人教A版数学高二同角三角函数的基本关系精选试卷练习(含答案)6

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专题47 高中数学同角三角函数的基本关系(解析版)

专题47 同角三角函数的基本关系1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π2，k ∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．3．同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (2)商的变形：sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.题型一直接应用同角三角函数关系求值1．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.[解析]因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. [解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－55. 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.[解析]因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－255.5．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512.又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－513.6．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是[解析]因为α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513，所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.7．已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________.[解析]因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.8．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝ [解析]由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，得cos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝24.9．已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.10．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.11．已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.[解析]cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.12．若cos α＝23，则tan αsin α＝( )[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝56.13．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．[解析]因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为________．[解析]因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.15．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 16．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝[解析]因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.17．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.[解析]∵sin A ＝45>0，∴A 为锐角或钝角．当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6.当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝⎛⎭⎫－35－7＝－34.18．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝[解析]由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π3.19．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ [解析]∵sin x ＋cos x ＝3－12，且x ∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x ＝1－32，∴2sin x cos x ＝－32<0，∴x 为钝角，∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1＋32，结合已知解得sin x ＝32，cos x ＝－12，则tan x ＝sin xcos x ＝－ 3.20．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α等于[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝45，所以cos α－2sin α＝－25.21．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.题型二灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)1．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③sin2α－2sin αcos α＋1;④34sin 2α＋12cos 2α. [解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.③原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. ④原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.2．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解析]因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135.3．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是[解析]因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43.4．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为________．[解析]2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.5．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．[解析]易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.6．已知sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，则tan α＝____________．[解析]由sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，得tan α＋25－tan α＝516，解之得tan α＝－13.7．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝________．[解析]由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝3tan α－12tan α＋3＝89.8．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． [解析]∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，∴tan α＝－13或tan α＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－13，∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 9．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.[解析]∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θcos 2θsin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2，∴原式＝－2(－2)2＋1＝－25.10．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析]4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1. 11．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解析]由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.12．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝[解析]1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.13．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________． [解析]因为tan α＋1tan α＝3，所以sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，所以sin αcos α＝13.14．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.[解析]法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，①，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169，整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.15．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为 [解析]tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.16．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.[解析]由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，求：(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α.[解析] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝75. (3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝15×3725＝37125.2．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．[解析]∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θcos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ 1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.3．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－32.4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为[解析]因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝ [解析]由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.6．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．[解析] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225<0.因为0<A <π，⎩⎨⎧sin A >0cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925.又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值． [解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310，所以1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103.(2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.8．已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2 θcos 2 θ－2sin θcos θ的值．[解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝15，①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以2sin θcos θ＝－2425<0，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，所以sin θ－cos θ＝75，②由①②得，sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)法一：由(1)知sin θ＝45，cos θ＝－35，所以sin 2θcos 2 θ－2sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫－352－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝1633.法二：由(1)得tan θ＝－43，所以原式＝tan 2 θ1－2tan θ＝⎝⎛⎭⎫－4321－2×⎝⎛⎭⎫－43＝1633.9．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，① 因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－34m <0②，sin αcos α＝2m ＋18>0③.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1，即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109.因为m 1＝2不满足条件①，舍去；因为m 2＝－109不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m 不存在．题型四应用同角三角函数关系式化简1．化简1－sin 23π5的结果是( )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5[解析]因为3π5是第二象限角，所以cos 3π5＜0，所以1－sin 23π5＝cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5. 2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α[解析]由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，s i n α＞0，故B 正确． 3．化简2sin 2α－11－2cos 2α＝________.[解析]原式＝2sin 2α－11－2(1－sin 2α)＝2sin 2α－12sin 2α－1＝1.4．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α[解析]⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.[答案] A5．化简sin 760°1－cos 2 40°；[解析]sin 760°1－cos 2 40°＝sin （2×360°＋40°）sin 2 40°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. 6．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°；[解析]原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.7．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________．[解析]因为sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α，又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限，当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.综上所述，原式＝0.8．化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角．[解析] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α. 9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是 [解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 10．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.[解析]原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1. 11．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 [解析]sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.12．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于[解析]∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α)＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. 13．化简1－2sin1cos1的结果为( )A ．sin1－cos1B ．cos1－sin1C ．sin1＋cos1D ．－sin1－cos1[解析]易知sin1>cos1，所以1－2sin1cos1＝(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A.14．⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan xB ．sin xC ．cos xD.1tan x[解析]原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 15．化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α.[解析]原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αcos αsin α＝（sin 2α＋cos 2α）2sin αcos α＝1sin αcos α.16．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为[解析]由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 17．已知f (tan x )＝1cos 2x，则f (－3)＝________. [解析]因为f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.18．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.[解析]因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α（－cos α）1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.19．化简11＋tan 220°的结果是________．[解析]11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 20．化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．[解析]∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.21．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)[解析]原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α－sin α＝－1.22．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( )A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10°[解析] [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.23．化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解析]因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 24．化简下列各式：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解析] (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α. 25．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.[解析]sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.26．化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.[解析]解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23.解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 27．化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2θ.[解析] (1)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝sin α|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.28．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，且1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos αcos α＝4，则sin α－cos α2sin α＋cos α＝________. [解析]∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴1＋2sin αcos α＝|sin α＋cos α|， 1－2sin αcos α＝|sin α－cos α|.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0. 由题意，得(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)cos α＝4，∴sin α＝2cos α.∴sin α－cos α2sin α＋cos α＝2cos α－cos α4cos α＋cos α＝15.29．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2. [解析]原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α2＞0，所以上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.30．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )A ．第二、三、四象限角B ．第一、二、三象限角C ．第一、二、四象限角D ．第一、三、四象限角[解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C. 31．若β∈[0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤π，3π2D.⎣⎡⎭⎫3π2，2π [解析]∵1－cos 2β＋1－sin 2β＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈⎣⎡⎦⎤π2，π.故选B.32．已知sin α＝13，求1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）的值．[解析]1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）＝（sin α－cos α）2（2cos 2α－sin 2α－cos 2α）（1－tan α）＝（cos α－sin α）2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（1－tan α）＝cos α－sin α（cos α＋sin α）（1－tan α）＝1－tan α（1＋tan α）（1－tan α）＝11＋tan α，当角α是第一象限角时，cos α＝223，tan α＝sin αcos α＝24，所以原式＝11＋24＝8－227；当角α是第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－24，所以原式＝11－24＝8＋227.33．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，所以sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝32. (3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.题型五应用同角三角函数关系式证明1．下列等式中恒成立的个数为( )①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析]①②③都正确，故选C. 2．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[解析]sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 3．求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.[解析]1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α. 4．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. [解析]左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解析]法一：(切化弦)左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α.因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，所以原等式成立． 6．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.[解析]证法一：∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x .∴左边＝右边，原式成立．7．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.[解析] (1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2 α(sin α＋cos α)2－1＝(sin 2 α＋2sin α＋1)－(1－sin 2 α)sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α－1＝2sin 2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(s i n 2 θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1 ＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立． 8．若3π2<α<2π，求证：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.[解析]∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin 2α＋(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．9．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan (720°＋2x )1＋tan (360°＋2x ).[解析] 法一：右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2xcos 2x 1＋sin 2x cos 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 22x ＋sin 22x －2cos 2x sin 2xcos 22x －sin 22x ＝1－2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝左边．所以原等式成立．法二：左边＝sin 22x ＋cos 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2xcos 2x ＋sin 2x .右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2x cos 2x 1＋sin 2x cos 2x ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x .所以原等式成立.10．求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1＋tan αtan α－1.[解析]左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝右边．所以原式成立．11．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. [解析]因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.。

