最新上海市闵行区2015届高三下质量调研(二模)数学理试题含答案

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231l i m()n n n a a a a a a +→+∞+++= .7. 设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为 .8．m 是从集合{}1,0,1,2,3-中随机抽取的一个元素,记随机变量ξcos(3m π=⋅,则ξ的数学期望E ξ= .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ． 10．已知数列{}n a满足11()n a n *+=∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为 ．11．的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12．函数2()log (1)8a f x x a x =++-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 .13．如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)()1x g x a x a x =++∈+R ，若对任意的{}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( ) (A) π. (B)34π. (C) 35π. (D) π2.18． 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 ( ) (A) 2. (B) (C) 1 (D)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧ABl CαNPO为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2) 2ac的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． (1) 求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围．闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准（文理）一. 填空题 1．{}1； 23．3π； 4．13； 5．（理）（文）40-；6．（理）323 ，（文）8； 7．（理）4，（文）3-；8．(理)110，(文)9．④；10．(理) {}|2015,n n n *≥∈N ，(文) 2015等； 11．12．(文理) (]1,2；13．（理）⎡⎣，（文）[]4,4-；14．（文理）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．二. 选择题 15． B ； 16． D ； 17．B ； 18． C ． 三. 解答题19．[解] 取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角． (2)在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知 OQ AB ⊥，在Rt MOQ △中，10,5OQ OM MQ ==⇒=故PM =，所以OS =SA ………………………8分所以2S 100r ππ==底，10S r SA ππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分100100(1S S S ππ=+=+=+全底侧． (12)分20．[解] （1）因为23A C π+=，23A C π=- …………………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C== …………………………………6分2sin()sin 1sin sin sin B C C C C C C C++===+（62C ππ≤≤）……………10分当2C π=时，211a c ==当62C ππ≤<时，(]211,4a c = …………………………………12分所以2a c []11,4=+. …………………………………14分21．[解](1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（２）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立 (8)分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩N 恒成立 ………………………10分t =，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得 72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号） 所以71924m ≤≤． ………………………14分22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，2,a c ==所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分（2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - (6)分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++ 2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分 （文）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, (6)分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分 310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -． ……………………………10分（3）（理）ABM△面积MNS SS =+△△=1212MN x x -由第(2)小题的③④代入，整理得：3225S =……………………………12分因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t =，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ……………………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)． 所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分 （注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题）23． [解] （1）（文理）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --= ………………………………3分所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分（2）（理）数列{}n a 的通项公式为2n n a = ……………………5分当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有 (21)12(22)(21)k k k k -++++-=-项，其所有项的和为22122222(21)(222)[1234(23)(22)]k k k S k k --=++++-+-+---+-2122(21)[37(45)]22(21)(1)k k k k k -=-++++-=-+-- 11(1)222m m m +=-+- ………………………………8分 当2()m k k *=∈N 时，数列{}n c 共有212(21)(21)k k k k ++++-=+项，其所有项的和为 22(21)(21)2(21)k k k k k S S k +-=+--2222122(21)(1)2(21)2(21)2k k k k k k k k +=-+--+--=---11(1)222m m m +=--+- ……………………………11分 （文）数列{}n a 的通项公式为2n n a = …………………………5分 数列{}n c 中一共有2015123201410082015+++++=⨯项，其所有项的和为 220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+……8分 20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+ ……………………………11分（3）（理）由1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+得 2111,1,2,3,1(1)n n n n n λ+≤≤+=++ ……………………………13分 记211,1,1,2,3,1(1)n n n n A B n n n +==+=++ 由12,(1)(2)n n n A A n n n +--=++ 211(1)n B n =++递减（或12223(1)(2)n n n B B n n ++-=++）………………………15分 得123,A A A >= 345A A A <<<，123B B B >>> 所以实数λ的范围为[]21,A B ,即55,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………18分(文) 由11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得 28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+ ……………………………13分 记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+因为8n A n n =+≥，当n =8n A n n=+取不到当3n =时，8n A n n =+的最小值为3253A = 2201(1)n B n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =…………15分 所以如果存在n *∈N ，使不等式 11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立 实数λ应满足31A B λ≤≤，即实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………18分。