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创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：抛物线

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高考数学一轮总复习 课时作业55 抛物线(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

高考数学一轮总复习 课时作业55 抛物线(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

课时作业55 抛物线一、选择题1．已知抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，若p ＝2，则其标准方程为( C ) A ．y 2＝－2x B ．x 2＝－2y C ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y解析：由题意知抛物线开口向左，且p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝－4x ，故选C ． 2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D ．3．(2020·某某省五校联盟质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，12)在C 上，且|PF |＝34，则p ＝( B ) A ．14B ．12C ．34D ．1解析：抛物线的准线方程为y ＝－p 2，因为P (x 0，12)在抛物线上，所以点P 到准线的距离d ＝12＋p 2＝|PF |＝34，则p ＝12，故选B ．4．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＝－2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( B )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(0,4)解析：由题意得抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且与抛物线的准线相切，所以动圆必过抛物线的焦点，即过点(2,0)．故选B ．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A (4，y 0)作AA 1⊥l 于点A 1，若∠A 1AF ＝2π3，则p ＝( C ) A ．6 B ．12 C ．24D ．48解析：∵∠A 1AF ＝2π3，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1＝π6.设准线l 与x 轴的交点为B ， 则|BF |＝p ，|A 1B |＝|BF |tan π6＝33p ，∴|AF |＝|A 1B |sin π3＝2p 3＝4＋p2， ∴p ＝24，故选C ．6．已知点F 是抛物线y ＝2x 2的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝174，则线段MN 的中点的纵坐标为( B )A ．32B ．2C ．52D ．3解析：∵F 是抛物线y ＝2x 2的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫0，18，准线方程为y ＝－18.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|MF |＋|NF |＝y 1＋18＋y 2＋18＝174，解得y 1＋y 2＝4，∴线段MN 的中点的纵坐标为y 1＋y 22＝2.故选B ．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF ||FM |等于( A )A ．1 2B ．1 3C ．12D ．13解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，M (2,22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22(x －1)，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF ||MF |＝12，故选A ．8．(2020·某某市模拟)已知过抛物线y 2＝42x 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为( A )A ．12 3B ．12C ．8 3D ．6 3解析：不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，过点B 作BD ⊥AM ，交AM 于点D ，过点B 作BN ⊥l ，垂足为N ，则|AD |＝|AM |－|MD |＝|AF |－|FB |＝2|FB |，|AB |＝|AF |＋|FB |＝4|FB |，所以|AD |＝12|AB |，在Rt △ABD 中，|AD |＝12|AB |，则∠BAD ＝60°，所以∠AFx ＝60°，所以k AB ＝3，则直线AB ：y ＝3(x －2)，代入y 2＝42x ，得[3(x －2)]2＝42x ，即3x 2－102x ＋6＝0，解得x 1＝32，x 2＝23，则x A ＝32，y A ＝26，则四边形AMCF 的面积为12×(42＋22)×26＝123，故选A ．二、填空题9．(2019·卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.解析：因为抛物线的标准方程为y 2＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.10．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF解析：设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝4，故x 0＝3，所以y 0＝±2 3.又F (1,0)，所以S △PFO ＝12×23×1＝ 3.11．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与其准线交于点M ，且FM →＝3FP →，则|FP →|＝43.解析：过P 点作准线的垂线，垂足为H ，则|PH |＝|PF |，由FM →＝3FP →有|MP ||MF |＝23，所以|PH |p＝|PH |2＝|MP ||MF |＝23，解得|PH |＝43，所以|FP →|＝|PH |＝43.12．(2020·某某省五市十校联考)已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则|MN |的最小值为解析：设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由直线l 经过C 的焦点(p 2，0)，得2×p2＋b ＝0，所以b ＝－p ，直线l 的方程为y ＝2x －p .联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －p ，y 2＝2px ，消去y 得，4x 2－6px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝6p 4＝3p 2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p2＝5，得p ＝2，即抛物线C ：y 2＝4x ，设M (y 204，y 0)，则|MN |＝(y 204－3)2＋y 20＝y 4016－y 202＋9＝116(y 20－4)2＋8≥8＝22，当且仅当y 20＝4，即y 0＝±2时取等号，所以|MN |的最小值为2 2. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.∴F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.15．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值X 围为[1，＋∞)．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)， CB →＝(a －x 0，a －x 20)．∵CA ⊥CB ，∴CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，整理得(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0.∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1.16．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解：(1)设D (t ，－12)，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点(0，12)．(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， 设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12)．由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋(y －52)2＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2， 所求圆的方程为x 2＋(y －52)2＝2.。

