2015山东高考理科数学 带答案
2015年高考真题：理科数学(山东卷)试卷(含答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<= ,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+= ，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z a x y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π (D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 . 解析：“[0,],t a n 4xx mπ∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+1112sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤，故ABC ∆. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC∆,H是BC的中点，则TH//DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====((B C F H则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222x yz-=⎪⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2(1,1n=，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 .（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++ . 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b =⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =2211||||||36221414m m S AB d k k∆==⋅⋅⋅=++ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则2||614m S k ∆==+(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。
2015年高考理科数学山东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A （）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<，()2,3A B =I ，答案选C ．【提示】求出集合A ，然后求出两个集合的交集． 【考点】解一元二次不等式，集合间的运算． 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=，1i z =-，答案选A ．【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位，答案选B ．【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【考点】三角函数的图象及其变换． 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒，2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ，答案选D ．【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求．【考点】向量的运算． 5.【答案】A【解析】1x <时，1(5)42x x ---=-<成立 当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<解得4x <；当5x ≥，1(5)42x x ---=<不成立，综上4x <，答案选A ．【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当1x <，②当15x ≤<，③当5x ≥，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【考点】绝对值符号和分类讨论的思想． 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时有最大值+14a =，3a =，不满足10a -<≤；当10a -≤-<，即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =，3a =，不满足01a <≤；当1a -<-时，即1a >时在2x =，0y =时有最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的问题． 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ，答案选C ． 【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【考点】空间几何体体积的计算． 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，答案选B ． 【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=，(66)95.44%P ξ-<<=， 可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，即可得出结论． 【考点】正态分布．9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-，设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-，即230kx y k ---=，则1d ==，|5+5|k =解得43k =-或34-，答案选D ．【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-，可设反射光线所在直线的方程为：+3(2)y k x =-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【考点】直线与圆的位置关系． 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选C ． 【提示】讨论()1f a ≥时，以及1a <，1a ≥，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【考点】函数的定义域．第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是：012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【考点】排列组合的运算． 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则πtan 14m ≥=，于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【考点】三角函数的运算和命题真假．数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当3n =时不满足条件3n <，退出循环，输出T 的值为116．【考点】程序框图． 14.【答案】32-【解析】当1a >时，10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩，无解；当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得2b =-，12a =，则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【考点】指数函数的定义域和值域的应用． 15.【答案】32【解析】1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222pb p a pb aa kb -==，即2254b a =，22222+94c a b a a ==，32c e a ==． 【提示】求出A 的坐标，可得22244AC b a k ab-=，利用OAB 的垂心为C 2的焦点，可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由此可求C 1的离心率． 【考点】双曲线的离心率． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（Ⅰ）由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z ，得ππππ+44k x k -≤≤，k ∈Z ，则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z ，得π3ππ+π+44k x k ≤≤，k ∈Z ，则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （Ⅱ）在锐角ABC △中，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 2A =，π,6A =而1a =，由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=，当且仅当b c =时等号成立．即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△，故ABC △ 【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-，由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间，由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得sinA ，cos A ，由余弦定理可得：bc ≤且当b c =时等号成立，从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式． 17.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）60︒【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点O ．