概率论与数理统计公式集锦
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =∪=∅∪Ω=Ω∪)(A B A A A A A =∪∩∅=∅∩=Ω∩)()(AB A B A B A −==−反演律：B A B A =∪BA AB ∪=∩∪n i i n i iA A 11===∪∩n i i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P −=若B A ⊂)()()(A P B P A B P −=−⇒对任意两个事件A ,B ,有)()()(AB P B P A B P −=−加法公式：对任意两个事件A ,B ,有)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()(B P A P B A P +≤∪)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P ⋯⋯∪−≤<<≤≤<≤==−+++−=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()())0)(()()(12112112121>=−−n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ⋯⋯⋯⋯w w w .k h d a w .c o m 课后答案网全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P −=≤−≤=≤<5．离散型随机变量(1)0–1分布1,0,)1()(1=−==−k p p k X P k k (2)二项分布),(p n B 若P (A )=pnk p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()(⋯=−==−*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有⋯,2,1,0!)1(lim ==−−−∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ(3)Poisson 分布)(λP ⋯,2,1,0,!)(===−k k e k X P kλλw w w .k h d a w .c o m 课后答案网6．连续型随机变量(1)均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=1,,0)(ab a x x F (2)指数分布)(λE ⎪⎩⎪⎨⎧>=−其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥−<=−0,10,0)(x e x x F x λ(3)正态分布N (µ,σ2)+∞<<∞−=−−x e x f x 222)(21)(σµσπ∫∞−−−=x t t e x F d 21)(222)(σµσπ*N (0,1)—标准正态分布+∞<<∞−=−x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞−=Φ∫∞−−x t e x x t d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量(X ,Y )的分布函数∫∫∞−∞−=xy dvdu v u f y x F ),(),(w w w .k h d a w .c o m 课后答案网边缘分布函数与边缘密度函数∫∫∞−+∞∞−=xX dvdu v u f x F ),()(∫+∞∞−=dv v x f x f X ),()(∫∫∞−+∞∞−=yY dudv v u f y F ),()(∫+∞∞−=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1)区域G 上的均匀分布，U (G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f (2)二维正态分布+∞<<−∞+∞<<∞−×−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σµσσµµρσµρρσπσ9.二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ∫∫+∞∞−+∞∞−==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(∫∫+∞∞−+∞∞−==dxx f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =w w w .k h d a w .c o m 课后答案网10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k kk p x X E ∫+∞∞−=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的k 阶中心矩)))(((k X E X E −X 的方差)()))(((2X D X E X E =−X ,Y 的k +l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的k +l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((−−X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E −−w ww .k h d a w .c o m 课后答案网X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−)()())())(((X 的方差D (X )=E ((X -E (X ))2))()()(22X E X E X D −=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X −−=)()()(Y E X E XY E −=())()()(21Y D X D Y X D −−±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρw w w .k h d a w .c o m 课后答案网。
概率论与数理统计公式汇总
1 n
n i 1
X
k i
,
k
1,2
(5)样本 k
阶中心距： Bk
Mk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k ,k
2,3
3、三大抽样分布
(1) 2 分布：设随机变量 X1, X 2 X n 相互独立，且都服从标准正态分布 N (0,1) ，
则随机变量
2
X
2 1
X
2 2
k
(
x1
,
x2
,
,
xn
)
4.估计量的评价标准
无偏性 设 (x1, x2,L , xn) 为未知参数 的估计量。若 E( ）= ，
估
则称 为 的无偏估计量。
计
量
设 1 1(x1, x,2 ,L , xn) 和 2 2 (x1, x,2 ,L , xn) 是 未 知 参
7、协方差和相关系数的性质
(1) Cov( X , X ) D( X ) Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )
(2) Cov( X1 X 2 ,Y ) Cov( X1,Y ) Cov( X 2 ,Y )
Cov(aX c,bY d ) abCov( X ,Y )
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)， B A 时 P(A-B)=P(A)-P(B)
条件概率公式 P(B A) P( AB) P( A)
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质FbF(aba<≤=P-X)(b()()bFX()P=≤)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X n X 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质：-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。
2.条件概率：-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
3.全概率公式：-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分。
4.贝叶斯公式：-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。
5.独立性：-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布：-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。
2.数理统计的基本概念：-样本均值：X̄=ΣXi/n；-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；-样本标准差：s=√s^2；- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。
3.大数定律：-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。
4.中心极限定理：-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。
5.参数估计：-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；-置信区间估计：用样本统计量构造一个区间，以估计总体参数的范围。
6.假设检验：-假设检验的基本步骤：提出原假设H0和备择假设H1，选择适当的检验统计量，计算拒绝域，进行假设检验。
以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理，还有很多其他的公式和定理没有一一列举。
掌握这些公式和定理，可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式：1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。
2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。
