第3章控制系统的时域分析[3.4]
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自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析
图 3.2(d)所示， δ (t) 函数的定义为
δ
(t)
=
⎧ ⎨
0
⎩∞
t≠0 t=0
(3.6)
∫ ∞ δ (t)dt = 1 −∞
显然， δ (t) 函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常常用实际
脉冲近似地表示理想脉冲。如图 3.2(e)所示，当 ε 远小于被控对象的时间常数时，这种单位 窄脉冲信号常近似地当作 δ (t) 函数来处理。
第 3 章 控制系统的时域分析
·39·
2. 稳态响应
如果一个线性系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一段时间就可以认为它 的过渡过程已经结束，进入了与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态响应。所 以稳态响应是指当 t 趋于无穷大时系统的输出状态。稳态响应表征系统输出量最终复现输 入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。
的单位阶跃响应曲线。典型形状如图 3.1 所示。各项动态性能指标也示于图中。
(1) 延迟时间 td ：指响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间，记作 td ； (2) 上升时间 tr ：指响应曲线首次从稳态值的 10%过渡到 90%所需的时间；对于有振 荡的系统，亦可定义为响应曲线从零首次达到稳态值所需的时间，记作 tr 。上升时间是系
在分析和设计线性控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作
状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。
这种处理方法在许多场合是可行的。在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一
个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，
数代表匀加速度变化的信号，故抛物线函数又称为等加速度函数，如图 3.2(c)所示。单位抛
控制工程基础：第三章 控制系统的时域分析法
xo
(t)
d dt
xo1 (t )
xo (t) (1 tet et ) 2et tet
§3.3 二阶系统的时间响应
二阶系统：（凡是能够用二阶微分方程描述的系统）
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2ns
n2
其中：T 为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。
称为阻尼比；
n＝1/T 为系统的无阻尼固有频率。
二、一阶系统的单位速度响应
G(s) 1 ， Ts 1
xi (t) t
Xi
(s)
1 s2
Xo(s) G(s)Xi(s)
11 Ts 1 s2
1 s2
T s
T
s
1 T
t
xo (t) t T Te T , t 0
x0 (t)
0
稳态响应：t T 瞬态响应：Tet T
§3.2 一阶系统的时间响应
§3.3 二阶系统的时间响应
X 0 (s)
1 s
(s
s n n )2 d2
1 2
(s
d n )2
d2
xo (t)
1 ent
cosdt
e nt 1 2
sin dt
xo (t) 1
e nt (
1 2
1 2 cosdt sin dt)
xo (t) 1
e nt
1 2
s in(d t
§3.3 二阶系统的时间响应
j
n d
n
n 0
d n
p1,2 n n 2 1
极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
x0 (t) Aent sin(dt )
第3章控制系统的时域分析法[3.1-3.3]
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第3章 控制系统的时域分析法 章
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
1 R(s) = s
1 1 C (s) = Φ(s) R(s) = Ts + 1 s
1 1 1 1 1 1 c(t ) = L =L Ts + 1 s s s+ 1 T
稳态分量 瞬态分量
c (t ) = 1 e
峰值时间t p:c ( t ) 达到第一个峰值的时间
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第3章 控制系统的时域分析法 章
动态性能指标
最大超调量 σ %: c max c ( ∞ ) σ% = × 100% c (∞ )
调 节 时 间 t s: 响 应 达 到 允 许 误 差 并 维 持 在 此 范 围 内 所 需 的 时 间 . = 2% 或 = 5%
特点: 特点:
可用时间常数T去度量系统输出量的数值.如当 可用时间常数 去度量系统输出量的数值.如当t=T时, 去度量系统输出量的数值 时 h(T)=0.632;而当 0.632; 分别等于终值的86.5%, 0.632 而当t=2T,3T和4T时, h(.) 分别等于终值的 , 和 时 %, 95%和98.2%.根据这一特点,可用实验方法测定一阶系统的时间常 %.根据这一特点 % %.根据这一特点, 或判定系统是否属于一阶系统. 数,或判定系统是否属于一阶系统.
