浙大概率论与数理统计课件 概率1-6独立性
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概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
概率论与数理统计课件1-6
(1)三个航班都满座的概率 ；
P( ABC ) = P( A)P(B)P(C ) = 0.432 (2)至少有一个航班是满座 的概率；
P( A + B + C ) = 1 − P( A)P(B )P(C ) = 0.992
(3)仅有一个航班是满座的 概率.
P( ABC + ABC + ABC ) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC ) = P( A)P(B )P(C )+ P( A)P(B)P(C ) + P( A)P(B )P(C ) = 0.116
§6 独 立 性
设A,B是试验E的两事件,当P(A)>0, 可以定义P(B|A). 一般地, P(B|A)≠P(B), 表示A的发生对B有影响. 如果P(B|A)=P(B),表示A的发生对B没有影响,此时
P( AB) = P( A)P(B A) = P( A)P(B)
例1 抛甲、乙两枚硬币, A为甲币出现H, B为乙币 出现H,则有
2 A = φ或B = φ
此时A与B既独立又互斥
(3)若A, B独立,则 P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A)P(B)
或 P( A ∪ B) = 1 − P( A)P(B)
P( A − B) = P( AB) = P( A)P(B)
例2 设A, B独立， P( A) = 0.3, P(B) = 0.2,求P( A − B), P( A ∪ B), P(B | A ∪ B).
例5 设有6个元件, 每个元件的可靠性均为p (正常工作的概率), 按如下两种方式组成系统, 试比 较两个系统的可靠性.
系统一:
A1
P( ABC ) = P( A)P(B)P(C ) = 0.432 (2)至少有一个航班是满座 的概率；
P( A + B + C ) = 1 − P( A)P(B )P(C ) = 0.992
(3)仅有一个航班是满座的 概率.
P( ABC + ABC + ABC ) = P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC ) = P( A)P(B )P(C )+ P( A)P(B)P(C ) + P( A)P(B )P(C ) = 0.116
§6 独 立 性
设A,B是试验E的两事件,当P(A)>0, 可以定义P(B|A). 一般地, P(B|A)≠P(B), 表示A的发生对B有影响. 如果P(B|A)=P(B),表示A的发生对B没有影响,此时
P( AB) = P( A)P(B A) = P( A)P(B)
例1 抛甲、乙两枚硬币, A为甲币出现H, B为乙币 出现H,则有
2 A = φ或B = φ
此时A与B既独立又互斥
(3)若A, B独立,则 P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A)P(B)
或 P( A ∪ B) = 1 − P( A)P(B)
P( A − B) = P( AB) = P( A)P(B)
例2 设A, B独立， P( A) = 0.3, P(B) = 0.2,求P( A − B), P( A ∪ B), P(B | A ∪ B).
例5 设有6个元件, 每个元件的可靠性均为p (正常工作的概率), 按如下两种方式组成系统, 试比 较两个系统的可靠性.
系统一:
A1
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
ppt课件
9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
ppt课件
27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
ppt课件
47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计第六节 独立性.ppt6(最新版)
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
例 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6， 乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目
标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标
3 n
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 共C 个
n n
则称A1 , A2 , An相互独立。
特别地,当n=3时，
1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) ） 2）P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) 3）P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 4）P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则
P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立. 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两 事件是否独立. 例如: 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.
大纲要求 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概 率，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率、条件概率的定义，掌握概率的 基本性质，会计算古典概型的概率； 3、掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用 全概率公式和贝叶斯公式； 4、理解事件独立性的概念，掌握应用事件独 立性进行概率计算； 5、理解独立重复试验的概率，掌握计算有关 事件概率的方法。
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
例 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6， 乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目
标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标
3 n
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 共C 个
n n
则称A1 , A2 , An相互独立。
特别地,当n=3时，
1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) ） 2）P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) 3）P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 4）P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则
P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立. 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两 事件是否独立. 例如: 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.
