普通高考数学一轮复习 第23讲 三角函数的图象与性质精品学案
[精品]新人教版A版高考数学理科一轮复习3.3 三角函数的图象与性质优质课教案
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第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.经验证可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin π＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22，故选B.答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos xx ≥cos x ，sin xx <cos x画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，22. 答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．(3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54. 答案：A2．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为________．解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π，∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2.答案：π2探究二 三角函数的奇偶性 3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：由y ＝sinx ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4.∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cosωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．(2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cosx ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.(2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1，∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D.答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，348．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，32时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.。
第23课三角函数的图象与性质学案-福建省厦门市高三数学（理）一轮复习
第23课 三角函数的图象与性质
一、目标导引
已知函数()sin(2)3
f x x π
=-
，
（1）求函数()f x 的周期、单调区间及对称中心和对称轴；（2）若0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域； 提示：；从三角函数函数图象及相关性质，如定义域，值域，最值，奇偶性，周期性，单调性，对称性进行迁移等.
二、知识梳理
回顾函数及指数、对函数知识框架的纵向梳理与横向沟通.
提出问题：类比函数知识的复习梳理，应该从哪些方面构建三角函数的知识框架？
三角函数的图象和性质知识清单：回顾函数及指数、对函数知识框架的纵向梳理与横向沟通. 提出问题：类比函数知识的复习梳理，应该从哪些方面构建三角函数的知识框架？ 三角函数的图象和性质知识清单：
注：以上.
三、问题研讨
问题1:三角函数的定义域 例题1：求函数的定义域.
提炼: 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
问题2: 三角函数的值域 例题2：（1）函数
的最大值与最小值之和为( ) A ．23B ．0 C ．－1 D ．－13 （2）函数32sin 23cos 2y x x π⎛⎫
+
- ⎪⎝
⎭
＝的最小值为___________．
提炼: 求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如
sin cos y a x b x c =++ 的三角函数化为sin(x )y A k ωϕ=++ 的形式，再求值域(或最值)；②形如。
高考一轮复习三角函数的图象与性质
年级高三学科数学内容标题三角函数的图象与性质编稿老师胡居化一、学习目标：1.能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像.2.通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.3.理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像性质及其图像的变换.4.能利用三角函数的图像解决简单的实际问题.二、重点、难点：重点：（1）掌握三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx）的图像性质及其简单的应用.（2）理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像及其性质.难点：三角函数图像的应用三、考点分析：从新课标高考命题的内容来看：对三角函数的图像与性质这部分知识点进行考查时的题型有选择、填空和中等难度的大题，都以考查基础知识为主.因此第一轮复习的重点是掌握三角函数的基础知识，并能灵活运用基础知识解决问题.三角函数的图像与性质⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ϕ+ω=→=ϕ+ω=⎪⎩⎪⎨⎧===的图像变换的图像与性质的图像与性质的图像与性质的图像与性质像与性质基本初等三角函数的图)xsin(Ayxsiny)xsin(Aytanxycosxyxsiny知识要点解析：一、三角函数的图像与性质：函数y=sinx y=cosx y=tanx图像定义域 R R 2ππ+≠k x值域 [－1，1][－1，1]R周期性 π2π2π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间： ［]22,22ππππ+-k k 减区间：]232,22[ππππ++k k 增区间：]2,2[πππk k -减区间：])1(2,2[ππ+k k在开区间：)2,2(ππππ+-k k上是增函数.对称性对称轴方程：直线2ππ+=k x对称中心坐标：)0,(πk对称轴方程： 直线πk x = 对称中心坐标：)0,2(ππ+k对称中心坐标：)0,21(πk 注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（)0,2(),1,23(),0,(),1,2ππππ-这五个点可作出草图.（2）三角函数线的概念.二、函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质（)0,0>>A ω1. 图像：利用“五点法”作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.令ππππϕω2,23,,2,0=+x ，然后列表、描点、连线.2. 性质：（1）定义域：),(+∞-∞（2）值域：],[A A -，（当A k x -=-=+min y 22时，ππϕω；当A k x =+=+max y 22时，ππϕω）（3）周期性：ωπ2=T（4）奇偶性：)sin(ϕω+=x A y 是奇函数)Z k (k ∈π=ϕ⇔)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔ （5）单调性：在区间]22,22[ωϕππωϕππ-+--k k 上递增，在区间]232,22[ωϕππωϕππ-+-+k k 上递减.