在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ∥，则DF GC ∥， 所以四边形DGCF 是平行四边形，O 是DC 的中点，DG FC ∥．又在BDC △中，H 是BC 的中点，则OH DB ∥，又BD FGH ⊄平面，OH FGH ⊂平面， 故BD FGH ∥平面．第17题图1（Ⅱ）由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，则,GB AC ⊥ 于是GD ，GB ，GC 两两垂直，以点为G 坐标原点，GA，GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系，如图2，2AB =，1DE CF ==，AC =，AG =B，(C ，(F ，22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ， 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =，则21y =，2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小为60︒．数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）第17题图2【提示】（Ⅰ）根据2AB DE =便可得到2BC EF =，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ∥，便有BE FGH ∥平面，再证明DE FGH ∥平面，从而得到BDE FGH 平面∥平面，从而BD FGH ∥平面；（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】（Ⅰ）13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，n *∈N（Ⅱ）1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N 【解析】（Ⅰ）由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥，而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N ．（Ⅱ）由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①－②得，223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N ． 【提示】（Ⅰ）利用23+3n n S =，可求得13a =；当1n >时，1123+3n n S --=，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，31113log 313n n n n b n ---==-g ，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=（，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【考点】等比数列的通项公式，数列前n 项和的问题． 19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为：0，1-，1，当0X =时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即38C ； 当1X =-时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即24C ；当1X =时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即24C ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即1144C C ． 则3839C 2(0)C 3P X ===，2439C 1(1)C 14P X =-==，1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ，0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯．【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1-，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【考点】排列与组合的有关问题．20.【答案】（Ⅰ）22+14x y =（Ⅱ）（ⅰ）2（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为，可知c e a ==，而222+a b c =，则2a b =，c =，左，右焦点分别是1(,)F 0，2,0)F ，圆1:F 22()+9x y =，圆2:F 22()+1x y =，有两圆相交可得24<<，即12<<，交点⎛，在椭圆C 上，则224134b b =g ，整理得4245+10b b -=，解得21b =，214b =（舍去）． 故21b =，24a =，椭圆C 的方程22+14x y =．数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为22+1164x y =，设点P 00(,)x y 满足22+14x y =，射线PO ：000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==．（ⅱ）点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立．而直线+y kx m =与椭圆C ：222+14xy =有交点P ，则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即224|+|4x kx m +=，222(14)+8+440k x kmx m +-=有解， 其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥，即221+4k m ≥，则上述228+2m k =不成立，等号不成立，设(]0,1t ，则ABQ S =△(]0,1为增函数， 于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（ⅰ）设P 00(,)x y ，||||OQ OP λ=，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ⅱ）将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ △的面积为3S ，即可得到所求的最大值．【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）01a ≤≤【解析】（1）2()ln(+1)+()f x x a x x =-，定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时，()1g x =，1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a ≥>时，0∆≤，()0g x ≥，'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 若89a >时，0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12,x x <且121+2x x =-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>()f x 单调递增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 因此此时函数()f x 有两个极值点；若0a <时，0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 只有一个极值点．综上所述：当809a ≥≥时()f x 无极值点；当0a <时()f x 只有一个极值点；当89a >时()f x 有两个极值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当809a ≥≥时，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >，符合题意； 当819a ≥≥时，(0)0g ≥，20x ≤，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >符合题意；当1a >时，(0)0g <，20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,+)x ∈∞时，1'()101+1+xh x x x=-=>，()h x 在(0,+)∞单调递增，因此当(0,+)x ∈∞时，()(0)h x h >=，ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-，当11x a>-时，2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意．综上所述：a 的取值范围是01a ≤≤【提示】（Ⅰ）函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-，其中a ∈R ，(1)x ∈-+∞，．212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=．令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得：（1）当0a =时，此时()0f x '>，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当0a >时，(98)a a =-△．①当809a ≥>时，0≤△，②当89a >时，0>△，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当0a <时，0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当809a ≥≥时，可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出． （2）当819a ≥>1时，由(0)0g ≥，可得20x ≤，函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（3）当1a <时，由(0)0g <，可得20x >，利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性，即可判断出；（4）当0a <时，设()ln(+1)h x x x =-，(0,+)x ∈∞，研究其单调性，即可判断出【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
