九年级数学下册 1_5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题学案 (新版)湘教版
1.5 二次函数的应用
第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.
阅读教材第29、30页，自学“动脑筋”、“议一议”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系式.自学反馈学生独立完成后集体订正
①隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y=-1
8
x2+2,一辆车高3 m,宽4 m，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道.
②有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线
的函数关系式为y=-1
25x2+8
5
x.
活动1 小组讨论
例1 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少?
解:由题意建立如图的直角坐标系：设抛物线的表达式为y=ax2.
∵抛物线经过点A(2，-2),∴-2=4a,∴a=-1
2.即抛物线的表达式为y=-1
2
x2.
当水面下降1 m时，点B的纵坐标为-3.将y=-3代入二次函数表达式y=-1
2
x2，得
-3=-1
2
x2，x2=6,x=±6.∴此时水面宽度为2|x|=2 6m.即水面下降1 m时，水面宽度增加了(26-4)m.
用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系.抛物线的表达式设的恰当会给解决问题带来方便.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.
①如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；
②在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数表达式；
③设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
x2；②d=104h ；③当水深超过2.76 m时，就会影响过往船只在桥下顺利航行解：1.①y=-1
25
以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线表达式为y=ax 2，然后点B的坐标为(10，-4)，即可求出表达式.
2.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.
①求该抛物线的表达式；
②计算所需不锈钢管的总长度.
解：①略；②80 m.
本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的表达式，但对计算总长度没有影响.活动3 课堂小结
建立二次实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数表达式.
(4)利用待定系数法求出函数表达式.
(5)根据求得的表达式进一步分析,判断并进行有关的计算.。
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件
何值时，y的最大值是多少?
H
D
B
（2）.y＝xb＝x
﹣1225
x＋24
P┐ G A
N
＝﹣12
40cm
x 2＋24 x ＝﹣12（x－25）2＋300.
25
25
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取 M C
（1）.如果设矩形的一边AD ＝
M
30cm xcm
xcm，那么AB边的长度如何表示？ D
C
解：（1）设 AB＝bcm
易得 b＝﹣4 x＋40 3
┐ bcm
A
B
N
40cm
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取
所以，顶点坐标为：（﹣1，﹣7）， 对称轴为x ＝﹣1
想一想
何时面积最大
例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个 矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm （1）.设矩形的一边AB ＝ xcm，那么AD边的长度如
何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2 ，当x取何值时，y的最大值
M
或用公式：
当 x＝﹣ b ＝15 时，
2a
y最大值＝
4ac－b2 4a
＝300.
xcm
D
C
bcm
┐
A
B
N
北师大版九年级数学下册 二次函数 二次函数的应用 时
A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
问题解决
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如 果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时， 窗架的面积最大？
y 1(63x)x 2
x
2014.12
问题解决
3.如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式， t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
D
C
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63 即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
Q 2t cm
由题知 24-4x>0 解得 x<6
A
D
∵x>0
∴x 的取值范围是 0<x<6
B
C
(2) ∵-4<0 ∴当 x=－2×2(4-4)＝3 时，
S 最大= -4×32+24×3=36 则当 x=3m 时，所围成的花圃面积最大，最大值为 36m2。
2014.12
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的AB=xm，面积为Sm2。
225 36
∵-
7 2<0
∴当
x=
15 14
≈1.07 时，S 最大=
225 36
≈4.02
即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m2，此时窗户通过的光线最多。
2014.12
九年级数学下册导学案：26.3第1课时实物型抛物线
米;
（ 2） 喷 嘴 喷 出 水 流 的 最 远 距 离 为
米.