（6）对称性：对称轴方程：)0,2ωϕπωϕππ--+=k k x ，对称中心（三、函数)sin(ϕω+=x A y +k 的图像变换变换I ：振幅变换→周期变换→相位变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）y=Asinx 图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到x sin A y ω=的图像. x A y ωsin 3=）（的图像向左平移)0(||)0(<ϕωϕ>ϕωϕ或向右平移个单位得)sin(ϕω+=x A y 的图像.|k |)0k ()0k )x sin(A y 4平移或向下的图像向上（）（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.变换II ：振幅变换→相位变换→周期变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）x A y sin =的图像向左平移)0(||)0(<ϕϕ>ϕϕ或向右平移个单位得)sin(ϕ+=x A y 的图像.（3）y=Asin （x+ϕ）图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到)x sin(A y ϕ+ω=的图像.（4）|k |)0k ()0k )x sin(A y 平移或向下图像向上（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.注意上述两种变换的区别.知识点一：函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像与性质例1. 基础题 1. 函数y=x cos 21-的定义域是_____________. 2. 不等式x x cos sin ≥的解集是____________. 3. 函数)4tan(π+=x y 的递增区间是____________. 4. 函数2sin 1sin -+=x x y 的值域是____________.思路分析：1. 由0cos 21≥-x 结合三角函数线或余弦函数图像求x 的取值范围. 2. 利用正、余弦函数图像或三角函数线求不等式的解集. 3. 根据正切函数y=tanx 的递增区间求函数)4tan(π+=x y 的递增区间.4. 用y 表示sinx ，再利用1|sin |≤x 求y 的取值范围.或用分离常数法求解. 解题过程：1. 由已知得：0cos 21≥-x 21cos ≤⇒x ， 由三角函数线知：角x 的取值范围是如图所示的阴影区域. 故函数的定义域是)Z k ](35k 2,3k 2[∈π+ππ+π.2. 在同一坐标系中画出函数y=sinx 与y=cosx 的图像. 由图知：使x x cos sin ≥成立的x 的取值范围（解集）是：)z k ](45k 2,4k 2[∈π+ππ+π3. 设t=t y x tan ,4=+则π，由函数t y tan =的递增区间是)Z k (2k ,2k (∈π+ππ-π）， 故),Z k (4k x 43k )Z k (2k 4x 2k ∈π+π<<π-π⇒∈π+π<π+<π-π 即函数)4tan(π+=x y 的递增区间是)Z k )(4k ,43k (∈π+ππ-π. 4. 由已知得：1y y21x sin y 21x sin )1y (1x sin 2)sinx y -+=⇒+=-⇒+=-（ （)1≠y ，22)1()21(1|121|1|sin |-≤+⇒≤-+⇒≤y y y yx 整理得：02022≤≤-⇒≤+y y y ，即函数的值域是［－2，0］另解：2sin 1sin -+=x x y =2sin 312sin 3)2(sin -+=-+-x x x ，令11sin ≤≤-⇒=t t x231-+=∴t y ，显然y 是t 的减函数，故02≤≤-y ，即函数的值域是［－2，0］用这种方法求解时要注意函数的定义域.如求1sin 2sin --=x x y 的值域，采用分离常数法时要注意：1sin 1<≤-x ，此时1sin 11--=x y ，因1sin 1<≤-x ，故23≥y .若不考虑定义域会误认为：1sin 1≤≤-x 从而得出错误的结果.解题后的思考：利用基本三角函数的性质求函数的值域或求函数的单调区间或求令简单的三角不等式成立的x 的取值范围等问题是高考常见题型，且几乎都是客观题.我们除要掌握基础知识外，还要掌握一些常用的数学思想方法.要做到触类旁通，如求)0ab ,.0mn (nx cos m xcos b a y ≠≠++=的值域问题其实与本例第4题的做法一样.例2. 中等题1. 函数ωππ->ωω=上单调递增，则在区间]32,32[)0(x sin 2)x (f 的最大值是______.2. 函数xxy sin 2cos 1-+=的最大值是M ，最小值是N ，则M+N=_________________.3. 已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-+=x x g x x x f ππ（1）求函数f （x ）的最小正周期.（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值、单调区间、对称轴方程及取得最大值时x 的取值集合. 思路分析：1. 利用正弦函数递增区间是]4,4[T T -，则可由]4,4[]32,32[TT -⊆-ππ建立ω的不等关系式.2. 求函数xxy sin 2cos 1-+=的值域，可利用)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 求解.3. （1）化简f （x ）的函数式，用正弦或余弦表示.再利用T=的系数x π2求出周期.（2）先确定h （x ）的函数解析式，然后再求其最值、单调区间、对称轴方程等. 解题过程：1. 由于f （x ）在区间]4,4[TT -上递增（如图）， ]4,4[]32,32[T T -⊆-∴ππ，43,433242324T max =ω≤ω⇒π≥ωπ⇒π≥∴.2. 由xxy sin 2cos 1-+=得：x x y y x x y cos 1sin 2cos 1)sin 2(+=-⇒+=-，12)sin(112cos sin 2-=++⇒-=+∴y x y y x x y ϕ（)1tan y=ϕ，1|112|1|)sin(|,112)sin(22≤+-⇒≤++-=+∴yy x yy x ϕϕ，两边平方，整理得：34,0,340043max min 2==≤≤⇒≤-y y y y y 故， 34=+∴N M . 3. （1）由x x x x x x x f 22sin 43cos 41)sin 23cos 21)(sin 23cos 21()(-=+-= =412cos 21)2cos 1(83)2cos 1(81-=--+x x x . 故函数f （x ）的最小正周期是ππ==22T . （2）)42cos(222sin 212cos 21412sin 21412cos 21)(π+=-=+--=x x x x x x h ，由),Z k (8k x 85k k 24x 2k 2∈π-π≤≤π-π⇒π≤π+≤π-π 由),Z k (83k x 8k k 24x 2k 2∈π+π≤≤π-π⇒π+π≤π+≤π 故函数h （x ）的增区间是]83,8[]8,85[ππππππππ+---k k k k ，减区间是， 最大值是22，此时对应的x 的值是),Z k (8k x k 24x 2∈π-π=⇒π=π+故x 的取值集合是}8|{ππ-=k x x ，对称轴方程：)Z k (8k 21x k 4x 2∈π-π=⇒π=π+. 解题后的思考：对于求形如xn m xb a y cos sin ++=)0mn ,0ab (≠≠的值域问题，及求复杂函数的周期单调时区间、等问题常采用以下变换：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a .