2015年山东高考数学(理科)试题详细解答
2015年山东高考数学（理科）试题详细解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则AB =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x AB =-+<=<<=,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π (D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .解析：“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+1112sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤，故ABC ∆. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC∆,H是BC的中点，则TH//DB，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====((B C F H则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222x yz-=⎪⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2(1,1n=，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60.（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++. 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b =⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =2211||||||36221414m m S AB d k k∆==⋅⋅⋅=++ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则2||614m S k ∆==+(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。
2015年高考理科数学山东卷-答案
【解析】 ，需将函数 的图象向右平移 个单位，答案选B．
【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【考点】三角函数的图象及其变换．
4.【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ， 可知 ，
，答案选D．
【提示】根据 代入可求．
【考点】向量的运算．
5.【答案】A
【解析】 时， 成立
当 时， 解得 ；
第6题图
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【考点】线性规划的问题．
7.【答案】C
【解析】 ，答案选C．
【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【考点】空间几何体体积的计算．
8.【答案】B
【解析】 ，答案选B．
【提示】由题意 ， ，
当 ， 不成立，综上 ，答案选A．
【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当 ，②当 ，③当 ，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【考点】绝对值符号和分类讨论的思想．
6.【答案】B
【解析】由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时有最大值0，不符合题意；当 ，即 时有最大值 ， ，不满足 ；当 ，即 时在 时有最大值 ， ，不满足 ；当 时，即 时在 ， 时有最大值 ， ，满足 ，答案选B．
（Ⅱ）由 ，可得 ， ，由余弦定理可得： ，且当 时等号成立，从而可求 ，从而得解．
【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式．
17.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接 ， ，设 与 交于点 ．
在三棱台 中， ，则 ，
而 是 的中点， ，则 ，
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，则z =（） （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+（3）【（A （4）【，则= （A （5）【 （A （6）【（A （7）【ABCD绕（A （8）【其2,)σ，则(P （A （9）【（A （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2[,1]3（B ）[0,1]（C ）2[,)3+∞（D ）[1,)+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=．（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为． （14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos (f x x x x π=-+．（17）【AB 45，求平面（18）【2S （19）【”10（20）【0)b >>的（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（）（A ）()1,3（B ）()1,4（C ）()2,3（D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【（A （3）【（A 12（4）【60，则= （A D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知BAD ∠2223()()cos120BD CD AD AB AB AB AD AB a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-+=，故选（5）【 （A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞（C ）(1,4)（D ）(1,5)（6）【（A ）3（B ）2（C ）-2（D ）-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，故选B ．（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） （A ）4.56%（B ）13.59%（C ）27.18%（D ）31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线（A 【答案】【解析】30k -=，（10）【（A ）2[3【答案】（11）【010305077C C C C C C ++【答案】14n -【解析】1012121212121211(2222)n n n n n n n C C C C C -------++=++++（12）【】若“[0,],tan x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -2:2(0)C x py p =>的焦点(0,p，则22222pb pa ak pb -==，即225b =，222229c a b +==，32c a ==． （16）【解：．（17）【AB （Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点， ,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=⎨⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =，121cos ,2n n <>==，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n解：13n -++，2n -+++（19）【（本小题满分是一个三位正整数，且”10解：11420(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值． 解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y ++=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =（舍去）， 故21b =，24a =，椭圆C 的方程为221xy +=．（Ⅱ）， 12=，当（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．另解：此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立． 故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需0a ≥； 当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立， 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+，三是凭即可。
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2015年山东省高考理科数学)