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第3章 控制系统的时域分析法 章
3.2.1 一阶系统的数学模型
dc (t ) RC + c (t ) = r (t ) dt
d c (t ) T + c (t ) = r (t ) dt dt
C ( s) 1 G ( s) = = R( s ) 1 + Ts
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
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9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
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20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
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21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
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14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
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第3章 控制系统的时域分析法
图 3-6 稳定系统与不稳定系统 (a) 不稳定系统; (b) 稳定系统
第3章 控制系统的时域分析法
在自动控制系统中，造成系统不稳定的物理原因主要是系统 中存在惯性或延迟环节（如机械惯性、电动机电路的电磁惯性、 晶闸管的延迟、齿轮的间隙等），它们使系统中的信号产生时间 上的滞后，使输出信号在时间上较输入信号滞后了τ时间。 当 系统设有反馈环节时，又将这种在时间上滞后的信号反馈到输入 端，如图3-7所示。反馈量中出现了与输入量极性相同的部分， 该同极性的部分便具有正反馈的作用，使系统具备了不稳定的因 素。当滞后的相位过大，或系统放大倍数不适当（例如过大时）， 使正反馈的作用成为主导作用时，系统便会形成振荡而不稳定。 例如，当滞后的相位为180°时，在所有时间上都成了正反馈， 倘若系统的开环放大倍数又大于1， 则反馈量反馈到输入端，经 放大后，又会产生更大的输出， 如此循环， 即使输入量消失， 输出量的幅值也会愈来愈大， 形成增幅振荡，成为如图 3-6(a) 所示的不稳定状况。
它的数学表达式为
其拉氏变换为
1 t 0 1(t) 0 t 0
L[1(t)] L[1] 1 s
在时域分析中，阶跃信号用得最为广泛。如，实际应用中电源的
突然接通、负载的突变、指令的突然转换等均可近似看作阶跃信
号。
第3章 控制系统的时域分析法 图 3-1 单位阶跃信号
第3章 控制系统的时域分析法
中第一列元素均为正值，则系统所有的特征根均位于s左半平面 （所有特征根均具有负实部），相应的系统是稳定的。 否则， 系统是不稳定的，且第一列元素符号改变的次数等于特征方程正 实部根的个数。
例1
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性。
第三章控制系统的时域分析法
阻尼比
无阻尼固有频率
它们是二阶系统的特征参数 体现了系统本身的固有特性
特征方程为
2 s 2 2n s n 0
特征根为
s1,2 n n 2 1
阻尼比取值不同，系统的特征根不相同
二阶系统
欠阻尼系统
无阻尼系统
临界阻尼系统
过阻尼系统
二阶系统
欠阻尼系统
0<ξ<1
s1,2 n jn 1 2
加速度函数
正弦函数
典型输入信号
a lim 脉冲函数 xi (t ) h 0 h 0 (0 t h) (其它)
脉冲函数 阶跃函数 斜坡函数
加速度函数
单位脉冲函数 拉氏变换：
a 1
记为 (t )
xi (t )
L( (t )) 1
h
0
脉冲函数的特点：
幅值极大，持续时间极短
f (t ) e
F ( s)
at
e
at
sin wt
w s 2 w2
cos wt
s s 2 w2
eat sin wt
w
1 sa
1 sa
s a
2
w2
查拉氏变换表，得时间响应： xo (t ) n sin n t
1 sa
1 sa
2 cos wt e sin wt 1 d n w s 有阻尼固有频率 2 2 s w 2 s a w2
at
n xo (t ) e t sin d t 1 2
n
查拉氏变换表，得时间响应
二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应
【1】 当0<ξ<1时
控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
⑵ 无阻尼 0 无阻尼时，二阶系统的特征根为两个共轭纯虚根，根 s1,2 jn 如图所示。
无阻尼状态下的闭环极点
故 h t 1 cos nt
n 2 1 1 s H s 2 s n 2 s s s 2 n 2
第三章 控制系统的时域分析
在建立了系统数学模型（动态微微分方程、传递函数） 的基础上，就可以分析评价系统的动静（暂、稳） 态特性，并进而寻求改进系统性能的途径。 经典控制理论中，时域分析法、根轨迹法、频率特性 法是分析控制系统特性常用的三种方法，其中的时 域分析法适用于低阶次（三阶以下）系统，比较准 确直观，又称直接分析法，可提供输出响应随时间 变化的全部信息。 时域分析法就是一种在给定输入条件下，分析系统输 出随时间变化的方法，通常用暂态响应性能指标来 衡量。
第三章 控制系统的时域分析
3.3 一阶系统的动态响应 用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一些控制 元部件及简单系统如RC网络、液位控制系统都可用 一阶系统来描述。 一阶系统的传递函数为：
C s 1 G s R s Ts 1
其中 T称为一阶系统的时间常数，它是唯一表征一阶 系统特征的参数，所以一阶系统时间响应的性能指 标与 密切相关。一阶系统如果作为复杂系统中的一 个环节时称为惯性环节。
当初始条件为零时，则有
上式表明，对系统的斜坡响应求导得系统的阶跃响应，对系统的阶跃响 应求导即为系统的脉冲响应。对于线形定常数系统上述结论均成立， 即系统对输入信号导数（或积分）的响应，等于系统对输入信号响应 的导数（或积分）。
第三章 控制系统的时域分析
3.4 二阶系统的动态响应
为了兼顾控制系统的稳定性和快速性相矛盾 的瞬态指标，我们总希望系统阶跃响
第三章控制系统的时域分析
1 1
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上式中右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单 位阶跃信号的幅值。第二项是瞬态分量，当 t∞时，瞬态 分量趋于零。x0(t)随时间 t 变化的曲线如图3.3(a)所示，是 一条按指数规律单调上升的曲线。这一指数曲线在 t=0 那一 点的切线斜率等于1/T ，因为：
控 制 工 程 基 础
3.2 一阶系统的时间响应 3.2.1 一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其方程的 一般 形式为： （3.16） Tx0 (t ) x0 (t ) xi (t )
其传递函数为：
X 0 ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts 1
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控 制 工 程 基 础
3.1.2 典型输入信号
研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作 用下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系 统对输入信号如何产生影响。
在分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能 进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统随 这些输入信号的响应。
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（3.17）
式中，T为时间常数，具有时间单位“秒”的量纲。对于不 同的系统，T由不同的物理量组成。它表达了一阶系统本身 的与外界作用无关的固有特性，亦即为一阶系统的特征参 数。从上面的表达式可以看出，一阶系统的典型形式是惯 性环节，T是表征系统惯性的一个主要参数。