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.3 同角三角函数的基本关系(2)

为( C )
A．－
3 2
B．±
3 2
C．－
5 2
D．±
5 2
解析：∵A为三角形的一个内角，且sinAcosA＝－18，
∴A为钝角．∴cosA－sinA<0.
∴cosA－sinA＝－ cosA－sinA2
＝－ sin2A＋cos2A－2sinAcosA＝－
1＋14＝－
5 2.
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
16 5
.
解析：tan2xsin2x＝tan2x(1－cos2x)＝tan2x－tan2xcos2x＝tan2x－ sin2x＝156.
11．若0<α<π2，则 α
果是 2cos2 .
1－2sinα2cosα2＋
1＋2sinα2cosα2的化简结
解析：由0<α<2π，得0<α2<4π，
所以0<sinα2<cosα2.
故原式＝ sinα2－cosα22＋＝cosα2－sinα2＋sinα2＋cosα2
sinα2＋cosα22
＝2cosα2.
三、解答题(共25分) 12．(12分)已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)34ssiinnαα＋－5ccoossαα； (2)sin2α－4co2ss2inαα－co3ssαin－2αcos2α； (3)34sin2α＋12cos2α.
－
sinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2αsinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2α
sinαco－s2cαosα＝ssinin2αα－－ccoossα2α＝sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．

