浙江工业大学数学分析2011年考研专业课初试真题
2011年7月浙江自考真题高等数学(工专)
2011年7月浙江自考真题高等数学（工专) 16课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
（一）（每小题1分，共20分）1．函数f(x)=arcsin的定义域是（ ）A．（-1，1） B．[1，5]C．（-∞，0） D．（2，4）2．函数y=（ ）A．奇函数 B．偶函数C．周期函数 D．非奇非偶函数3．函数f(x)=|sinx|的周期是（ ）A．2π B．C．π D．（ ）A．∞ B．不存在C．0 D．5．f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的（ ）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．无关条件6．曲线y=e x上点（0，1）处的切线方程为（ ）A．y-1=e x·x B．y=x-1C．y-1=-x D．y=x+17．设y=arcsinx2,则dy=（ ）A． B．C． D．8．设，则（ ）A．t B．C．2t D．29．函数f(x)=x2+1的单调减区间是（ ）A．（-∞，0] B．（0，+∞）C．（-∞，+∞） D．（-1，+∞）10．函数y=x-ln(1+x2)的极值是（ ）A．0 B．1-ln2C．-1-ln2 D．不存在11．曲线y=1+（ ）A．只有一条水平渐近线 B．只有一条垂直渐近线C．有一条水平渐近线及一条垂直渐近线 D．无渐近线12．曲线y=的拐点有（ ）A．0个 B．2个C．3个 D．4个13．某运动物体的速度函数为υ（t）=sec2t·tgt，则路程与时间的关系为（ ）A．- B．C． D．14．已知f(x)=（ ）A．- B．C． D．15．广义积分（ ）A．收敛于-2 B．收敛于2C．发散 D．的敛散性不能确定16．设z=xtg(x+y),则dz|(π，0)=（ ）A．dx+dy B．π(dx+dy)C．π(dx-dy) D．-π(dx+dy)17．直线（ ）A．90° B．60°C．45° D．30°18．若区域(σ)为：（x-1）2+y2≤1，则二重积分化为极坐标下的累次积分应为（ ）A． B．C． D．19．与点P（3，2，1）关于xoz坐标平面对称的点的坐标为（ ）A．（3，-2，1） B．（-3，2，1）C．（3，2，-1） D．（-3，-2，1）20．微分方程xy″+2y′+x2y=0是（ ）A．一阶线性微分方程 B．三阶线性微分方程C．二阶线性微分方程 D．三阶非线性微分方程（二）（每小题2分，共20分）21．（ ）A．e B．1C． D．-e22．（ ）A．sina B．-sinaC．不存在 D．∞23．设f(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3,则f′（1）=（ ）A．8 B．6C．0 D．-824．一物体以速度υ=3t2+2t（米/秒）作直线运动，则它在t=0到t=3秒一段时间内速度的平均值为（ ）A．12米/秒 B．15.5米/秒C．24米/秒 D．36米/秒25．已知（ ）A．-2 B．2C． D．426．曲线y2=x,y=x,y=所围图形的面积是（ ）A． B．C． D．27．曲面z=x2+y2与平面y+z=1的交线在xoy坐标平面上的投影曲线为（ ）A．椭圆 B．抛物线C．双曲线 D．圆28．设区域（σ）为：0≤x≤1,-1≤y≤1,则（ ）A．-1 B．0C．1 D．229．用待定系数法求微分方程y″+2y′-8y=2x2+3的特解时应设特解（ ）A．=x(ax2+bx+c) B．=ax2+cC．=ax2+bx+c D．=x(bx+c)30．级数的收敛区间为（ ）A．（-∞，0） B．（-1，1）C．（-∞，+∞） D．（0，+∞）二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）31．求.32．设y=ln(1+x2),求y″（0）.33．求34．判别级数的敛散性.35．计算36．求方程4y″+4y′+y=0满足初始条件y(0)=2,y′(0)=0的特解.37．设u=y（x2-y2），其中y≠0，（t）可导，求.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38．求f(x)=x3-x在[0，2]上的最大值与最小值.39．求由圆柱面x2+y2=1,平面y+z=2，坐标平面z=0所围立体在第一卦限（x≥0，y≥0,z≥0）部分的体积V.40．证明：当x>0时，1+。
浙江师范大学 2011 年硕士研究生入学考试初试试题(A 卷)数学分析