高考数学(苏教版文)一轮配套学案：抛物线

高考数学(苏教版文)一轮配套学案：抛物线

第8讲抛物线知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：MF＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝14，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟·提升]1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3)．考点一抛物线的定义及其应用【例1】(2013·江西卷改编)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________.解析如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由△MHN∽△FOA，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5，即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.答案1∶ 5规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】(2014·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P 在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|P A|＋|PM|的最小值是________．解析将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.答案9＋a2－1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】(2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF||AF|＝3，则此抛物线的方程为________．解析如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|K F|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.答案y2＝3x规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】 (2014·兰州一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1.圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝m 2＋14，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，半径为m 2＋12.所以圆心到直线的距离为1，即m 2＋12＝1，解得m ＝±3. 答案 ±3考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】 已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC→＝CP →， (1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )；则AB→＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )， BC→＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )． ∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.① 由BC →＝CP →，得⎩⎨⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)， 由QM →·QN→＝97， 得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.②将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2＞0，即－24＜k ＜24，由求根公式得：x ＝8k －2±1－8k 2k 2则x 1＋x 2＝16k 2－4k 2，x 1x 2＝64.代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k 2＋1＋64k 2＝97.整理得k 2＝14，∴k ＝±12. ∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， ∴这样的直线l 不存在．规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到求根公式；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【训练3】 (2012·新课标全国卷)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点． (1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4 2，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|F A|＝2p. 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD的面积为4 2，所以12|BD|·d＝4 2，即12·2p·2p＝4 2，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|F A|＝12|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－2 33px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p 6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p2或|PF |＝|y |＋p2，它们在解题中有重要的作用，注意运用．教你审题9——灵活运用抛物线焦点弦巧解题【典例】 已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点❶，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.❷ (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，❸若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题] 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解．二审：由点C 为抛物线上一点，可设出C 点坐标，利用O C →＝O A →＋λ O B →表示出点C 坐标，将点C 坐标代入抛物线方程求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，x ＝5p ±3p 8所以x 1＋x 2＝5p4， 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[反思感悟] (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)，1|AF |＋1|BF |＝2p 这些结论，就会带来意想不到的效果．(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现． 【自主体验】1．(2012·安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析 法一 由1|AF |＋1|BF |＝2p .得|BF |＝32. 法二 设∠BFO ＝θ，则⎩⎪⎨⎪⎧|AF |＝p ＋|AF |cos θ，|BF |＝p －|BF |cos θ，由|AF |＝3，p ＝2，得cos θ＝13，∴|BF |＝32. 答案 322．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.解析 由1|AF |＋1|BF |＝2p ＝2及|AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，得|AF |·|BF |＝2524，再由⎩⎪⎨⎪⎧|AF |＋|BF |＝2512，|AF |·|BF |＝2524，解得|AF |＝56，|BF |＝54. 答案 56基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________． 解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 22．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 答案 x 2＝12y3．(2014·济宁模拟)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p 的值为________．解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2.答案 24．(2013·四川卷改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是________．解析 由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2,0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1. 答案 15．(2014·潍坊一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|A K |＝2|AF |，则A 点的横坐标为________．解析 抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p 2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|A K |＝2|AF |＝2|AM |，即|K M |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3.答案 36．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x 0＝________.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案 37．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为________．解析 法一 由|AF |＝3|BF |，得AF →＝3FB →，而F 点坐标为(1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x A ＝3(x 0－1)，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)，因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，(－3y 0)2＝4(4－3x 0)，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3. 则过点F 的直线方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．法二 结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 求解，设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3，又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1，∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p sin 2θ，∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.答案 y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．答案 2 6二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0. ∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26 或⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则准线方程为x ＝p 2，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M 点到准线的距离，所以有p 2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，又∵点M (－3，m )在抛物线上，故m 2＝(－8)×(－3)，∴m ＝±2 6.10．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB→是一个定值． (1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为x ＝－1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝k y ＋1，由⎩⎨⎧x ＝k y ＋1，y 2＝4x得y 2－4k y －4＝0，∴y ＝4k ＋2k 2＋1 ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(k y 1＋1)(k y 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB→是一个定值． 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y .答案 x 2＝16y2．(2014·洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案 5－13．(2014·泰州二模)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝y A －1－1，所以y A ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.答案 4二、解答题4．(2014·台州质量评估)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求∠DB K 的平分线与y 轴的交点坐标． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝k x －1，由⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 2＝4y得x 2－4k x ＋4＝0，x ＝2k ±2k 2－1从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)， 即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上． (2)解 因为F A →·FB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0.又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±437，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DB K 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DB K 的平分线与y 轴的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19.。