4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。
5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。
7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。
二、数理统计的常用公式：1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为μ=∑(某i)/n。
2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。
3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。
4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。
5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。
6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。
7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。
概率论与数理统计公式大全
第1章随机事件及其概率例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解135213391352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13521139213)(C C C AB P ⋅=13391352113921313521339135213521139213)()()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352839513)(C C C C P =1352626213513)(C C C C BC P =83962621313528395131352626213513)()()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P ===例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。
求一批产品通过检验的概率。
4()()()kk k P B P AP B A ==∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分，00()0.1,()1P A P B A ==10991110100()0.2,()0.900C P A P B A C ===10982210100()0.4,()0.809C P A P B A C ===10973310100()0.2,()0.727C P A P B A C ===10964410100()0.1,()0.652C P A P B A C ===814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是0004()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)ii i P A P B A P A B P A P B A =⋅⨯==≈⋅∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。
概率论与数理统计公式整理(超全版)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( A)
1 , 2 n ，
P(1 ) P( 2 ) P( n ) 1 。 n
A 的概率。
（8）古典概型
设任一事件
P(A)=
(1 ) ( 2 ) ( m ) = P(1 ) P( 2 ) P( m )
A ，它是由 1 , 2 m 组成的，则有
A B ，它
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相
（6）事件的关系与运算 容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
f ( x)dx 1
。
P( X x) P( x X x dx) f ( x)dx
积分元 似。
f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4） 分布函 数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
来表示。
A，B，C，„表示事件，它
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
）组成的集合。通常用大写字母
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概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数性质()()(),()()()()k k x xx P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰234、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑ ，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== 分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ijjp P X x p ⋅===∑()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅==== ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰∞-∞-=x ydudv v u f y x F ),(),(性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y ∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()(，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E = 2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：XYρ，当X 、Y 相互独立时：0=XYρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++4五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立， 2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ②拉普拉斯定理：随机变量),(~p n B X 则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt x x dtex p np np X P )(21})1({lim 22π③近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计的基本概念1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量 (1)样本均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(13、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量222212n X X X ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：nY X T =所服从的分布称为自由度的n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②22lim ()()x n n f x x ϕ-→∞==(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2121),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布， 记为),(~21n n F F ，性质：设12~(,)X F n n ，则211~(,)F n n X七、参数估计1.参数估计(1) 定义：用),,(21n X X X ∧θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X ∧θ为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 样本均值：∑===ni i X nX E X 11)(或dx x xf X E X ⎰+∞∞-==),()(θ求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数12,,,k θθθ ，它的前k 阶原点矩()(1,2,,)i i E X i k μ== 中包含了未知参数12,,,kθθθ ，即12(,,,)(1,2,,)i i k g i k μθθθ== 。
又设n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，用样本矩11(1,2,,)n ii j j A X i k n ===∑ 代替i μ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数12,,,k θθθ 的矩估计量12,,,k θθθ∧∧∧3.点估计中的极大似然估计极大似然估计法：n X X X ,,21取自X 的样本，设),(~θx f X 或~(,)X P x θ， 求法步骤： ①似然函数：])([),()(11∏∏===ni in i iP x f L θθθ或②取对数：1ln ()ln (,)n ii L f x θθ==∑ 或1ln ()ln ()nii L p θθ==∑③解方程：0ln ,,0ln 1=∂∂=∂∂kL L θθ ，解得：111212(,,,)(,,,)n kk n x x x x x x θθθθ∧∧∧∧⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 4.5. 单正态总体参数的置信区间八假设检验1.假设检验的基本概念2.单正态总体均值和方差的假设检验。