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4； 当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)； 当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ． 综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ， 可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ． 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ． 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)， 故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量， 则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)， 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ． 因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22， 由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点； 当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减； 所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0， 即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ， 当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0， 此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。
2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A（）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．利用OAB的垂心为数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）∥平面．故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）21+1+29 / 14数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）11 / 14数学试卷第34页（共42页）数学试卷第35页（共42页）数学试卷第36页（共42页）13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)(7)【2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中，ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 .将梯形 ABCD(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出,经y 轴反射与圆(x3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为 ( )/八5亠 33亠 254 4亠 3(A )一或一(B ) -或(C )—或一(D )—或3 5234 53 4(10)【2015年山东，理 10】设函数 f(x)3x 1,x 2 ,x 1 !,则满足 1. f(f(a))2f(a)的取值范围是()、选择题：本大题共 【2015年山东，理(A ) 1,3 (1) 10小题，每小题5分，在(C ) 2,3((D )) 2,4(2) 【2015年山东，理 2】若复数z 满足 —i ，其中i 是虚数单位，则1 i(3) (4) (5) (6) (A) 1 i (B) 1 i (C ) 1 i (D)【2015年山东，理 3】要得到函数y(A )向左平移个单位(B )12【2015年山东，理 3 2(A) 尹【2015年山东，理 (A) ( ,4)【2015年山东，理 (A) 34】5】6】已知菱形 (B)Sin (4X3)的图象，只sin 4x 的图像 向右平移 个单位(C )向左平移一个单位(D )向右平移12 3ABCD 的边长为 a , ABC 60°，则????????( 3 2 a 4 个单位3(C ) 不等式|x 1| |x 5| (B ) ( ,1)已知x,y 满足约束条件 (B) 22的解集是3 2a 4)(1,4))3 2(D ) -a (C ) 02若z ax y 的最大值为 (C ) -2(D ) (1,5) 4,则(D) -3(A )—4(B )(C ) 5333(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布(D) 2N(0,32)，从中随机取一件, 服从正态分布N (2)，则P()68.26%, P( 2 2 ) 95.44%)(A) 4.56% (B) 13.59% (C ) 27.18% (D) 31.74%绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 其长度误差落在区间3,6内的概率为( )(附：若随机变量第II卷(共100 分) :■、填空题：本大题共5小题，每小题5分(11)【2015年山东，理11】观察下列各式：照此规律，当n N*时，C 20n 1c 2n 1c ；n43；(14) __________________________________________________________________________________________【2015年山东，理14】已知函数f(x) a x b (a 0,a 1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b _________________________2 2(15) 【2015年山东，理15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 G :笃 爲1(a 0,b 0)的渐近线与抛物线a bC2：x 2py(p 0)交于点O,A,B ，若 OAB 的垂心为G 的焦点，贝U G 的离心率为 _______________ .三、解答题：本大题共 6题，共75分.(16)【2015年山东，理16】(本小题满分12分)设f (x) sin xcosx cos (x ).4(I)求f(x)的单调区间；A(n)在锐角ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若f( ) 0,a 1，求 ABC 面积.2(17) 【2015年山东，理17】(本小题满分12分)如图，在三棱台 DEF ABC 中，AB 2DE,G,H 分别为AC, BC 的中点.(I)求证：BD//平面FGH ;2 3 74 C•‘2 52 7 14 c CO4';1G1G1GO1O 3 O 50 7 L c c c c L(12) 【2015年山东，理 (13) 【2015年山东，理12】右 “ x [0, _],tan x413】执行右边的程序框图,m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ________n 1C 2n 1(n)若CF 平面ABC, AB BC,CF DE, BAC 45o，求平面FGH 与平面ACFD所成角(锐角)的大小.(18) 【2015年山东，理18】(本小题满分12分)设数列｛a.｝的前n项和为S n，已知3n 3 .(I)求数列｛a n｝的通项公式；(H)若数列｛b n｝满足a n b n log3耳，求数列也｝的前n项和「.(19) 【2015年山东，理19】(本小题满分12分)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为三位递增数”(如137, 359, 567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除,参加者得0 分；若能被 5 整除,但不能被10 整除,得-1 分；若能被10 整除,得 1 分.(I)写出所有个位数字是5的三位递增数”；(H)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX .2 2(20) 【2015年山东，理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:笃厶1(a b 0)的a b离心率为_!，左、右焦点分别是F I,F2,以F l为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相2交，交点在椭圆C 上.(I)求椭圆C的方程；2 2(n)设椭圆E：二笃1, P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，4 a2 4b2射线PO交椭圆E于点Q •⑴求|OQ-I的值；(ii)求ABQ面积最大值.|OP|(21)【2015年山东，理21】(本题满分14分)设函数f(x) ln(x 1) a(x2x)，其中a R .(I)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(H)若x 0，f(x) 0成立，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第I 卷(共50 分)【答案】Bx y 0(4)【2015年山东，理 4】已知菱形 ABC D 的边长为a ,ABC 60'，则？？??•？??？()3 2 (A ) ^a (B ) 3 2 a 43 2 (C ) — a43 2(D)〒【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ,AB C 60o 可知 BAD 18C f 60o 120o ,uu uiur uur BD CD (AD uuu uu iuu u A uiu r AD uur 2 AB a acos12C °2 a -a 2，故选D . 2 (5)【2015年山东，理 5】不等式|x 1| |x 5| 2的解集是( )(A ) ( ,4) (B )( ,1)(C ) (1,4)(D ) (1,5) 【答案】A【解析】当x 1时，1x (5 x)4 2成立； 当1 x5 时，x 1 (5x) 2x 62，解得 x 4，则【解析】y sin4(x —)，只需将函数y sin4x 的图像向右平移一个单位，故选 B .12 121 x 4 ;当 x 5 时，x 1(x 5) 4 2不成立.