2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义：第九章 第七节 抛物线 含答案

2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义：第九章 第七节 抛物线 含答案

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x2＋y＝0的准线方程为________．解析：∵抛物线的标准方程为x2＝－12y，∴2p＝12，∴p2＝18，故准线方程为y＝18.答案：y＝1 82．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ，又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点．常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3. 由⎩⎨⎧ y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p 3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝⎛⎭⎫p ＝－32舍去. 答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝⎛⎭⎫y22p ，y . [提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝⎛⎭⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q . (1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q (－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20 ＝－4p (－4p ＋2pmy 0＋y 20)－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2， 故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8. 答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCF S △ACF＝________.解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12. 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝⎛⎭⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝⎛⎭⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45.答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p 24＝0， 解得x 1＝3p 2，x 2＝p6， 所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB 过焦点F时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2.所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1，∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4，∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10. 答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2.所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x2)．。

高考数学一轮复习苏教版(理)抛物线名师精编教案(江苏专用)

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第50课抛物线[最新考纲]1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．1516 [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.] 3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．y ＝－1 [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．(1,0) [抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9，∴点M 到y 轴的距离为9.]00C 上一点，AF＝54x 0，则x 0＝________. (2)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC ＋BD 的最小值为__________．(1)1 (2)2 [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12， 因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝AF . 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由y 2＝4x ，知p ＝2，焦点F (1,0)，准线x ＝－1. 根据抛物线的定义，AF ＝AC ＋1，BF ＝BD ＋1. 因此AC ＋BD ＝AF ＋BF －2＝AB －2.所以AC ＋BD 取到最小值，当且仅当AB 取得最小值， 又AB ＝2p ＝4为最小值． 故AC ＋BD 的最小值为4－2＝2.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得PF ＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则QF ＝________.【导学号：62172274】3 [∵FP →＝4 FQ →， ∴FP ＝4FQ ， ∴PQ PF ＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则AF ＝4， ∴PQ PF ＝QQ ′AF ＝34， ∴QQ ′＝3.根据抛物线定义可知QF ＝QQ ′＝3.]顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．图50-1[解] 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x . [规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] 写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点与双曲线3x 2－y 2＝3的一个焦点重合； (2)焦点到准线的距离为3.[解] (1)∵双曲线3x 2－y 2＝3的焦点坐标为(±2,0)， 当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝8x ； 当焦点坐标为(－2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝－8x . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝±8x .(2)由题意可知p ＝3，故2p ＝6，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±6x 或x 2＝±6y .11x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF 为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：62172275】[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2 ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式， 得1AF ＋1BF ＝ABp 24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD)＝12(AF ＋BF ) ＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[规律方法] 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：AB ＝x 1＋x 2＋p ，其中A ，B 为焦点弦的两个端点．[变式训练3] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．322 [由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4. ∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.][思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．课时分层训练(五十)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． (1,0) [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．3 [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：62172276】32 [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 又y 2＝4x 的焦点F (1,0)， ∴焦点F 到直线的距离d ＝3(3)2＋(－1)2＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________．y 2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2. 所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为__________．8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)． ∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.]7．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x ＝－2 [由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2， 于是抛物线的准线x ＝－2.]8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：62172277】5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连结AF 交抛物线于点P ，此时最小值为AF ＝[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.]9．如图50-2，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝__________.图50-22＋1 [由题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b a ＝2＋1(舍去2－1)．]10．(2017·徐州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________. 23 [y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2.由于△ABF 为等边三角形．因此不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 3. 又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.]11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________．－4 [①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.]12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________. 【导学号：62172278】y 2＝4x 或y 2＝16x [由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)．则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2. 由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由MF ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧ y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ，∴AB ＝212＋32＝12.]2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵AB ＝42，DE ＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3．(2017·南京模拟)如图50-3，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．图50-3y 2＝3x [如图，分别过A ，B 作AA1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .]4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________． 23 [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12OF |y 0|＝12×2×26＝2 3.] 5．(2017·南通调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则PQ ＋PN 的最小值为________．3 [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则PQ ＋PN 的最小值等于MH －1＝3.]6．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]。