高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。

2022人教版高中数学必修四课时提升作业(五) 1.2.2 同角三角函数的基本关系

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课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin α=√55，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-15B.-35C.15D.35【解析】选B.由于sin α=√55，所以cos 2α=1-sin 2α=45，则原式=15-45=-35.【延长探究】本题条件下，求sin 4α-cos 4α的值. 【解析】由sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α =-35.2.(2021·福建高考)若sin α=-513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.-125C.512D.-512【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sin α=-513，且α为第四象限角可知cos α=1213，故tan α=sinαcosα=-512.3.(2021·葫芦岛高一检测)已知α是其次象限角，cos α=-13，则3sin α+tan α=( )A.-√2B.√2C.-1D.0 【解析】选D.由于cos α=-13，α是其次象限角，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−13)2=2√23. 所以tan α=sinαcosα=2√23−13=-2√2.所以3sin α+tan α=3×2√23-2√2=0. 4.(2021·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tan θ=-34，则sin θ- cos θ=( )A.15B.75C.-15D.-75【解析】选D.由已知得{sinθcosθ=−34,sin 2θ+cos 2θ=1,所以(−34cosθ)2+cos 2θ=1，cos 2θ=1625，又角θ为第四象限角，所以cos θ=45.所以sin θ=-34cos θ=-34×45=-35. 所以sin θ-cos θ=-35-45=-75.5.已知sin α-cos α=-√52，则tan α+1tanα的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.由于sin αcos α=1−(sinα−cosα)22=-18，所以tan α+1tanα=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·北京高一检测)已知α是其次象限的角，且sin α=513，则cos α=________.【解析】由于α是其次象限的角，且sin α=513，所以cos α=-√1−sin 2α=-√1−(513)2=-1213.答案：-12137.若sin θ=k+1k−3，cos θ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________.【解析】由于sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1，所以k 2+6k-7=0，所以k 1=1或k 2=-7.当k=1时，cos θ不符合，舍去. 当k=-7时，sin θ=35，cos θ=45，tan θ=34.答案：348.已知sinx=3cosx ，则sinxcosx 的值是________. 【解析】将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得9cos 2x+cos 2x=1，即cos 2x=110，所以sin 2x=1-cos 2x=910，由于sinx 与cosx 同号，所以sinxcosx>0，则sinxcosx=√sin 2xcos 2x =310.答案：310三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(2021·武汉高一检测)已知tan 2α1+2tanα=13，α∈(π2,π). (1)求tan α的值. (2)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值.【解析】(1)由tan 2α1+2tanα=13，得3tan 2α-2tan α-1=0，即(3tan α+1)(tan α-1)=0，解得tan α=-13或tan α=1.由于α∈(π2,π)，所以tan α<0，所以tan α=-13.(2)由(1)，得tan α=-13，所以sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516.【延长探究】本例条件下，计算sin 2α+sin αcos α的值.【解析】sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=(−13)2+(−13)(−13)2+1=-15.10.求证：3-2cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1.【证明】右边=3(tan 2α+1)−2tan 2α+1=3-2tan 2α+1=3-2sin 2αcos 2α+1=3-2cos 2αsin 2α+cos 2α=3-2cos 2α=左边，所以原式得证. 【一题多解】左边=3(sin 2α+cos 2α)−2cos 2αsin 2α+cos 2α=3sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1=右边，所以原式得证.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14B.12C.1D.32【解析】选C.原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.【补偿训练】若sin α+sin 2α=1，则cos 2α+cos 4α等于________.【解析】由于sin α+sin 2α=1，sin 2α+cos 2α=1，所以sin α=cos 2α，所以cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1. 答案：12.(2021·宣城高一检测)已知sin θ=2cos θ，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( )A.-43B.54C.-34D.45【解题指南】关于sin θ，cos θ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值. 【解析】选D.由于sin θ=2cos θ，所以tan θ=sinθcosθ=2， sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−2tan 2θ+1=22+2−222+1=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2021·龙岩高一检测)化简：α为其次象限角，则cosα√1+tan 2α+√1+sinα1−sinα-√1−sinα1+sinα=__________.【解析】原式=cosα√1+2cos 2α+√(1+sinα)21−sin 2α-√(1−sinα)21−sin 2α=cosα·√1cos 2α+|1+sinαcosα|-|1−sinαcosα|.又由于α为其次象限角，所以cos α<0，1+sin α>0，1-sin α>0，所以原式=1cosα·1−cosα-1+sinαcosα-(−1−sinαcosα)=-1-1+sinαcosα+1−sinαcosα=-1+−2sinαcosα=-1-2tan α.答案：-1-2tan α 【补偿训练】√1−2sin70°cos70°sin70°−√1−sin 270°=________.【解析】原式=√sin 270°+cos 270°−2sin70°cos70°sin70°−√cos 270°=√(sin70°−cos70°)2sin70°−|cos70°|=|sin70°−cos70°|sin70°−|cos70°|由于sin 70°>cos 70°>0，所以原式=sin70°−cos70°sin70°−cos70°=1.答案：14.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________. 【解析】设直角三角形中的该锐角为β，由于方程4x 2-2(m+1)x+m=0中， Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根. 又由于sin β+cos β=m+12，sin βcos β=m4，所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1，得1+2·m4=(m+12)2，解得m=±√3.当m=√3时，sin β+cos β=√3+12>0，sin β·cos β=√34>0，满足题意，当m=-√3时，sin β+cos β=1−√32<0，这与β是锐角冲突，舍去. 综上，m=√3. 答案：√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2021·盐城高一检测)已知sin α+cos α=12(0<α<π)，(1)求sin αcos α.(2)求sin α-cos α.【解析】(1)平方得1+2sin αcos α=14，所以sin αcos α=-38.(2)由(1)式知sin αcos α<0，0<α<π，所以π2<α<π，所以sin α-cos α>0，由于(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=74，所以sin α-cos α=√72.【补偿训练】在△ABC 中，sinA+cosA=15，求(1)sinA ·cosA. (2)tanA. 【解析】(1)由于sinA+cosA=15，所以(sinA+cosA)2=125，即1+2sinAcosA=125，所以sinAcosA=-1225.(2)由于sinA+cosA=15，①A ∈(0，π)，所以A ∈(π2,π)，所以sinA-cosA>0，又由于(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA =1-2×(−1225)=4925，所以sinA-cosA=75②联立①②解得，sinA=45，cosA=-35，所以tanA=sinAcosA=45−35=-43.6.已知sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1.【证明】由sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，得sinθtanθ=asinφbtanφ，即acos φ=bcos θ，而asin φ=sin θ，得a 2=b 2cos 2θ+sin 2θ，即a 2=b 2cos 2θ+1-cos 2θ，得cos 2θ=a 2−1b 2−1，而θ为锐角，所以cos θ=√a 2−1b 2−1.关闭Word 文档返回原板块。

