【数学】江西省赣州市11-12学年度高二上学期期末考试(文)

A 江西省赣州市2011-2012学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试题2012年元月（共150分．考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.有两个问题：①某企业有500名青年人，400名中年人，100名老年人，为了了解他们的身体状况，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3人参加座谈会. 则应该采取的抽样方法分别为A .①简单随机抽样；②系统抽样B .①分层抽样；②简单随机抽样C .①系统抽样；②分层抽样D .①分层抽样；②系统抽样 2.“1sin 2x =”是“1cos 22x =”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件3.如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设向圆内随机撒一粒黄豆（黄豆的体积忽略不计），则它落在阴影部分的概率为A .12π B .1π C .13π D .2π4.设1k >，则关于,x y 的的方程2222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是A .长轴在y 轴上的椭圆B .长轴在x 轴上的椭圆C .实轴在y 轴上的双曲线D .实轴在x 轴上的双曲线 5.0.7y x a =-+，则a =A .10.5B .5.15C .5.2D .5.256.甲、乙两人进行投篮练习，每人练习5轮，每轮投球30个， 根据统计的进球数制成如图所示的茎叶图，则下列结论中错误的是 A .甲的中位数是14 B .乙的极差为18C .甲、乙两人这5轮进球的平均数相等D .乙的投篮水平比甲高7.曲线3()3f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =+，则0P 点的坐标为 A .(1,0) B .(2,8) C .(1,1)-和(1,5)-- D .(2,8)和(1,4)--8.若椭圆22143x y +=的弦AB 被点(1,0)平分，则直线AB 的方程为 A .0x = B .1x = C .0y = D .1y =9.某流程图如图所示，若输出的57S =，则判断框内的条件为 A .4k > B .5k > C .6k > D .7k >10.已知椭圆2221(1)x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠= ，则12PF PF =A .1B .13 C .43 D .23二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上. 11.平面内过点(2,0)A -，且与直线2x =相切的动圆圆心的轨迹方程是 .12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 .13.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则如图所示的程序框图中输出的s = .14.已知()y f x =为奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a = .15.有下列四个命题：①命题“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题； ④命题“若A B B = ，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的是 .（填上所有符合题意的序号）赣州市2011～2012学年度第一学期期末考试高二数学（文科）答题卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每一小题的四个选项中，只有一座号： 学生代码：…要……○……答……○……题…………………项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案填写在题中横线上）11. ；12. ；13. ；14. ；15. . 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16.（本小题满分12分）已知射击运动员甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12.（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.17.（本小题满分12分）已知p ：当[]1,2x ∈时，20x a -≥恒成立；q ：存在0x ∈R 使得200(1)10x a x +-+<， 若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）某汽车制造厂为了检测,A B 两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100 km ）： 轮胎A ：96,112,97,108,100,103,86,98；轮胎B ：108,101,94,105,96,93,97,106.（1）分别计算A ，B 两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差； （2）比较A ，B 两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定？19．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，21()(1,2,)n n a n n a n λ+=+-= ，λ是常数. （1）当21a =-时，求λ及3a 的值； （2）证明：数列{}n a 不可能为等差数列.20．（本小题满分13分）抛物线C 关于x 轴对称，顶点在坐标原点，点(1,2)P ，1122(,),(,)A x y B x y 都在抛物 线C 上.（1）求抛物线C 的方程；（2）当直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及直线AB 的斜率.21.（本小题满分14分）已知函数()f x 满足322()()3f x x f x x C '=+-+（其中2()3f '为()f x 在点23x =处的导数，C 为常数）. （1）求2()3f '；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数3()()e xg x f x x ⎡⎤=-⋅⎣⎦，若函数()g x 在[]3,2x ∈-上单调，求实数C 的取值范围.