因此这个变换很重要，实质是正、余弦的和（差）角公式的应用.例3. 创新与应用已知向量3)()sin ,cos 2(),sin 32,(sin -⋅===x f x x x x ，定义， （1）求函数的值域)(x f 及对称轴方程. （2）若函数)20)(x (f y π<θ<θ+=为偶函数，求θ的值. 思路分析：（1）由向量的坐标运算，先确定f （x ）的解析式，再确定值域和对称轴方程.（2）由函数)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔及x 的取值范围确定θ的值.解题过程：（1）3sin 32cos sin 2)(2-+=x x x x f＝)32sin(22cos 32sin 322cos 1322sin π-=-=--⋅+x x x x x 故函数f （x ）的值域是［－2，2］，对称轴方程是),Z k (2k 3x 2∈π+π=π-即Z k ,125k 21x ∈π+π= （2）)]32(2sin[2)(πθθ-+=+x x f ，Z k ,125k 212k 32)x (f ∈π+π=θ⇒π+π=π-θ⇔θ+是偶函数 ，又125,20π=θ∴π<θ<.解题后的思考：三角函数与平面向量的结合一直是新课标高考命题的重要题型.以向量为载体具体考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质.我们应该关注这种题型.知识点二：函数)0,0A )(x sin(A y >ω>ϕ+ω=的图像与性质例4. 基础题1. 函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位所得函数的解析式是________.2. 已知函数)0)(4x cos()x (f >ωπ+ω=的最小正周期是π，将y=f （x ）的图像向左平移||ϕ个单位，所得图像关于原点成中心对称，则||ϕ=_______________.3. 函数)32sin(2π+=x y 在［0，]π上的单调递增区间是______________.思路分析：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位是：x 2cos )4x (2sin y =π+=.2. 由已知得ω=2，故]4|)|x (2cos[y ||)4x 2cos()x (f π+ϕ+=ϕ→π+=得：向左平移由平移后的函数图像关于原点对称求|ϕ|的值.3. 由正弦函数y=sinx 的增区间得：223222πππππ+≤+≤-k x k ，求出x 的取值区间，再赋予k 的整数值，从而求出符合条件的单调区间. 解题过程：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位后得：)4x (2sin y π+=，再向上平移1个单位后得：)4x (2sin y π+=x x 2cos 22cos 11=+=+ 2. 由已知得：ω=2，故→π+=)4x 2cos()x (f 向左平移||ϕ得：]4|)|x (2cos[y π+ϕ+=,2k 4||2,4||2x 2cos y π+π=π+ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ+=称，故此函数图像关于原点对 Z k ,8k 21||∈π+π=ϕ∴. 3. 由已知得：223222πππππ+≤+≤-k x k ⇒Z k ,12k x 125k ∈π+π≤≤π-π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π==π∈，，，单调递增区间是时满足条件，即所求的故1271201k ,0k ],,0[x .解题后的思考：对函数图像的平移不仅要注意平移的单位，更要注意平移的方向即：x 轴方向上的平移是“左加右减”，y 轴方向上的平移是“上加下减”，对函数y=)0(,0A ),x cos(A >ω>ϕ+ω的奇偶性的讨论应注意：y=)0,0A (),x cos(A >ω>ϕ+ω是奇函数的充要条件是：)Z k (k ,2k ∈π=ϕπ+π=ϕ是偶函数的充要条件是.例5. 中等题1. 已知函数ωϕ+ω=)(x sin(A )x (f >0，A>0，)2||πϕ<的图像如图，求函数f （x ）的解析式.2. 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 321)(++-=； （1）当x ]2,0[π∈时，求函数的值域.（2）求图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）若角βα,的终边不共线，且)tan(),()(βαβα+=求f f .思路分析：1. 根据函数图像，求出A=3，ωπππ⇒=+=46124T 的值，由当x=6π-时，y=0得出ϕ的范围从而求ϕ的值.2. （1）化简函数式为)62sin(2)(π+=x x f ，然后求其值域.（2）由ππk x =+62确定图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）由角βα,的终边不共线，且)tan(),(f )(f β+αβ=α求的值.解题过程：1.由图像知：A=3，2,46124=∴=⇒=+=ωππππT T ， 又πϕπk 2)6(2=+-32||)Z k (,3k 2π=ϕ⇒π<ϕ∈π+π=ϕ⇒，故函数)x (f 的解析式为)32sin(3π+=x y .2. （1）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，当x ]2,0[π∈时，1)62sin(21≤+≤-πx ，2)(1≤≤-∴x f .（2）由ππk x =+6212k 21x π-π=⇒)Z k (∈， 即图像上距原点最近的对称中心坐标是)0,12(π-.（3）由已知得：)62sin(2)62sin(2πβπα+=+，又βα,不共线得：Z k ,3k )Z k (k 2)62()62(∈π+π=β+α⇒∈π+π=π+β+π+α，3)tan(=+∴βα解题后的思考：求解函数k x A y ++=)sin(ϕω的解析式问题时，关键是确定ϕω,,A k ,这四个量)0(>ω，根据函数的最值确定A ，k 的值，由函数的周期确定ω的值，较难确定的是ϕ的值.根据“五点法”作图原理知：在一个周期内，图像上升时与x 轴的第一个交点满足：0=+ϕωx ；第二个点是图像的最高点，满足：2πϕω=+x ；第三个点是图像下降时与x轴的交点，满足：ωπϕ=+x ；第四个点是图像的最低点，满足：23x π=ϕ+ω；第五个点满足：πϕω2=+x .由此确定ϕ的值（同时注意已知条件中的ϕ的取值范围）.例6. 实际应用已知某海滨浴场的海浪的高度y 米是时间t （0)24≤≤t （单位：时）的函数，记作：)(t f y =下表是某日各时浪高的数据： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y （米）1.51.01.51.01.510.50.991.5ω（1）求函数y=b t A +ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式.（2）依据规定：当海浪的高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放，请根据（1）中的结论判断一天内的上午8：00到晚上20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？ 思路分析：由表中的数据可以得出：周期T=12，从而求出ω的值，再由表中的数据建立A ，b 的关系式，则可求出函数解析式.由y>1求出时间t 的取值范围，进而确定冲浪的时间. 解题过程：由表中的数据得：T=12，故ω=62ππ=T ，由t=0时，y=1.5得：A+b=1.5， 由t=3时，y=1.0得：b=1.0，21=∴A ，故函数解析式是16cos 21+=t y π，由)Z k (2k 2t 62k 20t 6cos 1y ∈π+π<π<π-π⇒>π>得：，24t 0,3k 12t 3k 12≤≤+<<-∴ ，令k=0，1，2得：24t 21,15t 9,3t 0≤<<<<≤或或，故一天内的上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者进行运动，即上午9：00到下午的15：00.