控 制 工 程 基 础
3.2.3一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统输入信号为单位脉冲信号δ(t)时，输入信 号的拉氏变换为：
Xi(s) L (t ) 1
单位脉冲响应为：
W (s) X 0 (s) G(s) X i (s) G(s)
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上式中右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单 位阶跃信号的幅值。第二项是瞬态分量，当 t∞时，瞬态 分量趋于零。x0(t)随时间 t 变化的曲线如图3.3(a)所示，是 一条按指数规律单调上升的曲线。这一指数曲线在 t=0 那一 点的切线斜率等于1/T ，因为：
控 制 工 程 基 础
3.2 一阶系统的时间响应 3.2.1 一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其方程的 一般 形式为： （3.16） Tx0 (t ) x0 (t ) xi (t )
其传递函数为：
X 0 ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts 1
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3.1.2 典型输入信号
研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作 用下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系 统对输入信号如何产生影响。
在分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能 进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统随 这些输入信号的响应。
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（3.17）
式中，T为时间常数，具有时间单位“秒”的量纲。对于不 同的系统，T由不同的物理量组成。它表达了一阶系统本身 的与外界作用无关的固有特性，亦即为一阶系统的特征参 数。从上面的表达式可以看出，一阶系统的典型形式是惯 性环节，T是表征系统惯性的一个主要参数。
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3.2.3一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统输入信号为单位脉冲信号δ(t)时，输入信 号的拉氏变换为：
Xi(s) L (t ) 1
单位脉冲响应为：
W (s) X 0 (s) G(s) X i (s) G(s)
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因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统 不稳定，有两个正实部根。
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第3章 控制系统的时域分析法
两种特殊情况：
(1) 劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余 各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使 计算下一行第一元素时出现无穷现象。 解决的办法是以一个很小的正数 代替为零的该项， 继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号 有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平 面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一 列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则 表示该方程有一对共轭虚根(complexconjugate root)存在，相应的系统也属不稳定。
临界稳定marginally stable/critical stable
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第3章 控制系统的时域分析法
•
•
稳定性是表征系统在 扰动撤消后自身的一 种恢复能力，因而它 是系统的一种固有的 特性。 指系统在扰动消失后， 由初始偏差状态恢复 到原平衡状态的性能。
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第3章 控制系统的时域分析法
3.4.3 劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
• 由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具 有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解 特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负 实部的问题。 • 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希 望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征 方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部 的符号（间接的方法）。
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第3章 控制系统的时域分析法
线性控制系统稳定性的定义为：
• 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随 时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工 作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定； • 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散， 则称系统不稳定； • 若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不 能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的 某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。
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第3章 控制系统的时域分析法
例3-4 设系统的特征方程为 s 3 3s 2 0 试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。 解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数 为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有 一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。 为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用 劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表
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第3章 控制系统的时域分析法
例3-2 已知三阶系统特征方程为
as3 bs2 cs d 0
判断系统稳定的充要条件。 解：列劳斯表为
s3 s2 s1 s0 a b bc ad b d c d 0 0 0 0
根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均 为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于 零，且bc>ad。