最新江苏高考数学文科一轮创设计总复习训练9.8抛物线(含答案解析)

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第8讲 抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 22．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .答案 x 2＝12y3．(2014·济宁模拟)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p 的值为________．解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2. 答案 24．(2013·四川卷改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是________． 解析 由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2,0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1. 答案 15．(2014·潍坊一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|A K |＝2|AF |，则A 点的横坐标为________．解析 抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p 2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|A K |＝2|AF |＝2|AM |，即|K M |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3. 答案 36．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x 0＝________.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案 37．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为________．解析 法一 由|AF |＝3|BF |，得AF →＝3FB →，而F 点坐标为(1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x A ＝3(x 0－1)，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)，因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，(－3y 0)2＝4(4－3x 0)，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3. 则过点F 的直线方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．法二 结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 求解，设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3，又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1，∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p sin 2θ，∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.答案 y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．答案 2 6二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0. ∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26 或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6. ∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则准线方程为x ＝p 2，由抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离，所以有p 2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，又∵点M (－3，m )在抛物线上，故m 2＝(－8)×(－3)，∴m ＝±2 6.10．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB→是一个定值． (1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为x ＝－1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝k y ＋1，由⎩⎨⎧x ＝k y ＋1，y 2＝4x得y 2－4k y －4＝0，∴y ＝4k ＋2k 2＋1 ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(k y 1＋1)(k y 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB→是一个定值． 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y .答案 x 2＝16y2．(2014·洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案 5－13．(2014·泰州二模)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝y A－1－1，所以y A ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.答案 4二、解答题4．(2014·台州质量评估)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求∠DB K 的平分线与y 轴的交点坐标． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝k x －1，由⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 2＝4y得x 2－4k x ＋4＝0， x ＝2k ±2k 2－1从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)， 即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上． (2)解 因为F A →·FB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0.又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±437，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DB K 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )，则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DB K 的平分线与y 轴的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19.。