人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件第5章三角函数章末核心素养整合

=2sin(x+ + )+2sin - =-2sin - +2sin - =0.

(方法二)原式=sin xcos +cos xsin +2sin x·cos -2cos xsin

− cos cos x- sin sin x

=sin x+ cos x+sin x- cos x+ cos x-sin x=0.

D.先向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长

到原来的 2 倍,纵坐标不变
答案:A
解析:由题图知 A=1,最小正周期

T= −

-
=π,

所以 ω= =2.所以 y=sin(2x+φ).

又图象过点 , ,

由“五点法”知 +φ=π,所以 φ=.所以 y=sin + .
f(α)=
.
(-)(--)
(1)化简 f(α);
(2)若 cos

=

,求

f(α)的值;
(3)若 α=-1 920°,求 f(α)的值.
解:(1)由题意,利用三角函数的诱导公式,
[-(+)]
-
化简得 f(α)=
=
=cos
-[-(+)]

所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+] (k∈Z).

三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐

三角函数的定义专题关键词：三角函数的定义终边弧长公式扇形面积同角的基本关系学习目标：理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断（1）终边相同的角（2）对称关系的角（3）满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。

但既有联系，又有区别。

定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)

1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。

高考数学(人教a版,理科)题库：同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )．A．1＋ 5 B．1－ 5C．1± 5 D．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案－14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解法一由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