大纲要求 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概 率，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率、条件概率的定义，掌握概率的 基本性质，会计算古典概型的概率； 3、掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用 全概率公式和贝叶斯公式； 4、理解事件独立性的概念，掌握应用事件独 立性进行概率计算； 5、理解独立重复试验的概率，掌握计算有关 事件概率的方法。
浙江大学《概率论与数理统计》第1章
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
概率论与数理统计(事件的独立性)
P(B)P(C P( A)P(C
) )
1
4 1
4
, ,
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略) 【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是 红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红 黄蓝三色的，其余43个是无色的．现从中任取一 个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、 有黄色的、有蓝色的事件．
当A，B之一为Ф时，
P(AB) = P(A)P(B)与Ａ∩B ＝ Ф同时成立，即独立
与互不相容并存．
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互不相容 AB
有必然联系
1.6.1 事件的独立性
【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各 对事件也相互独立： A与 B，B与 A ，A 与 B
可以认为诸Ai是相互独立的，从而诸Ai 也是相互独
立的，且 P( Ai ) 1 0.004 0.996,
则要求的概率为
100
100
P( Ai ) 1 P( Ai )
i1
i1
100
1 P( Ai ) 1 0.996100 0.33
i 1
1.6.1 事件的独立性
例如 掷n枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品等， 都是n重独立重复试验．
1.6.1 试验的独立性
在重伯努利试验中，若事件A在每次试验中发 生的概率均为P(A) = p，(0 < p < 1)，那么,事件A发 生k (k=1,2,…,n)次的概率pk是多少呢?
概率论与数理统计-第1章-第6讲-事件的独立性
有放回抽样 P(B | A) 72 P(B)
100 这就是说,已知事件A发生, 并不影响事件B发生的概率, 这时称 事件A、B相互独立.
3
01 事件独立性的定义 根据乘法公式P(AB) P(A)P(B A) P(B A) P(B) 等价于 P(AB) P(A)P(B) 因此，我们有如下的定义.
证明 事件A 与B 相互独立，有 P( AB) P( A)P(B) 仅证事件A与B 相互独立， 其他可类似证明. 由于 AB B AB，AB B 所以 P( AB) P(B) P( AB) P(B) P( A)P(B)
1 P( A) P(B) P( A)P(B)
因而 事件A与B 相互独立.
定义 设A,B为两事件，若 P( AB) P( A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立
4
01 事件独立性的定义
性质
（1）若P( A) 0, P(B) 0, 则P(B) P(B A), P( A) P( A B). （2）若A与B 相互独立，则A 与B, A 与B, A 与B 也相互独立.
重点：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计 算.
17
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
P( AC | A B) P[ AC( A B)] P(A B)
P( AC ABC)
P( AC)
P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( AB)
P( A)P(C)
1
P( A) P(B) P( A)P(B) 3
9
01 事件独立性的定义
2.有限个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
定义 对于三个事件A、B、C，若
100 这就是说,已知事件A发生, 并不影响事件B发生的概率, 这时称 事件A、B相互独立.
3
01 事件独立性的定义 根据乘法公式P(AB) P(A)P(B A) P(B A) P(B) 等价于 P(AB) P(A)P(B) 因此，我们有如下的定义.
证明 事件A 与B 相互独立，有 P( AB) P( A)P(B) 仅证事件A与B 相互独立， 其他可类似证明. 由于 AB B AB，AB B 所以 P( AB) P(B) P( AB) P(B) P( A)P(B)
1 P( A) P(B) P( A)P(B)
因而 事件A与B 相互独立.
定义 设A,B为两事件，若 P( AB) P( A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立
4
01 事件独立性的定义
性质
（1）若P( A) 0, P(B) 0, 则P(B) P(B A), P( A) P( A B). （2）若A与B 相互独立，则A 与B, A 与B, A 与B 也相互独立.
重点：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计 算.
17
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
P( AC | A B) P[ AC( A B)] P(A B)
P( AC ABC)
P( AC)
P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( AB)
P( A)P(C)
1
P( A) P(B) P( A)P(B) 3
9
01 事件独立性的定义
2.有限个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
定义 对于三个事件A、B、C，若
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由甲批中取出的一粒种子出苗 解 设A B 由乙批中取出的一粒种子出苗
概率论
则事件 A、B 相互独立 , 且事件"两粒种子都出苗 " 表示为 : AB , " 恰好有一粒出苗" 表示为 : A B AB , "至少有一粒种子出苗 " 表示为 : A B .