高考数学(理科)一轮复习抛物线学习型教学案附答案

高考数学(理科)一轮复习抛物线学习型教学案附答案

高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案53 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2pyp的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点o对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是A．1B．2c．4D．82．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为A．－2B．2c．－4D．43．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是A．y2＝－8xB．y2＝8xc．y2＝－4xD．y2＝4x4．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2c．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|&#8226;|FP3|5．已知抛物线方程为y2＝2px，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B 分别作Am、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于m、N两点，那么∠mFN必是A．锐角B．直角c．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A.14，－1B.14，1c．D．探究点二求抛物线的标准方程例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点m到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；过点P．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；若直线Ao与抛物线的准线相交于点c，求证：Bc∥x轴．变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px的焦点弦，F为抛物线的焦点，A，B．求证：x1x2＝p24；1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例过抛物线y2＝2px焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设o为坐标原点，问：是否存在实数λ，使Ao→＝λoD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→.抛物线方程为y2＝2px，则Fp2，0，准线l：x＝－p2，当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p.∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴Ao→＝－p2，－p，oD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使Ao→＝λoD→.[4分]当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2，设A，B，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，由y＝kx－p2y2＝2px 得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]Ao→＝＝－y212p，－y1，oD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使Ao→＝λoD→.综上所述，存在实数λ，使Ao→＝λoD→.[12分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出Ao→和oD→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设A，B，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．一、选择题．已知抛物线c：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与c交于A，B两点，则cos∠AFB等于A.45B.35c．－35D．－452．将两个顶点在抛物线y2＝2px上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A．n＝0B．n＝1c．n＝2D．n≥33．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A．相离B．相交c．相切D．不确定4．已知点A，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是A.－14，1B．c.－14，－1D．5．设o为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若oA→&#8226;AF→＝－4，则点A的坐标为A．B．c．D．二、填空题6．设圆c位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域内，则圆c的半径能取到的最大值为________．7．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为m，则|AB|＝________.8．设抛物线y2＝2px的焦点为F，点A．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y ＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线c：x2＝8y.AB是抛物线c的动弦，且AB过F，分别以A、B为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．已知定点F和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点c.求动点c的轨迹方程；过点F的直线l2交轨迹c于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→&#8226;RQ→的最小值．学案53 抛物线自主梳理．相等焦点准线自我检测．c2．B [因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.] 3．B 4.c 5.B课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6&gt;2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为．变式迁移1 A [点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q 三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.]例2 解题导引求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；待定系数法求抛物线方程时既要定位，又要定量．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2.∵m在抛物线上，且|mF|＝5，∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作mN⊥l，垂足为N.则|mN|＝|mF|＝5，而|mN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝×，得m＝±26.变式迁移2 解双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为，由题意设抛物线方程为y2＝－2px且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x.由于P在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质为例)：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p.证明方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为、．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.当k＝0时，方程只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.综合两种情况，总有y1y2＝－p2.方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A，B，则A、B坐标满足x＝ky＋p2，y2＝2px，消去x，可得y2＝2pky＋p2，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.直线Ac的方程为y＝y1x1x，∴点c坐标为－p2，－py12x1，yc＝－py12x1＝－p2y12px1.∵点A在抛物线上，∴y21＝2px1.又由知，y1y2＝－p2，∴yc＝y1y2&#8226;y1y21＝y2，∴Bc∥x轴．变式迁移3 证明∵y2＝2px的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2，由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.∴y1y2＝－p2，x1x2＝&#61480;y1y2&#61481;24p2＝p24，当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24.因此，x1x2＝p24恒成立．1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2&#61480;x1＋x2&#61481;＋p24.又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．课后练习区．D [方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.令B，A，又F，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|&#8226;|AF|＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二由方法一得A，B，F，∴FA→＝，FB→＝，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA→&#8226;FB→|FA→|&#8226;|FB→|＝3×0＋4×&#61480;－2&#61481;5×2＝－45.]2．c [如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，设A，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|.又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①∴Δ＝2－4×p24＝48p2&gt;0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p&gt;0，m1&#8226;m2＝p24&gt;0，∴m1&gt;0，m2&gt;0，∴n＝2.]3．c4．A [过P作Pk⊥l于k，则|PF|＝|Pk|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|Pk|.∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|Pk|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x ＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．] 5．B6.6－1解析如图所示，若圆c的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为，则圆的方程为2＋y2＝2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝2－4＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－＝6－1.7．42解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.又∵y1＋y2＝k＋2m＝4，∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|om|＝42.8.324解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.9．解设直线和抛物线交于点A，B，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，4x2－x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5&#8226;&#61480;x1＋x2&#61481;2－4x1x2＝5&#8226;p－222－4×14＝15，则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6，抛物线方程为y2＝12x.当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px，仿不难求出p＝2，此时抛物线方程为y2＝－4x.综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.0．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A，B．由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1&#8226;14x2＝116x1&#8226;x2＝－1.所以AQ⊥BQ.1．解由题设点c到点F的距离等于它到l1的距离，所以点c的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y.由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.记P，Q，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为－2k，－1.RP→&#8226;RQ→＝x1＋2k，y1＋1&#8226;x2＋2k，y2＋1＝x1＋2kx2＋2k＋＝x1x2＋2k＋2k＋4k2＋4＝－4＋4k2k＋2k＋4k2＋4＝4k2＋1k2＋8，∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→&#8226;RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→&#8226;RQ→的最小值为16.。