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人教A 版数学高二同角三角函数的基本关系精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知2απ<<,1sin cos 5αα+=,则2cos sin αα-（）A ．57- B ．75- C ．107 D ．107-2．若cos sin 5αα-=，则sin 2α=（） A ．725-B ．15-C ．15D ．7253．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin cos 3αα-=，则sin()αβ-=（）A ．13 B ．13-C ．16-D ．34．若cos 2sin αα+=则tan α=（） A ．12-B ．2C ．12D ．-25．已知2tan θ＝，则222sin sin cos cos θθθθ＋－等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．956．若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=( )A ．43-B ．34-C ．34D ．437．已知cos sin 4αα-=，则sin 2α的值为（） A ．18B ．18-C ．78D ．78-8．已知tan 3α=-,α是第二象限角，则sin()2πα+=（）A ．10-B ．10-C ．5D 9．已知()1sin cos ? 0? 2αααπ+=∈，，，则1tan 1tan αα-=+（）A ． BCD ．10的结果为A ．1-B ．1C ．3-D ．311．已知()()sin 2,2ππθπθθ+=-<，则cos2θ为（）A ．12-B ．C ．12D 12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =-上，则sin 2θ=A ．45-B ．35- C ．35 D ．45 13．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（） A ．4-B ．3-C ．12D ．3414．若tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 2sin sin cos cos 21ααααα=+--（） A ．45-B ．45C ．35-D ．3515．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．2516．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan2α=（） A ．724 B ．724-C ．247D ．247-17．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能18．α是第四象限角， 12cos 13α=，则sin α等于 ( ) A ．513 B ．513-C ．512D ．512-19．已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．725B ．925C ．1625D ．242520．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-21．已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+（）A ．15-B ．15C ．54-D ．5422．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．B ．C D23．已知(,)2παπ∈，且sin cos αα+=，则cos2=α （）A B ．C D ． 24．已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（） A ．14 B ．12 C ．14- D ．12-25．已知向量(cos sin )a θθ=r ，, (3,1)b r =,若//a br r , 则sin cos θθ=（） A ．310-B ．310C ．13D ．326．已知1sin 3α=，则tan α=（）A ．4 B ．4-C ．44-D ．33-27．若sin cos 4sin 5cos αααα+=-，则cos2=α（）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．72528．sin120︒的值为A ．2B ．－1C D ．－229．已知α为锐角，且441sin cos 3αα-=，则tan α=（）A ．2BC ．2D ．30．已知4cos 5α=-，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．17- B ．17C ．7-D ．7二、填空题31．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= __________. 32．已知三角形ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB 的长为__________. 33．已知4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα<<，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 34．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.35．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.36．已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________. 37．已知函数f(x)=sinx-cosx 且f ′(x)=2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则1+sin 2x cos 2x−sin2x=____.38．已知α为锐角，cos 5α=，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．39．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=，则cos α=__________．40．已知cot m α=（02πα-<<），则cos α=________.（用m 表示）三、解答题41．已知0απ<<，cos α= （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin 21cos 2αα+的值42．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=，sin A =，且0BA AC ⋅>u u u r u u u r . （1）求sin sin BC；（2）若2a =，求ABC ∆的面积. 43．己知α，β为钝角，且3sin 5α=，3cos 25β=-. （1）求tan β的值：（2）求cos()αβ+的值.44．（1）计算21log 323log 3log 4lg0.012+⋅+-；（2）已知121tan α=-，求11sin cos αα+的值；45．已知tan 2α=，求（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 46．已知4tan 3α=，且α是第三象限角，求sin α，cos α. 47．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α,5sin α－4cos α)，α∈3(,2)2ππ，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ()23απ+的值． 48．已知tan 2α= (1)求3sin 2cos sin cos αααα+-的值;(2)求()()()()π3πcos πcos sin 22sin 3πsin πcos παααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值; 49．(1)已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值.50．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c−b a=cosBcosA ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设a =2√2，b =3，求sin (2B −A )的值．参考答案1．D2．A3．B4．B5．D6．D7．C8．A9．A10．B11．A12．A13．B14．A15．D16．C17．B18．B19．B20．A21．A22．B23．A24．C25．B26．C27．A28．C29．B30．B31．64 2532．33．5034．1035．7 536．3 4 -37．-19538．1 7 -39．4 540．41．（1）12；（2）12.42．（1）3；（2）3.43．（1）-2；（2）25-44．（1）112；（2）5745．（1）611（2）7546．43 sin,c5os5αα=-=-47．（1）－43（248．（1）8；（2）1 2 -49．（1）35-；（2）5750．（Ⅰ）π3；（Ⅱ）11√3+3√1532或11√3−3√1532。