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第3章 控制系统的时域分析法
综上所述，线性系统 稳定的充分必要条件 是： 闭环系统特征方程 的所有根均具有负实 部。或者说，闭环传 递函数的极点均严格 位于s左半平面。 右半平面 right-half plane 左半平面 left-half plane
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第3章 控制系统的时域分析法
设系统的特征方程式为
a0 s n a1 s n1 a 2 s n2 a n 1 s a n 0
将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn s n1 s n2 s n 3 s2 s1 s0 d1 e1 f1 d2 e2 d3 a0 a1 a a a 0 a3 b1 1 2 a1 b a a b c1 1 3 1 2 b1 a2 a3 a a a 0 a5 b2 1 4 a1 b a a b c2 1 5 1 3 b1 a4 a5 a a a0 a7 b3 1 6 a1 b a a b c3 1 7 1 4 b1 a6 a7 b4
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第3章 控制系统的时域分析法
由劳斯表的结构可知，劳斯表有 (n 1) 行，第一、二 行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯 表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表 第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根 在s平面上的具体分布，其结论是： (1) 如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征 方程式的根都在s的左半平面(left-half plane)， 相应的系统是稳定的。 (2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系 统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式 的根在的s右半平面(right-half plane)上的个数。
s3 s2 s1 s0 1 0( ) 3 2 3 0 2 0
2
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第3章 控制系统的时域分析法
由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化 了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s 的右半平面。
若用因式分解的方法，把原方程改写为
s 3 3s 2 ( s 1) 2 ( s 2) 0
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第3章 控制系统的时 1 1 、 2 2 、… 为复数根。其中，P1、P2、…和 1 、 2 、…都 为正值，则式(3-57)改写为
a0 {( s p1 )( s p2 ) [( s 1 j1 )( s 1 j1 )] [( s 2 j 2 )( s 2 j 2 )] } 0
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第3章 控制系统的时域分析法
由式(3-56)可见， • 若系统的特征根全部为负实部(negative real part)根，则式(3-52)成立，系统稳定； • 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的 共轭复根，式(3-53)成立，系统不稳定； • 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特 征根具有负实部，式(3-54)成立，系统临界稳定。 虚部 imaginary part 负实部 negative real part 复数根 complex root 实根 real root
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第3章 控制系统的时域分析法
• 注意： • 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时， 系统输出必为有界函数。 • 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入 信号作用下，系统的输出信号将随时间的 推移而发散。
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第3章 控制系统的时域分析法
3.4.2 系统稳定的必要条件
对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应为
g (t ) Aj e
j 1 q p jt
( Bk e knk t cos nk 1 k2t Ck e knk t sin nk 1 k2t
k 1
r
t≥0
(3-56)
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(3-55)
式中， q 2r n
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第3章 控制系统的时域分析法
式(3-55)用部分分式展开，得
C (s)
q
Aj
j 1 s p j
k 1
r
Bk ( s k nk ) C k nk s 1 k2
2 s 2 2 k nk s nk
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第3章 控制系统的时域分析法
• 如果 t 则系统是不稳定的。 lim g (t ) k • 如果 t 则系统是临界稳定的。
lim g (t )
(3-53)
(3-54)
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第3章 控制系统的时域分析法
由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统 的复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉 氏变换。 令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数 极点，则其传递函数可写为
C (s) K ( s zi )
i 1 2 ( s p j ) ( s 2 2 k nk s nk ) j 1 k 1 q r m
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第3章 控制系统的时域分析法
例3-3 设系统特征方程为 s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0 使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出 该特征方程的正实部根的数目。 解：列劳斯表如下 s4 1 3 5
s3 s2 s1 s0 2 1 6 5 4 5
由上式解得s1,2=1，s3=–2，从而验证了上式用劳 斯判据所得的结论的正确性。
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
(2) 如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中 含有一些大小相等、符号相反的实根(real root) 和(或)共轭虚根。 对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构 造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导， 用导数的系数来代替表中系数为全零的行。 如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。 辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、 符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式 求出。
即
a 0 [( s p1 )( s p 2 ) ( s 2 2 1 s 12 12 ) ( s 2 2 s ) ] 0
2 2 2 2 2