2.如图，某广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有 一 喷 嘴 喷 出 的 水 流 呈 抛 物 线 状 .已
知 在 距 喷 嘴 2m 处 ，喷 出 的 水 流 高 度 最 大 ，为 4m,与 喷 嘴 的 水 平 距 离 为 1 m
处，喷出水流的高度为 3 m.问喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
【针对训练】如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道宽度（即 OM 长）为 16 米， 其顶点 P 到 OM 的距离为 8 米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽 1 米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽 3.5 米、高 5.8 米的车辆？请通过计算说明．
26.3 实践与探索
第 1 课时 实物型抛物线
学习目标： 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（重点） 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题．（难点） 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
自主学习
一、知识链接 1.如图，已知等腰△ABC 的底边长为 8，腰长为 5，请建立合适的坐标系，并写 出各顶点的坐标.
________________ .
二、新知预习
填空并完成练习：
1.某 广 场 喷 泉 的 喷 嘴 安 装 在 平 地 上 ．有 一 喷 嘴 喷 出 的 水 流 呈 抛 物 线 状 ，
喷出的水流高度 y（米）与喷出水流距喷嘴的水平距离 x（米）之间
满足函数关系式 y＝− 1 x2+2x. 2
（ 1） 喷 嘴 能 喷 出 水 流 的 最 大 高 度 是
2022春九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索1用二次函数解决实际中抛物线型的最值应用习
(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地
面OA的距离； 解：根据题意得 B(0，4)，C3，127. 把 B(0，4)，C3，127的坐标分别代入 y＝－16x2＋bx＋c，得
c－＝164×，32＋3b＋c＝127.解得bc＝＝42.， 所以该抛物线对应的函数表达式为 y＝－16x2＋2x＋4，
即 y＝－16(x－6)2＋10.所以 D(6，10)． 所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m， 如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安 全通过？ 解：当 x＝122－4＝2 或 x＝122＋4＝10 时，y＝232＞6， 所以这辆货运汽车能安全通过．
为( ) A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m 【点拨】根据题意，可知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则 c1＝60504a.0＋，40b＋c＝46.2， 400a＋20b＋c＝57.9，
a＝－0.019 5， 解得b＝0.585，
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分 别为a、b，要使两孔射出水的射程相同，求a、b之间 的关系式； 解：要使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2， ∴a2－b2＝20a－20b，∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b)， ∴(a－b)(a＋b－20)＝0，∴a－b＝0或a＋b－20＝0， ∴a＝b或a＋b＝20.
HS版九年级下
第26章 二次函数
26．3 实践与探索
第1课时 用二次函数解决实际中
“抛物线”型的最值应用
湘教版九年级多媒体课堂教学课件第1章 1-5 二次函数的应用 第1课时
2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示的三处 各留 1 m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m，则能建成
的饲养室面积最大为( A )
A．75 m2
B．725 m2
C．48 m2
D．2225 m2
3.如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数图象，其
基础达标练
(打“√”或“×”)
1．利用二次函数研究实际问题时，自变量的取值范围都必须是正数．( × ) 2．实际问题中，二次函数的最大值也只能是顶点表示的函数值．( × ) 3．在用二次函数解决实际问题时不需要知道 x 的取值范围．( × ) 4．抛物线形实际问题一般用待定系数法求出其表达式．( √ )
(2)设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2， 则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x， 即y＝－8x2＋160x，y＝－8(x－10)2＋800， ∵－8＜0，∴y有最大值，∴当x＝10时，y最大＝800； 答：折成的无盖盒子的侧面积的最大值是800 cm2.