江苏省高考数学一轮复习 试题选编25 抛物线 苏教版

江苏省高考数学一轮复习 试题选编25 抛物线 苏教版

江苏省2014届一轮复习数学试题选编25：抛物线填空题1 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线L交抛物线于点A 、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_____________.【答案】23y x =2 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）在平面直角坐标系xOy 中,已知焦点为F 的抛物线y 2=2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15,则线段PF 的长为_____.【答案】723 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）若抛物线28y x =的焦点与双曲线221x y m-=的右焦点重合,则双曲线的离心率为______. 【答案】2334 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知圆C 的圆心为抛物线x y 42-=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切,则圆C 的标准方程为____. 【答案】22(1)4x y ++=;5 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为______.【答案】()121122=⎪⎭⎫⎝⎛-+±y x ;6 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦 点到准线的距离为______.【答案】47 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）设点P 是曲线y =x 2上的一个动点,曲线y =x2在点P 处的切线为l ,过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y =x 2的另一交点为Q ,则PQ 的最小值为________.【答案】3 328 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））抛物线2y x =准线方程为_________________________________. 【答案】14x =-9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））抛物线2x =4y 的准线方程为___________________. 【答案】1y =- 解答题10．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,已知抛物线xy C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率; (2) 求ATF ∠的最大值.【答案】⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ,(1,0)T -.当l x ⊥轴时,(1,2)A ,(1,2)B -,此时0TA TB =u u r u u r g ,与1TA TB =u u r u u r g矛盾,所以设直线l 的方程为(1)y k x =-,代入24y x =,得2222(24)0k x k x k -=++,则212224k x x k=++,121x x =, ①所以2212121616y y x x ==,所以124y y =-,② 因为1TA TB =u u r u u r g ,所以1212(1)(1)1x x y y =+++,将①②代入并整理得,24k =,所以2k =±⑵因为10y >,所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤,当且仅当1114y y =,即12y =时,取等,所以4ATF π∠≤,所以ATF ∠的最大值为4π11．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,已知定点R (0,-3),动点P ,Q 分别在x 轴和y 轴上移动,延长PQ 至点M ,使12PQ QM =u u u r u u u u r,且0PR PM ⋅=u u u r u u u u r.(1)求动点M 的轨迹C 1;(2)圆C 2: 22(1)1x y +-=,过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ,D 两点(从左到右),交C 2于B ,C 两点(从左到右),求证:AB CD ⋅u u u r u u u r为定值.【答案】解:(1)法一:设M (x ,y ),P (x 1,0),Q (0,y 2),则由10,2PR PM PQ QM ⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r及R (0,-3),得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简,得24x y = 所以,动点M 的轨迹C 1是顶点在原点,开口向上的抛物线 法二:设M (x ,y ). 由12PQ QM =u u u r u u u u r ,得 (,0),(0,)23x yP Q -.（第22题）所以,3(,3),(,)22x xPR PM y =-=u u u r u u u u r .由0PR PM =u u u r u u u u r g ,得 3(,3)(,)022x x y -⋅=,即23304x y -=.化简得 24x y =所以,动点M 的轨迹C 1是顶点在原点,开口向上的抛物线(2)证明:由题意,得 AB CD AB CD ⋅=⋅u u u r u u u r,⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F . 设11(,)A x y ,22(,)D x y ,则1111AB FA FB y y =-=+-= 同理 2CD y =.设直线的方程为 (1)x k y =-.由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-,即2222(24)0k y k y k --+=. 所以,121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==u u u r u u u r12．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅(O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥ (2)若2-=,求AB 所在直线方程.【答案】抛物线y x 22-=上有两点),().,(2211y x B y x A 且)2,0(,0-==⋅(O 为坐标原点)(1)求证:AM ∥ (2)若2-=,求AB 所在直线方程.13．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）过直线1y =-上的动点(,1)A a -作抛物线2y x =的两切线,AP AQ ,,P Q 为切点.(1)若切线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,求证:12k k ⋅为定值; (2)求证:直线PQ 过定点.【答案】(1)设过A 作抛物线2y x =的切线的斜率为k ,则切线的方程为1()y k x a +=-, 与方程2y x =联立,消去y ,得012=++-ak kx x . 因为直线与抛物线相切,所以0)1(42=+-=∆ak k , 即0442=--ak k . 由题意知,此方程两根为21,k k , 所以124k k =-(定值)(2)设1122(,),(,)P x y Q x y ,由2y x =,得x y 2'=.所以在P 点处的切线斜率为:1'2|1x y x x ==,因此,切线方程为:)(2111x x x y y -=-.由211y x =,化简可得,1120x x y y --=.同理,得在点Q 处的切线方程为2220x x y y --=.因为两切线的交点为(,1)A a -,故11210x a y -+=,22210x a y -+=.所以Q P ,两点在直线210ax y -+=上,即直线PQ 的方程为:210ax y -+=. 当0=x 时,1y =,所以直线PQ 经过定点(0,1)14．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知抛物线21:1C y x =+和抛物线22:C y x a =--在交点处的两条切线互相垂直,求实数a 的值.【答案】15．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC 是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内),D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,x 轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?(注:飞行距离指点C 与点E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)【答案】解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为2000()f x a x b x c =++,依题意: 00000004,420,931,c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得,01a =,04b =-,04c =,∴助跑道所在的抛物线方程为2()44f x x x =-+ (Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为2()g x ax bx c =++(0a <), 依题意:(3)(3),'(3)'(3),f g f g =⎧⎨=⎩得931,62,a b c a b ++=⎧⎨+=⎩解得26,95,b a c a =-⎧⎨=-⎩∴22311()(26)95()1a g x ax a x a a x a a-=+-+-=-+-, 令()1g x =得,22311()a x a a--=,∵0a <,∴31123a x a a a -=-=-,当31a x a -=时,()g x 有最大值为11a-,则运动员的飞行距离2233d a a=--=-,飞行过程中距离平台最大高度1111h a a=--=-,依题意,246a ≤-≤,得123a≤-≤,即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间16．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，过抛物线2:4C y x =上一点P （1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y （1）求12y y +的值；（2）若120,0y y ≥≥，求PAB ∆面积的最大值。