解题后的思考：本题考查三角函数的实际应用，解题关键是提炼和归纳已知（或图表）中的信息，从而锻炼自己处理数据信息的能力.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 函数y=)32sin(π+x 的一条对称轴是（ ）6.D 5.C 127.B 8.A ππππ 2. 将函数)3sin(π-=x y 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向左平移3π个单位，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）=（ ） )6x 2sin(y .D )6x 21sin(y .C )2x 21sin(y .B x 21sin y .A π-=π-=π-==3. 函数)2cos(),32sin(|,sin ||,|sin ππ--=+===x y x y x y x y 中，周期都是π的有（ ）个.A . 1B . 2C . 3D . 44. 函数)0)(x 2sin(y π≤ϕ≤ϕ+=是R 上的偶函数，则=ϕ（ ）πππ.D 2.C 4.B 0.A5. 函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像关于直线8π=x 对称，则ϕ的值可能是（ ）43.D 4.C 4.B 2.A ππ-ππ *6. 函数y=sinx －|sinx|的值域是（ ） A . ［－1，0］B . ［0，1］C . ［－1，1］D . ［－2，0］二、填空题*7. 函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值是——————.8. 若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期为T ，且1<T<2，则自然数k 的值是______.*9. )10(x sin 2)x (f <ω<ω=在]3,0[π上的最大值是2，则________=ω.10. 函数)321sin(π--=x y 的单调递减区间是_________________.三、计算题*11. 已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ>ωϕ+ω=2||,0)x sin()x (f （1）若cosϕϕπϕπ，求0sin 43sincos 4=-的值. （2）在（1）的条件下，若函数f （x ）的图像的相邻两条对称轴之间的距离是3π，求函数f （x ）的解析式，并求最小正实数m 使得函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数.一、选择题1. B 解析：由)Z k (12k 21x 2k 3x 2∈π+π=⇒π+π=π+，当k=1时，127π=x . 2. C 解析：)621sin(]3)3(21sin[)321sin()3sin(πππππ-=-+=→-=→-=x x y x y x y . 3. C 解析：y=sin|x|不是周期函数，其余三个的周期都是π. 4. C 解析：由已知：20,2πϕππϕ==+=时，k k .5. B 解析：由已知：1)4sin(18f ±=+⇒±=ϕππ）（，结合选项知选B .6. D 解析：⎩⎨⎧<≥=)0x (sin x sin 2)0x (sin 0y 02≤≤-⇒y .二、填空题7. 3（解析：由031031|122|122cos cos 2cos 22≤+-⇒≤+-⇒+-=⇒-+=y y yy y y x x x y331≤≤∴y ）. 8. 2或3（解析：得：由21,<<=T k T π32k ,N k ,k 2或故=∈π<<π+）. 9.43（解析：由2)3()(,330]3,0[max ==∴<≤≤⇒∈ωππωπωπf x f x x ，即)43223sin=⇒=ωωπ.10. ]354,34[ππππ+-k k ，Z k ∈. （解析：由2232122πππππ+≤-≤-k x k 得：∈x ]354,34[ππππ+-k k ），Z k ∈）.三、计算题11. 解：（1）由cos0sin 4sin cos 4cos 0sin 43sincos 4=-=-ϕπϕπϕπϕπ得：， 4,2||04cos(πϕπϕϕπ=<=+∴故，）.（2）由已知得：)43sin()(,332T πωπ+=∴=⇒=x x f ， 函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为：)]33(3sin[]4)(3sin[)(ππ++=++=m x m x x g ，由g （x ）是偶函数Z k ,123k m Z k ,2k 3m 3∈π+π=⇒∈π+π=π+⇔， ∴最小正实数12π=m .。
高中数学一轮复习三角函数的图象与性质优秀教案
例1解答 学生解答区域 计算区域
变式解答
教学后记
本节课能按照学校的“学-讲-练”教学模式推进教学，学生在整个教学中参与度高，参与面广，在教师的引导下对高考重点考点掌握较好。根据当前的内容，设置情景材料和生动的PPT进行配合教学，增强学生对知识的理解，提高学生数学计算能力。师
授课班级
高三
授课时间
教学流程安排
学生活动设计
教学目标：1.理解三角函数的性质。2。掌握常规题的做法。3培养学生的观察，分析，理解，探索能力。
教学重难点：.掌握单调性和周期及最值的性质
温故知新：对于考试的知识进行回顾
教学流程设计
学生活动设计
学生动手操作
探究与实践：根据例题进行变式研究，自己探究和总结。
高三数学一轮复习精品教案1：三角函数的图像与性质教学设计
4.3三角函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 『试一试』1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________．『答案』⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 2．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤3π4的值域是________． 『解析』因为－π4≤x ≤3π4，由y ＝sin x 的图像知－22≤sin x ≤1，故函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤－22，1. 『答案』⎣⎡⎦⎤－22，11．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． 『练一练』1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是________．『解析』作出函数y ＝|sin x |的图像观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 『答案』⎝⎛⎭⎫π，3π2 2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 『解析』由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 『答案』－22考点一三角函数的定义域与值域1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 『解析』当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 『答案』⎣⎡⎦⎤－32，3 2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．『解析』要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 『答案』⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z 3．