浙江师范大学 2011 年硕士研究生入学考试初试试题(A 卷) 科目代码: 681 科目名称: 数学分析适用专业: 基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论。
提示：1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：____________。
一、计算题： （共5小题，每小题8分，共40 分）1、求极限 2 0 2 0 lim sin 2 x t x x e dt x x ® - ò 。
2、求极限 3 lim !n n n ®¥ 。
3、设 () x z xy = ，求 z x ¶ ¶ 和 z y¶ ¶ 。
4、求积分 3 2 cos sin 1cos x x dx x+ ò 。
5、计算曲线积分 (sin )cos Ly y dx x ydy ++ ò ，其中L 为： () y x x p =- ，起点 为A (0,0), 终点为B (p ,0)。
二、简答题： （共2小题，每小题10分，共20分）1、叙述下面定义:(1) lim () x f x ®+¥=-¥; (2) 当 0 x a ®+ 时, f (x )不以A 为极限。
2、讨论二元函数在一点可微与偏导数存在的关系，并说明理由。
三、（12分）设 11 03, (3), (1,2,) L n n n x x x x n + <<=-= 。
证明{} n x 的极限存在， 并求此极限。
四、（12分）设 2 2 sin , () , , x x x f x A x x ax bp ì ï ï = í ï ï + î <0, =0, >0. ，其中A ，a , b 为常数。
试问A , a , b 为 何值时，f (x )在x =0 处可导，为什么？并求 (0) f ¢ 。
2007-2011年浙江工业大学801物理化学考研真题
第1页共6页2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：(801)物理化学共6页★★★★答题一律做在答题纸上，做在试卷上无效。
★★★★试卷(A)一、单项选择题（20题，每题3分，共60分）1.理想气体经可逆与不可逆两种绝热过程(a)可以从同一始态出发达到同一终态(b)从同一始态出发，不可能达到同一终态(c)不能断定(a)、(b)中哪一种正确(d)可以达到同一终态，视绝热膨胀还是绝热压缩而定2.对任一过程，与反应途径无关的是（a ）体系的内能变化（b ）体系对外作的功（c ）体系得到的功（d ）体系吸收的热3.在p ∃下，用水蒸气蒸镏法提纯某不溶于水的有机物时，体系的沸点(a)必低于373.15K(b)必高于373.15K(c)取决于水与有机物的相对数量(d)取决于有机物的分子量大小4.过饱和溶液中溶剂的化学势µ与纯溶剂的化学势µ*的关系式为(a)µµ=*(b)µµ>*(c)µµ<*(d)不能确定5.下列气体溶于水溶剂中，哪个气体不能用亨利定律：(a )N 2(b )O 2(c )NO 2(d )CO6.根据某一反应的r m G ∆�值，下列何者不能确定：（a ）标准状态下自发变化的方向（b ）在r m G ∆�所对应的温度下的平衡位置（c ）在标准状态下体系所能作的最大非膨胀功（d ）提高温度反应速率的变化趋势第2页共6页7.在通常情况下,对于二组分物系能平衡共存的最多相为：（a ）1（b ）2（c ）3（d ）48.下列说法中，哪些是不正确的:（a ）沸点随压力增加而增加（b ）熔点随压力增加而增加（c ）升华温度随压力增加而增加（d ）蒸气压随压力增加而增加9.电解质溶液导电性能理解，正确的是：（a ）与金属铜导电性能一样（b ）温度升高导电能力减小；（c ）浓度增大导电能力增大（d ）导电机理是离子定向迁移和电极反应10.用电导仪测未知溶液的电导，将一定浓度的标准KCl 溶液注入电导池中进行测定，其目的是：（a ）做空白试验（b ）校正零点（c ）求电导池常数（d ）作工作曲线11.用对消法测定电池电动势，若实验中发现检流计始终偏向一边，则可能原因是：（a ）测定电池温度不均匀（b ）测定电池的两极接反了（c ）搅拌不充分使浓度不均匀（d ）检流计灵敏度差12.玻璃毛细管中汞面上的饱和蒸气压比水平汞表面上的饱和蒸气压_______。
2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
0 1
1 1 1
0
E 1
0 1
1
1 1
1
0
.
6．设 A 为 4×3 矩阵，1,2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，
k1, k2 为任意常数，则 Ax 的通解为（ ）.
