第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题1
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抛物线形实物及运动轨迹问题课件
2
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：y 1 x2 2x 1 (x 2)2 2.
2
2
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
1 x2 2x 0. 解得 x1 = 0，x2 = 4. 2
你能想出办法来吗？
2m 4m
4.9m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
y
（2，2）
我们来比较一 下
y o （0，0） x
o（0，0）
（4，0） x
y
（0，2） 谁最 合适
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x = 450－50 = 400 时，得
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型， 对于解决问题是有效的？
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：y 1 x2 2x 1 (x 2)2 2.
2
2
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
1 x2 2x 0. 解得 x1 = 0，x2 = 4. 2
你能想出办法来吗？
2m 4m
4.9m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
y
（2，2）
我们来比较一 下
y o （0，0） x
o（0，0）
（4，0） x
y
（0，2） 谁最 合适
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x = 450－50 = 400 时，得
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型， 对于解决问题是有效的？
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的
抛物线形实物及运动轨迹问题 数学九年级上册同步教学课件(人教版)
6
8
解得 x1＝6 + 2 3，x2＝6﹣2 3.
则 x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈
抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距 离 x (m) 之间满足 y 1 x2 2x.
长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物
线可以用
y＝
−
1 6
x2
+
2x
+
c
表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
6
∴
抛物线解析式为
y＝−
1 6
x2
+
2x
+
4.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a， a 7 .
22.3.3抛物线形实物及运动轨迹问题(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
球类运动问题 拱桥问题
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）对称轴为
y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5.
(0,0.5)
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得81.5 = a·4502+0.5
-450
O
-450
解方程，得
81
1
a 4502 2500
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y
y
y
o
x
y
o
x
o
x
y
o
x
某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,
顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,
货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车明;若不能,请简要说明理由. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线
二次函数的顶点式：y a(x h)2 k(a 0)
顶点在x轴上： y a(x h)2 (a 0)
顶点在y轴上： y ax2 k(a 0) 顶点为原点： y ax2 (a 0)
二次函数的交点式：
y a(x x1)( x x2 )(a 0)
根据图象所给信息假设出抛物线的解析式：
∴可设这条抛物线解析式为:y=ax2+2 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
当水面上升1m时,水面的纵坐标为y=1,这时有:
方法三：以水平面为x轴，以抛物线和水面的 一个交点为原点，建立平面直角坐标系。
问题：此时图中的抛物线解析式是多少？
y
y
O
Ox
你认为以上几种方法中哪 种最简单，为什么？我们 在建立平面直角坐标系时
实物抛物线
实物抛物线在物理学和工程学中，抛物线是一个非常重要的概念。
它描述的是在二维空间中，一个物体在一定的力量作用下，如何沿着特定的路径移动。
这个力量通常是一个恒定的力，比如重力。
下面我们将更深入地探讨这个概念。
首先，我们定义一个抛物线。
在数学上，抛物线是一个二次曲线，其形状由以下二次方程式描述：y = ax^2 + bx + c。
对于一个抛物线，a、b和c是常数，a 不等于0。
这个方程式描述了一个函数，其变量是x，y是该函数的输出。
对于给定的x值，y有一个对应的值。
在物理学中，抛物线是在重力场中运动的物体的路径。
如果我们考虑一个物体在一个恒定的重力场中从静止开始下落，那么它的路径就是一个抛物线。
这是因为物体受到的重力可以视为一个恒定的加速度，而加速度是改变物体速度的原因。
因此，如果一个物体在没有阻力的情况下下落，它的速度会越来越快，直到达到最大速度，然后速度会开始减小，因为重力作用于物体的时间已经过去。
如果我们想要更准确地描述这个过程，我们需要使用物理学中的运动方程：v = gt、v = gt - g/2 * t^2和h = gt^2/2 - g/4 * t^3。
这些方程描述了物体的速度和位置随时间的变化。
在初始阶段，物体的速度增加线性地增加，然后当它达到最大速度时，速度就不再增加了。
此后，物体的速度开始减小，同时它的位置也在增加，直到它最终到达地面。
在实际应用中，抛物线有很多用途。
例如，在弹道学中，抛物线被用来描述和预测子弹的飞行路径。
由于重力的影响，子弹离开枪口后的路径是一个上升的抛物线，然后是下降的抛物线，最后子弹会到达目标。
这种类型的路径也用于设计投掷项目，如标枪、铁饼等。
在这些情况下，通过正确地调整投掷角度和力度，可以最大限度地提高这些项目的飞行距离。
此外，在工程学中，抛物线也被用于许多其他应用。
例如，在桥梁设计中，抛物线被用来模拟和预测桥梁在承受载荷时的变形。
在地震工程中，抛物线被用来模拟和预测结构在地震力作用下的反应。
第二章 二次函数习题PPT：第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
（2）∵y＝－32（x－1）2＋38（0≤x≤3），
∴当x＝1时，y最大＝83. 答：水柱的最大高度为38 m.