7．(素养提升题)(2021·桂林期末)如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从 离地面1 m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6 m的B处发现球在自己头的 正上方达到最高点M，距地面有4 m高，球落地后又一次弹起，第二个落点为D， 据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度 减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是( C )
A．25 min～50 min，王阿姨步行的路程为 800 m B．线段 CD 的函数表达式为 s＝32t＋400(25≤t≤50) C．5 min～20 min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数表达式为 s＝－3(t－20)2＋1 200(5≤t≤20)
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
第1章 1.5 第1课时 实物抛物线
A．当小球抛出高度达到 7.5 m 时，小球距 O 点水 平距离为 3 m
B．小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势 C．小球落地点距 O 点水平距离为 7 5＝4x－12x2，整理得 x2－8x ＋15＝0，解得 x1＝3，x2＝5，∴当小球抛出高度达到 7.5 m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3 m 或 5 m，A 错误， 符合题意；y＝4x－12x2＝－12(x－4)2＋8，则抛物线的对称 轴为 x＝4，∴当 x＞4 时，y 随 x 的增大而减小，即 B 正
解得 x＝6 或 x＝－4(∵x≥1，故舍去)， 把 x＝6 代入 y＝1x8，得 y＝168＝3 米． ∴运动员与下方滑道的竖直距离为 13－3＝10 米．
(3)依题意，得 1.8＝18－5t2，解得 t＝1.8 (负值舍去)； ∴1.8v 乙－1.8×5＞4.5，∴v 乙＞7.5 米/秒．
11. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 的长为 8 m，宽为 2 m，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且 距地面 6 m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式； (2)一辆货车高 4 m，宽 2 m，能否从该隧道内通过， 为什么？
解：(1)由题意可知抛物线经过点 A(0，2)，P(4，6)， B(8，2)，设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
m 时，水面宽 4 m，水面下降 2 m，水面宽度增加
4
2－4
m.
10. 如图是一抛物线形拱桥，已知水位在 AB 位置 时，水面宽 4 6米，水位上升 3 米就达到警戒线 CD， 这时水面宽 4 3米．若洪水到来时，水位以每小时 0.25 米的速度上升，求水过警戒线后几小时能淹到拱桥顶．
解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析 式为 y＝ax2，由题意，点 B(2 6，y1)，D(2 3，y2)， 又 y2－y1＝12a－24a＝3，∴a＝－14，抛物线解析式为 y ＝－41x2，∴点 D 的坐标为(2 3，－3)，则 OE＝3，水 过警戒线再淹到拱桥顶所需时间为 3÷0.25＝12(小时)．
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用主要介绍了抛物线形二次函数的相关知识。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入抛物线形二次函数，使学生能够更好地理解二次函数在现实生活中的应用，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于抛物线形二次函数的应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解抛物线形二次函数的概念，掌握其图像特征。
2.能够运用抛物线形二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.抛物线形二次函数的概念及其图像特征。
2.抛物线形二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，使学生掌握抛物线形二次函数的应用方法。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对抛物线形二次函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生应用抛物线形二次函数解决问题。
3.练习题：准备一些针对性的练习题，用于巩固所学知识。
4.板书设计：设计清晰易懂的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的抛物线现象，如篮球投篮、抛物线飞行等，引导学生关注抛物线形二次函数在现实生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍抛物线形二次函数的概念，并通过课件展示其图像特征。
九年级数学下册阶段核心归类利用二次函数解实际应用问题的六种常见类型习题新版湘教版
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 解：由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm. 若△ PBQ 是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°， 于是 BQ＝12BP 或 BP＝12BQ，即 t＝12(3－t)或 3－t＝12t. 解得 t＝1 或 t＝2，即当 t 为 1 或 2 时，△ PBQ 是直角三 角形．
的取值范围是 h≥3.025.
3．【中考·十堰】某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌 月饼，其进价为18元/kg，设第x天的销售价格为y(元 /kg)，销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得 出 以 下 的 销 售 规 律 ： ① 当 1≤x≤30 时 ， y ＝ 40 ； 当 31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y ＝37；x＝44时，y＝33.②m与x之间的函数关系式为m ＝5x＋50.
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达 式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出 最小面积． 解：过点 P 作 PM⊥BC 于点 M， 则易知 BM＝12BP＝12(3－t)cm. ∴PM＝ BP2－BM2＝ 23(3－t)cm.
∴S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×3×32 3－12t·23(3－t)＝ 43t2－343t＋943，即 y＝ 43t2－343t＋943，易知 0<t<3.
最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
解：设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x－7)2＋h，将点 C(0，1.8)的坐标代入，得 49a＋h＝1.8，即 a＝1.84－9 hx－7)2＋h.
根据题意，得41(211.4(8194－.98h－)＋h)＋h＞h2≤.04，3， 解得 h≥3.025.故排球飞行的最大高度 h