(1)函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 『解析』(1)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为『－9,1』． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.『答案』(1)『－9,1』 (2)782『备课札记』 『类题通法』1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性『典例』 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x . 『解』 (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．(2)把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 『备课札记』若将本例(1)改为“y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4”，如何求解？ 『解析』画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )．『类题通法』三角函数的单调区间的求法(1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．『针对训练』1．(2013·盐城二模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈『－π，0』的单调增区间为________． 『解析』当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间．又因为x ∈『－π，0』，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 『答案』⎣⎡⎦⎤－π4，0 2．(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．『解析』依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.『答案』34考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：1求三角函数的对称轴或对称中心；2由三角函数的对称性求参数值； 3三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 『解析』(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.『解析』由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. 『答案』π33．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．『解析』由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.『答案』2角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．『解析』由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π， 所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 『答案』34『备课札记』 『类题通法』1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．『课堂练通考点』1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________． 『解析』由0≤x ≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4.又y ＝sin x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8. 『答案』⎣⎡⎦⎤0，π8 2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________．『解析』 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 『答案』⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． 『解析』由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 『答案』⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． 『解析』由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0. 『答案』⎝⎛⎭⎫k π2－π8，05．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： (1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心；(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减． 其中是真命题的是________(填序号)． 『解析』由f (x )＝x sin x 知其定义域为R ， 对于(1)，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， 所以f (x )是偶函数；对于(2)，f ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＝⎝⎛⎭⎫2π＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＝5π2， 而f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，显然f ⎝⎛⎭⎫2π＋π2≠f ⎝⎛⎭⎫π2；对于(3)，f ⎝⎛⎭⎫π－π2＝π2，f ⎝⎛⎭⎫π＋π2＝－3π2， 显然f ⎝⎛⎭⎫π－π2≠－f ⎝⎛⎭⎫π＋π2； 对于(4)，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，易知f ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为减函数． 『答案』(1) (4)。
高三数学第一轮复习导学案：第23课时 三角函数的图像