类型3 物体运动类问题
7.（2019·广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球 训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之 间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米.
原点时的抛物线表达式是 y＝－19（x＋6）2＋4 Ｗ.
3.（2018·绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 （4 2－4） m.
类型2 其他建筑物问题
4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水
点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋
4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ A ）
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图.若菜农身高为 1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 3 m.
6.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家 附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到 最高，水柱落地处离池中心3 m.
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x， 解得x1＝1，x2＝3. 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x， 解得x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. （3）∵y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20. 答：在飞行过程中，第2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m.
沪科版九上数学第2课时 利用二次函数模型解决实物型抛物线问题
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得
81.5 = a·4502ꧬ
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y 1 x2 0.5450 x 450
2500
（2）当 x 450 100 350(m) 时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
2
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
(0,3)
(-2,1)
(2,1)
O
x水面
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结
果是相同的.
随堂练习
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个
挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条 抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100m，50m 处垂直钢索的长.
(0,0.5)
-450
O
-450
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为
（0,0.5）对称轴为y轴，设抛物线对应的函
数表达式为y=ax2+0.5.
y
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a ·(-2)2+3.
(0,3)
解得a
1 2
.
(-2,1) O
(2,1) 水面 x
所以抛物线解析式为y 1 x2 +3. 2
抛物线解析式为y 1 x2+3. 2
y
水面下降一米，即此时y=0.
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
九年级数学下册第二章 第2课时利用二次函数解决实物抛物线问题作业课件新版北师大版
【素养提升】 11．(18分)某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在 空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出 的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空 中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面高 度为5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会 出现失误．
解：(1)水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y＝－15 (x－3)2＋5(0 ＜x＜8) (2)当 x＝0 时，y＝－15 (x－3)2＋5＝156 ，设改造后水柱所在抛物线(第一象限 部分)的函数表达式为 y＝－15 x2＋bx＋156 ，∵该函数图象过点(16，0)，∴0 ＝－15 ×162＋16b＋156 ，解得 b＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数表达式为 y＝－15 x2＋3x＋156 ＝－15 (x－125 )2＋22809 (0＜x＜16)，∴扩 建改造后喷水池水柱的最大高度为22809 m
用二次函数解决运动类问题 6．(4 分)烟花厂为国庆观礼特别设计制作了一种新型礼炮，这种新型礼炮的升 空高度 h(m)与飞行时间 t(s)之间的函数关系可表示为 h＝－52 (t－4)2＋20，则 这种礼炮从点火升空到到达最高点引爆需要的时间为( B ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
a2＝－32， h2＝－32
(不合题意，舍去)
，∴抛物线的表达式为 y＝－265
(x－25
)2＋23
＝－265 x2＋130 x
(2)会失误，理由如下：∵当 x＝3.6－(3－1)＝1.6 时，y＝－265 x2＋130 x＝(－
25 6
)×(58
)2＋130
沪科版初三数学上册《21.4 第2课时 实物抛物线型问题》课件
讲授新课
利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地 看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知 两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y
半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
A
1.25米 O
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 y B 为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25 O C x B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运
会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的 位置，说出这个二次函数的解析式类型. y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 400 2 0.5 64.5( m) 2500
y
-450
O
-450 x
例2 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已