1 P AB P AP B 0.8 0.9 0.72 ; 2 P A B AB P A B P AB P A P B P AP B 0.2 0.9 0.8 0.1 0.26 . 3 P A B P A P B P AB P A P B P A P B
PH2
1 2 3 C 96C 4 C4 , PH 3 3 , 3 C 100 C 100
概率论
P A | H 0 0.99 , P A | H 1 0.99 0.05 ,
3 2
P A | H 2 0.990.05 , P A | H 3 0.05 .
概率论
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)
P AB P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
概率论
解2: P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见 P(A)= P(A|B), 由定理1知事件A、B独立.
概率论
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立. 例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 .
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
不一定成立 .
概率论
例如 S 1 , 2 , 3 , 4 , A 1 , 2 , B 1 , 3 ,
1 C 1 , 4 , 则 P A P B P C , 并且 , 2 1 P AB P AP B , 4 1 P AC P A P C , 4 1 P BC P B P C . 4 即事件 A、B、C 两两独立 . 1 . 但是 P ABC P AP B P C 4
击中它 ,问至少需要多少门高射炮 ? 解 设 Ak 第 k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机 ,
k 1,2 , 则 Ak 之间相互独立, 且 P Ak 0.6 , 于是
1 P A1 A2 1 P A1 A2 1 P A1 A2
概率论
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥.
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明 仅证A与 B 独立
概率的性质 A、B独立
P(A )= P(A - A B) B
相互独立 两两独立
?
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
概率论
例1 有甲、乙两批种子，出 苗率分别为0.8 和 0.9 , 现从这两批种子中各任 取一粒 , 求 1 两粒种子都出苗的概率 ;
2 恰好有一粒种子 出苗的概率 ; 3 至少有一粒种子出苗的概率 .
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
A A1 A2 A3 A4 .
L
1 3
2 4
R
概率论
由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独 立性，得到
P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p, p 1 , 例4 2 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？ 设各局胜负相互独立。
概率论
解：设Ai 第i局甲胜 P Ai p, i 1,2,,5
再设A 甲胜 1 三局二胜制：
P A P A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 p 2 2 p 2 1 p p1
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
概率论
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受 到第一次 抽取的影响.
的 k 1 k n , 和任意的1 i1 i2 ik n 有等式
P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
2 3
所以这批乐器被接收的 概率为: P A P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1
P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3
3 2 1 C 96 C 96C 4 3 2 3 0.99 3 0.99 0.05 C 100 C100 3 1 2 C4 3 C 96C 4 2 3 0.05 0.8629 . 0.99 0.05 3 C 100 C 100
0.8 0.9 0.8 0.9 0.98 . 或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.98 .
概率论
例 2 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器 接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每 一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为 通路的概率。 解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器 接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
2 五局三胜制： P A P A1 A2 A3 前三次有一次输 A4 前四次有两次输 A5
1 2 p 3 C3 1 p p 3 C4 1 p p 3 p2 2
2 P2 P 3P 2 P 1 2 P 1 1
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
此定义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意
概率论
第六节
独立性
两个事件的独立性
多个事件的独立性
独立性的概念在计算概率中的应用
小结
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 显然 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立.
p p , 当p 1 1 2 2 p2 p1 , 当p 1 2
概率论
例52 设有两门高射炮 , 每一门击中飞机的概率都 例
是 0.6 , 求下列事件的概率:
1同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少 ? 2 若有一架敌机入侵领空 , 欲以 99%以上的概率
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
或
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
两事件是否独立可由定义或通过计算条件 概率来判断:
概率论
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解1:由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, 故 事件A、B独立. P(AB)=P(A)P(B)
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A
概率论
则事件 A、B 相互独立 , 且事件"两粒种子都出苗 " 表示为 : AB , " 恰好有一粒出苗" 表示为 : A B AB , "至少有一粒种子出苗 " 表示为 : A B .
