3

1x y =??=?

．

即直线l 过定点(31)A ，，因为22(31)(12)525-+-=<，所以A 在圆C 的内部．

故直线l 恒与圆相交． ⑵ 250x y --=．

【备选】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点，且在两坐标轴上的四个截距

之和为8-的圆的方程． 【解析】

2244170x y x y +++-=．

【例7】 ⑴ 若()x y ，满足关系式22414450x y x y +--+=，则3

2

y x -+的最大值为 ；

⑵ 若()x y ，满足()2

211x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围为_____． 【解析】 ⑴ 23 ⑵

)

1+∞，

已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线:l y kx =，且l 与圆C 相交于P Q 、两点，点(0)M b ，，且MP MQ ⊥．

⑴ 当1b =时，求k 的值；⑵ 当()12b ∈，

时，求k 的取值范围． 【解析】 ⑴ 圆22:(1)(1)1C x y -+-=，当1b =时，点(0)M b ，在圆C 上，

当且仅当直线l 经过圆心C 时，满足MP MQ ⊥．

∵圆心C 的坐标为(11)，

，∴1k =． ⑵ 由22

,(1)(1) 1.y kx x y =??-+-=?

消去y 得22

(1)2(1)10k x k x +-++=．① 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴1222(1)1k x x k ++=+，12

2

1

1x x k =+． ∵MP MQ ⊥，∴0MP MQ ?=．

∴1122(,)(,)0x y b x y b -?-=，即1212()()0x x y b y b +--=． ∵11y kx =，22y kx =，

∴1212()()0x x kx b kx b +--=，即221212(1)()0k x x kb x x b +-++=．

∴2

222

12(1)(1)011k k kb b k k ++?

-?+=++，即222(1)111k k b b k b b ++==++． 当()12b ∈，

时，1522b b ??

+∈ ???

，， ∴22(1)5

212k k k ++＜

＜． 即22

2(1)2(1+),

52(1+)<(1).2

k k k k k k ?+?

?+?

?＞得1k k >??∈?R 由①式得22[2(1)]4(1)0k k =+-+>Δ，解得0k >． ∴1k >．

（2011年南京理工大学自主招生）

已知圆O ：221x y +=，直线:4l x y +=．过l 上一点P 作圆O 的切线，则当切线长最短时，P 点的坐标为 ．

【解析】 ()22，

如图，切线长2221PA PO OA PO =-=-，

所以当切线长最短时，线段PO 也最短， 所以当直线OP l ⊥时，切线长最短，

此时，1OP k =，即()22P ，．

大千世界

B

A

P

O

y

x