【学习目标】1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．【课本导读】 1．三角函数图像(1)y ＝sin x ，x ∈的图像是 . (2)y ＝cos x ，x ∈的图像是 .(3)y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图像是 . 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(A >0，ω≠0)(1)五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，五点坐标为 ， (2)变换作图【说明】 前一种方法第一步相位变换是 平移 ，而后一种方法第二步相位变换是向 或 移 个 单位，要严格区分，对y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)同样适用．【教材回归】1．(1)把y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，得______的图像．(2)把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(3)把y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(4)把y ＝sin2x 的图像向右平移π6得________的图像．2．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对 称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3 D.5π64.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )【授人以渔】题型一：五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像例1 (1)用“五点法”画出函数y ＝3sin x 2＋cos x2的图像，并指出这个函数的周期与单调区间．(2)用五点法作出y ＝2sin(2x ＋π3)在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3内的图像．题型二：三角函数的图像变换例2 (1)如何由y ＝sin x 的图像得y ＝2cos(－12x ＋π4)的图像．(2)如何由y ＝13sin(2x ＋π4)的图像得y ＝sin x 的图像．题型三：已知函数图像求解析式例3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M (2,22)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (6,0)，求这个函数的解析式．思考题3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域题型四：函数y＝A sin(ωx＋φ)模型的简单应用例4如图，某市准备在道路EF的一侧修一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线是函数y＝A sin(ωx＋2π3)(A>0，ω>0)，x∈时的图像，且图像的最高点为B(－1,2)．赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值。
高三数学一轮复习：三角函数的图像与性质(一)(教案)
第一课时三角函数的图像与性质（一）（教案）【复习目标】【知识与技能】１．了角正弦、余弦、正切、余切函数的图像，会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图．２．掌握三角函数的性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．【过程与方法】通过三角函数图像记忆和应用三角函数的有关性质，强化数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】体会三角是解决数学问题的一样工具，熟练三角比公式，理解三角函数的意义，为今后的数学其余知识领域的学习创造有利条件，培养研究数学问题的意识与体验.【教学重点、难点】正弦、余弦、正切函数的图像与性质【教学过程】【知识梳理】【基础练习】1．函数xxx y sin 1cos sin 22+=的值域是（C ）A ．),4(+∞-B ．),1[+∞-C ．]21,4(- D ．]21,4[-2．函数sin 1log (cos )2x y x =+([02])x π∈，的定义域是（B ）A ．2{|0}3x x π<<B ．2{|0}32x x x ππ<<≠，且C ．5{|0}6x x π<<D ．5{|0}62x x x ππ<<≠，且3．给出下列命题：（D ）①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称; ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同;③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称; ④x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称;其中正确命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．函数123log cos(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调减区间是3,,24k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦ 5．函数()sin (0)f x a x b a =+<的最大值为2，最小值为4-，则点(，)a b 是(3,1)--．6．已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=5-．7．若函数()f x的定义域是1[]2，则函数(sin )f x 的定义域是 54[2,2][2,2],3663k k k k k Z ππππππππ-++++∈ 8．已知关于x 的方程222sin cos 2sin 0x x x m -++=有实数解，则实数m 的取值范围是443m -≤≤ ． 【典型例题】【例1】求下列函数的定义域（1）y =解：sin cos 0)02244522445|22,44x x x k x k k x k x k x k k Z πππππππππππππ-≥⇒-≥⇒≤-≤+⇒+≤≤+⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭定义域（2）y =解：sin 02222,2sin 33x k x k x k x k x πππππππ>⎧<<+⎧⎪⎪⇒⎨⎨≠+≠+≠⎪⎪⎩⎩ 所求定义域{}222,2,2,33x k x k x k x k k Z πππππππ<<+≠+≠+∈且【例2】求下列函数的单调区间： （1）4sin(2)3y x π=- （2）12log cos y x =(3)sin 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4) )cos (sin sin )(x x x x f -=解：（1）4sin(2)4sin(2)33y x x ππ=-=-- ，∴222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时，函数为减函数.减区间为：5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.当3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈时，函数为增函数，故函数增区间为：511[,]()1212k k k z ππππ++∈；（2）12log y u = 为减函数，且cos 0u x =>的增区间为2,2()2k k k Z πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，递减区间为2,2()2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴函数12log cos y x =的递增区间为2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，递减区间为2,2().2k k k Z πππ⎛⎤-∈⎥⎝⎦(3) 2,2()2232,2()22k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(4) 1()sin (sin cos )242f x x x x x π⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭ 3,()885,()88k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【例3】求下列函数的最小正周期 ⑴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=53tan πa x y 解：313T a aππ== ⑵ x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=解：()5242242y x T ππϕ=++⇒== ⑶x y sin = (思考：x y sin = 有周期吗？) 