1 P AB P AP B 0.8 0.9 0.72 ; 2 P A B AB P A B P AB P A P B P AP B 0.2 0.9 0.8 0.1 0.26 . 3 P A B P A P B P AB P A P B P A P B
PH2
1 2 3 C 96C 4 C4 , PH 3 3 , 3 C 100 C 100
概率论
P A | H 0 0.99 , P A | H 1 0.99 0.05 ,
3 2
P A | H 2 0.990.05 , P A | H 3 0.05 .
概率论
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)
P AB P A B P B
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约.
概率论
解2: P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见 P(A)= P(A|B), 由定理1知事件A、B独立.
概率论
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立. 例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 .
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时 , 等式 P ABC P AP B P C
不一定成立 .
概率论
例如 S 1 , 2 , 3 , 4 , A 1 , 2 , B 1 , 3 ,
1 C 1 , 4 , 则 P A P B P C , 并且 , 2 1 P AB P AP B , 4 1 P AC P A P C , 4 1 P BC P B P C . 4 即事件 A、B、C 两两独立 . 1 . 但是 P ABC P AP B P C 4
击中它 ,问至少需要多少门高射炮 ? 解 设 Ak 第 k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机 ,
k 1,2 , 则 Ak 之间相互独立, 且 P Ak 0.6 , 于是
1 P A1 A2 1 P A1 A2 1 P A1 A2
概率论
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥.
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则 A 与B, A与B , A 与B 也相互独立. 证明 仅证A与 B 独立
概率的性质 A、B独立
P(A )= P(A - A B) B
相互独立 两两独立
?
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
概率论
例1 有甲、乙两批种子，出 苗率分别为0.8 和 0.9 , 现从这两批种子中各任 取一粒 , 求 1 两粒种子都出苗的概率 ;
2 恰好有一粒种子 出苗的概率 ; 3 至少有一粒种子出苗的概率 .
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
概率论
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件 , 如果满足等式
P AB P AP B P AC P AP C P BC P B P C
A A1 A2 A3 A4 .
L
1 3
2 4
R
概率论
由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独 立性，得到
P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p, p 1 , 例4 2 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？ 设各局胜负相互独立。
概率论
解：设Ai 第i局甲胜 P Ai p, i 1,2,,5
再设A 甲胜 1 三局二胜制：
P A P A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 p 2 2 p 2 1 p p1
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
概率论
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受 到第一次 抽取的影响.
的 k 1 k n , 和任意的1 i1 i2 ik n 有等式
P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik
则称 A1 , A2 , , An 为相互独立的事件.
请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
2 3
所以这批乐器被接收的 概率为: P A P A | H 0 P H 0 P A | H 1 P H 1
P A | H 2 P H 2 P A | H 3 P H 3
3 2 1 C 96 C 96C 4 3 2 3 0.99 3 0.99 0.05 C 100 C100 3 1 2 C4 3 C 96C 4 2 3 0.05 0.8629 . 0.99 0.05 3 C 100 C 100
0.8 0.9 0.8 0.9 0.98 . 或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.98 .
概率论
例 2 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器 接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每 一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为 通路的概率。 解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器 接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
2 五局三胜制： P A P A1 A2 A3 前三次有一次输 A4 前四次有两次输 A5
1 2 p 3 C3 1 p p 3 C4 1 p p 3 p2 2
2 P2 P 3P 2 P 1 2 P 1 1
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
此定义可以推广到任意 有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1 , A2 , , An 为 n 个事件 , 如果对于任意
概率论
第六节
独立性
两个事件的独立性
多个事件的独立性
独立性的概念在计算概率中的应用
小结
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 显然 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立.
p p , 当p 1 1 2 2 p2 p1 , 当p 1 2
概率论
例52 设有两门高射炮 , 每一门击中飞机的概率都 例
是 0.6 , 求下列事件的概率:
1同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少 ? 2 若有一架敌机入侵领空 , 欲以 99%以上的概率
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
或
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
两事件是否独立可由定义或通过计算条件 概率来判断:
概率论
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解1:由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, 故 事件A、B独立. P(AB)=P(A)P(B)
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A