综上x4，故选A .」、选择题：本大题共 (1)【2015年山东，， (A ) 1,3 【答案】C 【解析】A {x|x 2 4x (2)【2015年山东,(A ) 1 i 【答案】A 【解析】z (1 i)i(3)【2015年山东, (A )向左平移10小题，每小题5分，在4x 30} , B{x|2 x( (D)) 2,43 0} {x|1 x 3} , AI B (2,3)，故选 C .2】 i 2 i理3】 若复数z 满足zi ，其中 1 ii 是虚数单位，则 (B) 1(C )1 i(D)要得到函数i ,故选A .Sin(4x3)的图象，只需将函数sin 4x 的图像个单位(B )向右平移—个单位(C )向左平移—个单位(D )向右平移1212—个单位3x y 2若z ax y 的最大值为4,则a y 0即0 a 1时在x y 1时有最大值a 1 4,a 3，不满足0 a 1 ;当a时有最大值2a 4,a2，满足a 1,故选B .(7)【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC - , AD//BC , BC 2AD 2AB 2 2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(6)【2015年山东，理6】已知x,y 满足约束条件 (A ) 3 ( B ) 2【答案】B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当(C ) -2(D) -3a 1，即 a1时在x y 0时有最大值0,不符合题y 1时有最大值a1 4,a 3，不满足 1 a 0；当 1 1,即a 1时在x 2,y 0将梯形ABCDa 1，即1 a 0时在x(12)【2015年山东，理12】若“ x [0,—],tanx m ”是真命题，贝U 实数m 的最小值为 _________4【答案】1【解析】“ x [0,-],ta nx m "是真命题，则 m tan 1，于是实数m 的最小值为1.2(A ) 3 (B) 43 (C )5【答案】C1 【解析】V 12 2 -12 1 5 ，故选 C .3 3(8)【2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布 其长度误差落在区间3,6内的概率为() (附： 若随机变量P()68.26%, P( 22 )95.44%)(A ) 4.56%(B ) 13.59%(C ) 27.18%(D) 21【解析】P(36) -(95.44% 68.26%) 13.59%，故选 D .(9)【2015年山东，理9】一条光线从点(2, 3)射出，经y 轴反射与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线 所在的直线的斜率为( )(A )5十3一或 一 (B )2 54 (C )-或 4(D )-或-3 5234 53 4【答案】D【解析】( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3), 设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2),即 kx y 2k 3 0 ,则 d1 3k2 仝 3|1,|5k 5|k 2 1 , 解得k4或- 故选D ..k 2 13 4(10)【2015年山东, 理10】设函数f(x)3x x 1,x 1 1则满足 f(f(a)) 2心) 的取值范围是()2 ,x 1.(A ) [|,1] (B ) [0,1](C ) 12 ) ■3,)(D ) [1,) 【答案】C【解析】由f(f(a))2f(a)可知f (a) 1，则aa1或 a 1 ，解得a 2 故选C .2 13a 1 13第II 卷(共100 分):■、填空题：本大题共 5小题，每小题5分 (11)【2015年山东，理11】观察下列各式：2 3 7 4 0・ 5 52 7 4CC o4';1G1a1G o 1O 30 50 7 CCCC照此规律，当n N*时，C 2『 34 ；C 2n 1 C 2n 1—n 1L C 2n 1【解析】C 2n 1 C 2n 1 CL L1 02 (2C 2n 12[(C2n 1 Cj ；) (C2n 1 C 2n 2)C2n 1 丿1厂0 1 —2 亠n 1 (C 2n 1 C2n 1 C2n 1 LC2n 1 2(C 2n 1。
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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1） 已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=
（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）
（2）若复数Z 满足1Z i i
=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i
（3）要得到函数y=sin （4x-3
π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12
π个单位 （C ）向左平移
3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 （4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则·＝
（A ）- （B ）- （C ） （D ）
（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是
（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）
（6）已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=
（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3
（7）在梯形ABCD 中，ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（A ） （B ） （C ） （D ）2
（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²）），则P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%
（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（A ）或（B 或
（C ）或（D ）或
（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a 取值范围是（）
（A ）[,1]（B ）[0,1]
（C ）[（D ）[1, +
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C 10=40
……
照此规律，当n ∈N 时，
C 02n-1 + C 12n-1 + C 22n-1 +…+ C n-12n-1 = .
(12)若“∀x ∈[0,
4
π]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 . （13）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
(14)已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和
值域都是[]1,0- ，则a b +=
（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22122
x y a b -=
（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C 2：
X 2=2py(p>0)交于O ，若▷OAB 的垂心为C2的焦点，则C 1的离心率为 ＿＿＿
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）
设f （x ）=sin cos cos x x -2（x+4
π）. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角◁ABC 中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f （2
A ）=0,a=1,求▷ABC 面积的最大值。
(17)(本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC 中，
AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE, ∠BAC=045 ,
求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.
（18）（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2n S =3n +3.
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足23=log n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .
（19）（本小题满分12分）
若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百
位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽
取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.
（I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
（20）（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线
交椭圆 于两
点，射线 交椭圆 于点 .
( i )求的值；
（ii ）求△面积的最大值.
(21)(本小题满分14分) 设函数2()=(+1)+(-)f x In x x x α，其中R α∈。
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若χ∀>0，()χf 0≥成立，求α的取值范围。