解：由图像知：x y sin =周期为π，x y sin =无周期 ⑷xx xx y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=解：cos 2sin 21tan 2tan 2cos 2sin 21tan 242x x x y x T x x x ππ++⎛⎫===+⇒= ⎪--⎝⎭求函数周期的有以下方法：①直接从三角函数的周期的定义求得； ②由正弦，余弦函数的周期 ωπ2=T 由正切，余切函数的周期 ωπ=T ③由图像观察得到周期.④复合三角函数可化为“三个一”（一角一函数名一次）函数来求 【例4】判断下列函数的奇偶性： ⑴ x x x y 2cos cos sin 44+-=解：D R = 44sin cos cos2cos2cos20y x x x x x =-+=-+= ，既奇又偶⑵xx xx y cos sin 1cos sin 1-+++=解：1sin cos 0sin 4x x x π⎛⎫+-≠⇒-≠ ⎪⎝⎭32,244442,22x k x k x k x k πππππππππ-≠--≠-≠≠-定义域不关于原点对称，非奇非偶.【例5】求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最小正周期和最大、最小值及取得最大、最小值的对应变量x 的值．解：sin 2(1cos 2)1sin 2cos 2)4y x x x x x π=--+=+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==当y2242x k πππ+=+，∴8x k ππ=+（k ∈Z ），当y取得最小值2242x k πππ+=-+，∴38x k ππ=-+（k ∈Z ）． 【例6】求下列函数的值域： （1）x y 3sin 5=；（2）cos cos sin22xy x x =-；（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++； （4）2cos 3sin y x x =-；（5）sin cos sin cos y x x x x =++． 解：（1）[]sin31,1u x =∈-[]m i n m a x 125111,536215,,36u y u y x k u y x k k Z ππππ=-=-==-===+∈ 在，当时，当时，（2）|2,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭， cos cos sin sin()2224cos sin 22x x x x y x x π==+=+-，因为,242x k πππ+≠+所以()sin()1,124x π+∈-，(y ∈（3）1cos 23(1cos 2)sin 22sin 2cos 222x x y x x x -+=++=++)24x π=++，∵1sin(2)14x π-≤+≤，∴所求函数的值域是[2+；（4）223131sin 3sin (sin )24y x x x =--=-++，∵1sin 1x -≤≤， ∴所求的函数的值域是[3,3]-；（5）设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，且)[4t x π=+∈，∴2211(1)122t y t t -=+=+-，故所求函数的值域是1[1,2+-． 【例7】已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-+=204sin 2cos 21πx a x a x x f 的最大值为2，求实数a 的值. 解：()()211cos 2sin 12sin sin 2424a af x x a x x a x =+-=-+- ()221sin 2,24a x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭设sin ,x u =即()221()2,24a g u u a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭[]0,1u ∈()()[]()()[]()()()()[]()max 2max max 1100,0,1,0,26224120,102,,22,3,022*********,0,1,1,22423a aa g u u g u a a a a u g u a a a a a a a a a g u u g u a φ<⇒<==-=⇒=-∈⇒≤≤==-+⇒=-=≤≤⇒∈>⇒>==-=⇒= 在当当在当所以6a =-或103a =【例8】设1sin sin 3x y +=，求2sin cos u x y =-的最大值和最小值． 解：∵1sin sin 3x y +=，∴1sin sin 3x y =-，又1sin 1x -≤≤，∴11sin 131sin 1y y ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，∴2sin 13y -≤≤，而221111sin (1sin )(sin )3212u y y y =---=--，∴当1sin 2y =，1sin 6x =-时，min 1112u =-， 而当2sin 3y =-，sin 1x =时，max 49u =．【例9】对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ的任何值都有05cos 4sin 2<-+θθk 成立，求k 的取值范围. 解：[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎣⎦()22min (1)cos 004,5sin 4cos 112cos 0cos 0,cos 4cos 4cos cos 411cos ,(0,1],,4550,1]44k t t u t t u u k θθθθθθθθθθ=<-+≠><==+=∈=+=⇒<时，原式为：恒成立时，令又在(， 【例10】设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ>>-，2263B ππππ-=-=． 2336A ππ5π<+<，所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．说明：要求cos sin A C +的取值范围，联想可否把它化为sin()y A x ωϕ=+的 形式．由ABC ∆是锐角三角形得，2A B π+>，从而得出22A B ππ>>-是求cos sin A C +的关键．【备用例题】1． 已知函数]434[22cos 2sin 3)(ππ，，∈++--=x b a x a x a x f ，是否存在常数∈b a 、Q ，使得)(x f 的值域为]133[--，？若存在，求出b a 、的值；若不存在，请说明理由.解：函数即b a x a x f +++-=2)62sin(2)(π，∵]434[ππ，∈x ，∴]3532[62πππ，∈+x，∴1sin(2)3x π-≤+≤； 若存在满足题设的有理数b a 、，则10当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-1322323b a a b a a ，这不可能；20当0<a 时，⎩⎨⎧-=++-=++-3221323b a a b a a ，此时求得11=-=b a ，；即这样的b a 、存在，且11=-=b a ，． 2．在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 【巩固练习】1．已知函数x x x f sin 3cos )(-=，则这一函数的一个递减区间是（C ） A ．)