A． 1
2 2
k1 (2
1 )
B． 1
2 2
k1 (2
1 )
C． 2
3 2
k1 (3
I1
4
I2
.
4．设函数 z arctan exy ，则 dz ＝（ ）.
A．
exy 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy B． 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy C． 1 e2xy
( xdy
ydx)
2 / 14
圣才电子书
e xy D． 1 e2xy
( ydx
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
2011 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.
1．当 x O 时，下列函数为无穷大量的是（ ）.
【答案】B
【解析】因为 0 P( A) 1， A B ，故 0 P( A) P(B) 1，又 A U B B ，
AB A ，所以
.
8．设总体 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布， X1，X，2，L X n (n 2) 为来自总体
的简单随机样本，则对于统计量T1
浙江工业大学线性代数2010-2011第一学期试卷答案
浙江工业大学线 性 代 数 期 末 试 卷 （A ） （ 2010 ～ 2011 第 一 学 期 ）一．填空题(每小题3分, 共21分) 1.若02221=+-k k ，则=k -3， 2 .2. 设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则A = 144 . 3. 向量组112α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 无 关.4. 设1211,1αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1=23是线性方程组(0)Ax b b =≠的解，且R （A ）=2，则Ax b =的通解为（010111,12,2123k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或 ）.5. 向量(1,0,3,5),α=--β=(4,-2,0,1),其内积为 -9 .6. 已知三阶矩阵A 的特征值为-1，1，12，则行列式1|2|A E -+=（ 12 ）. 7. 设1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则10A =（ 10101⎛⎫ ⎪⎝⎭ ）.二.单项选择题(每小题3分,共21分)1. 对任意n 阶方阵A 、B ，总有 （ A ）. (A) ||||AB BA = (B) ()T T T AB A B =；(C) 222()2A B A AB B +=++； (D) ||||||A B A B +=+； 2. 设行列式1534780311113152---==A D ，则2=+-+4443424135A A A A A .（A ）0 （B ） 1 （C ） －1 （D ）－163. 1112132122232122231112131313233311132123313010,,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则 B 。
浙江工业大学2011-2012_2_期末试卷A及答案
A. 50Hz B. 48Hz C. 2Hz
19.熔断器对三相异步电动机起（A）的作用。
A.短路保护B.欠压保护C.过载保护
20.关于TN-S供电系统，下列说法中错误的是（A）。
A. TN-S适用于三相三线制供电系统B. TN-S系统中工作零线N和专用保护线PE严格分开C. TN-S系统中用电设备的金属外壳与零线连接
12.在感性的正弦交流电路中，下列方法可提高电路的功率因数（C）
A.在电路上并联电感B.在电路上串联电感C.在电路上并联电容
13.在R、L串联的正弦交流电路中，R =40，XL= 30，电路的无功功率Q= 480 var，则视在功率S为( B )。
A. 866 V·AB. 800 V·AC. 600 V·A
（2分）
2.电路如图2-2所示，在开关S闭合前电路已处于稳态，求开关闭合后的电压 。
图2-2
解：由换路定则：
（3分）
（3分）
（2分）
根据三要素法， 时：
（2分）
3.有一线圈的电阻 、感抗 与容抗 的电容串联后接至正弦交流电源，通过的电流为0.2A，求总电压U、线圈端电压 、有功功率和视在功率。
解：令 A，
16.在电源电压不变的情况下，空心线圈中引入铁心后，则交流励磁电流（C）。
A.变大B.不变C.变小
17.三相异步电动机是由于( C )而产生电磁转矩的。
A.定子磁场与定子电流的相互作用
B.转子磁场与转子电流的相互作用
C.旋转磁场与转子电流的相互作用
18.某三相异步电动机在额定运行时的转速为1440r/min，电源频率为50Hz，此时转子电流的频率为（C）。
完整word版,浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案,推荐文档
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2011年_真题(含答案与解析)-交互
全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2011年(总分150, 做题时间180分钟)[*]1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A6.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B7.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D8.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[*]1.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:2.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:3.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:4.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:5.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:6.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[*][*]1.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:2.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:3.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 9答案:4.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:5.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:6.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:7.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:8.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:9.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:1。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
4 / 22
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
π
π
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
3 / 22
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
5 / 22
圣才电子书
A．α1，α3
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。