赣州市2011～2012学年度第一学期期末考试高二数学（文科）参考答案一、选择题1～5. BABCD ； 6～10. DCBAC .二、填空题11.28y x =-； 12.221927x y -=； 13. 12n a a a s n +++= ； 14.1; 15.①②③.三、解答题16. 解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，则事件A 的概率为：()10.560.220.120.1P A =---=……………………………………………………4分记“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件 （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A B +()()()0.2P A B P A P B +=+=，即甲射击一次，命中不足8环的概率为0.22………………………………………8分 （2）记“甲射击一次，至少命中7环”为事件C ，则事件C 与事件A 为对立事件， ∴()1()0.9P C P A =-=，即甲射击一次，至少命中7环的概率0.9…………12分 17.解：若p 为真，则当[]1,2x ∈时，2min x a ≥，即1a ≤………………………3分 若q 为真，则2(1)40a ∆=-->………………………………………………4分 即3a >或1a <-…………………………………………………………………6分 若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 为一真一假………………………………………………………………7分 ①当p 真q 假时，得：11a -≤≤……………………………………………9分 ②当q 真p 假时，得：3a >……………………………………………………11分 故p 或q 为真，p 且q 为假时11a -≤≤或3a >…………………………………………………………………12分 18.解：（1）轮胎A 的平均最远路程为100A x =……………………………………2分 轮胎B 的平均最远路程为100B x =……………………………………………4分 轮胎A 的最远路程极差为26……………………………………………………5分 轮胎B 的最远路程极差为15……………………………………………………6分（2）轮胎A 的最远路程方差为255.25A s =………………………………………8分 轮胎B 的最远路程方差为229.5B s =……………………………………………10分 ∵22A Bs s <…………………………………………………………………………11分 ∴B 种轮胎的性能较为稳定……………………………………………………12分 19.解：（1）由于21()(1,2,)n n a n n a n λ+=+-= ，且11a =∴当21a =-，得3λ=……………………………………………………………2分 ∴33a =-……………………………………………………………………………4分 （2）证明：假设数列{}n a 为等差数列………………………………………………5分 由11a =，21()(1,2,)n n a n n a n λ+=+-=得：22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---…………8分 ∵数列{}n a 为等差数列，∴2132a a a =+，得：3λ=…………………………9分∴12341,1,3,27a a a a ==-=-=-………………………………………………10分 ∵4321242a a a a -=-≠-=-……………………………………………………11分 ∴数列{}n a 不成等差数列…………………………………………………………12分 20.解：（1）设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>…………………………………1分将点(1,2)P 代人得：2p =………………………………………………………3分 故抛物线C 的方程为24y x =……………………………………………………5分 （2）∵直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴可设直线PA 的方程为：(1)2y k x =-+……………………………………6分 直线PB 的方程为：(1)2y k x =--+…………………………………………7分由24(1)2y x y k x ⎧=⎨=-+⎩，得：24480kx y k --+=，∴142y k =-……………8分同理可得：242y k=--…………………………………………………………9分 ∴124y y +=-……………………………………………………………………10分将142y k =-代人(1)2y k x =-+得：12441x k k =-+………………………11分 将242y k =--代人(1)2y k x =--+得：22441x k k=++…………………12分∴直线AB 的斜率为12121y y x x -=--………………………………………………13分21. 解：（1）由322()()3f x x f x x C '=+-+，得：22()32()13f x x f x ''=+-…………………………………………………1分取23x =，得22222()3()2()()13333f f ''=⨯+⨯-………………………………2分 解得2()13f '=-……………………………………………………………………4分（2）由（1）知32()f x x x x C =--+∴21()3213()(1)3f x x x x x '=--=+-……………………………………………5分令()0f x '=，得1x =或13x =-…………………………………………………6分 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表8分∴()f x 的单调递增区间是1(,)3-∞-和(1,)+∞………………………………………9分()f x 的单调递减区间是1(,1)3-…………………………………………………10分（3）函数32()()e ()e x x g x f x x x x C ⎡⎤=-⋅=--+⋅⎣⎦∴2()(31)e x g x x x C '=--+-……………………………………………………11分 当函数()g x 在区间[]3,2-上单调递增时，等价于2()310h x x x C =--+-≥在[]3,2x ∈-上恒成立，只要(2)0h ≥，解得11C ≥……………………………12分当函数()g x 在区间[]3,2-上单调递减时，等价于2()310h x x x C =--+-≤在[]3,2x ∈-上恒成立，即94(1)0C ∆=+-≤，解得54C ≤-…………………13分∴C 的取值范围是11C ≥或54C ≤-……………………………………………14分。