【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8-8抛物线随堂训练 文 苏教版

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第8课时 抛物线一、填空题1．(苏州市高三教学调研)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为________． 答案：22．(扬州市高三期末调研)已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则 抛物线的焦点坐标为________．解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，双曲线的左准线x ＝－a 2c ＝－22＝－1，则－p2＝－1，p ＝2，∴抛物线的焦点坐标为F (1,0)．答案：(1,0)3．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2c＝－1ca ＝3c 2＝a 2＋b2，解得，a 2＝3，b 2＝6，c 2＝9，故得所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.答案：x 23－y 26＝14．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________． 解析：由抛物线y ＝ax 2－1的焦点坐标为(0，14a －1)为坐标原点得，a ＝14，则y ＝14x 2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为12³4³1＝2. 答案：25． 已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________． 解析：由y 2＝8x 知2p ＝8，p ＝4，设B 点坐标为(x B ，y B )，由AB 直线过焦点F 知8y B ＝－16，则y B ＝－2，∴x B ＝12.∴线段AB 中点到准线的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋122＋2＝254. 答案： 2546．(江苏南通模拟)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，F 为焦点，A ，B ，C为抛物线上的三点，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝6，则抛物线的方程为________． 解析：由题意可设抛物线的方程为：y 2＝2px (p ＞0)，则F ( p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 2，y 2)，∴FA →＝(x 1－p 2，y 1)，FB →＝(x 2－p 2，y 2)，FC →＝(x 3－p 2，y 3)，∵FA →＋FB →＋FC →＝0，∴(x 1－p 2)＋(x 2－p 2)＋(x 3－p 2)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3p2① 又FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝6， 由抛物线的定义知：x 1＋x 2＋x 3＋3p2＝6② 由①②得p ＝2，∴y 2＝4x . 答案：y 2＝4x7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知点M 为抛物线x 2＝2py (p >0)上一点，若点M 到抛物线的焦点F 的距离为2p ，则直线MF 的斜率为________．解析：如图，过点M 向抛物线的准线作垂线MN ，过点F 向MN 作垂线FQ ，由抛物线的定义得MN =MF =2p ，∴MQ =p ，∴∠MFQ =30°，∴直线MF 的倾斜角为150°，直线MF 的斜率为，再根据抛物线的对称性可知，直线MF 的斜率还可以是，∴直线MF的斜率是.答案：二、解答题8．一个正三角形的顶点都在抛物线上(抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴)，其中一个顶点在原点，三角形的面积是483，求抛物线的方程． 解：若抛物线的焦点在x 轴正半轴上，如右图，A 点与B 点关于x 轴对称，设正三角形的 边长为a ，则S △AOB =12a 2²sin 60°=483，解得a =83，∴A (12,43)．设抛物线的标准方程为y 2=2px (p ＞0)，则(43)2=2p ³12，解得p =2.∴抛物线的标准方程为y 2=4x . 同理可知，抛物线的标准方程还可以是y 2=-4x ，x 2=4y ，x 2=-4y . 9．求抛物线y 2＝2x 上任意一点P 到A (a,0)点的最短距离．解：设抛物线y 2＝2x 上任意一点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 20＝2x 0.PA ＝(x 0－a )2＋y 20＝(x 0－a )2＋2x 0＝[x 0－(a －1)]2＋2a －1， 又x 0≥0，当a －1≤0，即a ≤1时，若x 0＝0，PA 取得最小值，最小值为|a |； 当a －1>0，即a >1时，若x 0＝a －1，PA 取到最小值，最小值为2a －1. 10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)如上图，已知⊙Q 过定点A (0，p )(p >0)，圆心Q 在抛物线C ：x 2=2py 上运动，MN 为圆Q 在x 轴上所截得的弦．(1)当Q 点运动时，MN 的长度是否有变化？并证明你的结论；(2)当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆Q 的位置关系，并 说明理由．解：(1)设Q (x 0，y 0)，则x 2=2py 0(y0≥0)，则⊙Q 的半径QA =，⊙Q 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=x 02+(y 0-p)2， 令y =0，并把x 02=2py 0代入得x 2-2x 0x +x 02-p 2=0，解得x 1=x 0-p ，x 2=x 0+p ，∴MN =|x 1-x 2|=2p ，∴MN 不变化，为定值2p . (2)不妨设M (x 0-p ,0)，N (x 0+p ,0)，由题意知2OA =OM +ON ，得2p =|x 0-p |+|x 0+p |，∴-p ≤x 0≤p .∵Q 到抛物线C 的准线y = p 2的距离d =y 0+ p2=，⊙Q 的半径r =QA=，∴r 2-d 2=，又x 02≤p 2<p 2(p >0)，故r >d ，即⊙Q 与抛物线的准线总相交．1．动点P 在抛物线y 2＝－6x 上运动，定点A (0,1)，线段PA 中点的轨迹方程是________．解析：设PA 中点E 为(x ，y )，P 点为(x 0，y 0)，则：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y －1将x 0，y 0代入y 2＝－6x ，得：(2y －1)2＝－12x . 答案：(2y －1)2＝－12x2．(2010²高三大联考江苏卷)已知直线l ：y ＝22x ＋1与圆O (O 为坐标原点)相切，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，虚半轴长等于圆O 的半径．(1)求双曲线C 1的方程；(2)抛物线C 2的顶点为原点，焦点为双曲线C 1的右焦点，点R 、S 是抛物线C 2上不同的 两点(R 、S 不为原点)，且满足OR →²RS →＝0，求点S 的纵坐标的取值范围．解：(1)∵e ＝c a＝3，∴c 2＝3a 2，b 2＝2a 2.∵直线l ：2x －2y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴26＝b ，b 2＝23，∴a 2＝13，∴双曲线C 1的方程是3x 2－32y 2＝1.(2)设抛物线C 2的方程为y 2＝2px (p >0)，∵双曲线C 1的右焦点为F (1,0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为y 2＝4x .设R ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， ∴OR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－y 214，y 2－y 1，∵OR →²RS →＝0， ∴y 21(y 22－y 21)16＋y 1(y 2－y 1)＝0.∵y 1≠y 2，y 1≠0，化简得y 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋16y 1，∴y22＝y21＋256y21＋32≥2256＋32＝64，当且仅当y21＝256y21，y21＝16，y1＝±4时等号成立，∴y2≥8或y2≤－8.。