6,65(ππ-B ．)67,6(ππ C ．)32,3(ππ-D ．)35,32(ππ 2．已知函数cos(sin )y x =，则下列结论正确的是（B ） A ．它是奇函数 B ．值域为[cos1,1]C ．它不是周期函数D ．定义域为[1,1]-3．若)0(π，∈x ，则函数|cos 1cos 1|x x y --+=的值域为（C ） A ．]20[，B ．[02]，C ．)20[，D ．)20[，4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ=，则a b - 的最大值为．【答案】sin a b θθ-= ＝2sin()23πθ-≤.5．函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T =π ．6．已知1>a ，则函数x a x y cos 2cos 2-=的最小值是a 21- ． 7．函数2cos 2cos xy x+=-（x ∈R ）的最大值是3 ．8．函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积为π4 9．函数()sin()24f x x c π=+-（c 为常数），若()0f x =的根成公差为4的等差数列，则(4)f 的值是0 ．提示：∵周期8=T ，∴当且仅当2=c 时，此时(4)sin 0f π==．10．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求实数a 、b 的值．【答案】25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩．11. 已知ABC ∆中135A B +=，求22sin sin A B +的最大值. 解：∵2222sin sin sin sin (135)A B A A +=+-1cos 21cos(2702)22A A ---=+111cos 2sin 222A A =-+)14A π=-+由350,2,4444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 24A π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以221sin sin 2A B ⎛+∈ ⎝⎦，即22sin sin A B +的最大值为222+ (当67.5A B ==时)。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 word版含答案
第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第23讲三角函数的图象与性质一．课标要求：1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。
二．命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测2013年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．要点精讲1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
四．典例解析题型1：三角函数的图象例1．函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。
答案为D 。
例2．函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数。
选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2：三角函数图象的变换例3．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象。
例4．把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。
题型3：三角函数图象的应用例5．已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+。
（１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+ 的解析式；（２）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知 A ＝300。
设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175。
∴ ω＝2Tπ＝150π。
又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0， 而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π。
故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+。
（２）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x+ϕ）， 又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。
根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2kπ+3π(k ∈Z )或421π+x =2kπ+32π（k ∈Z ），∴x =4kπ+6π（k ∈Z ）或x =4kπ+65π（k ∈Z ）。
∴所有交点坐标为（4kπ+3,6π）或（4kπ+3,65π）（k ∈Z ）。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
（2）在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）A ．（4π，2π）∪（π，45π） B ．（4π，π）C ．（4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，23π） 图解析：C ；解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图1可得C 答案。
图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C 。
（如图2） 题型4：三角函数的定义域、值域例7．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。
解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）。
∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z }。
（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。
又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。
故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z }。
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例8．已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
解析：由c os2x ≠0得2x ≠kπ+2π，解得x ≠42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠42ππ+k ，k ∈Z }， 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=xx x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=-+---=f （x ）。