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第3讲 抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 22．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .答案 x 2＝12y3．(2014·济宁模拟)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p 的值为________．解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2. 答案 24．(2013·四川卷改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是________．解析 由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2,0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1. 答案 15．(2014·潍坊一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为________．解析 抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p 2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 做准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3.答案 36．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x 0＝________.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案 37．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为________．解析 法一 由|AF |＝3|BF |，得AF →＝3FB →，而F 点坐标为(1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x A ＝3(x 0－1)，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)，因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，(－3y 0)2＝4(4－3x 0)，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3.则过点F 的直线方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．法二 结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 求解，设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3，又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1，∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p sin 2θ，∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.答案 y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．答案 2 6二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0. ∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26 或⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则准线方程为x ＝p 2，由抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离，所以有p 2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，又∵点M (－3，m )在抛物线上，故m 2＝(－8)×(－3)，∴m ＝±2 6.10．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为x ＝－1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎨⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0，∴y ＝4k ＋2k 2＋1 ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y .答案 x 2＝16y2．(2014·洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案 5－1 3．(2014·泰州二模)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝y A －1－1，所以y A ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.答案 4二、解答题4．(2014·台州质量评估)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝4y得x 2－4kx ＋4＝0， x ＝2k ±2k 2－1从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)， 即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)解 因为F A →·FB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝8－4k 2，故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0.又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±437，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )，则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19.。

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