2021年高三数学二模试题 理 新人教A版
2021年高三上学期第二次模拟数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第二次模拟数学（理）试题 含答案一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2.．等差数列的前项和为，若，则的值是（ ）A ．45B ．65C ．80D ．1303. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数 y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，23B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎦⎤12，23D.⎝⎛⎭⎫12，1 5．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π47．设“成等差数列”，“成等比数列”，则是的（ ）A ．B 充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9. 若f(x)＝－12＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()2xA．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)10．在数列中，，若平面上的三个不共线的非零向量满足，三点A，B，C共线且该直线不过O 点，则等于（）A．1005 B．1006 C．xx D．xx11. 在△ABC中，a2 tan B＝b2 tan A，则△ABC是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形12．已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（）A．B． C. D.第II卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三第二次高考模拟数学理试题 含答案
2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回。
第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合C u A= （）A．[-1,0] B．（-1,0）C．（-∞，-1] [0,+）D．[0,1]2．曲线y= x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（）A．y= x－2 B．y= -3x+2 C．y=2x－3 D．y=-x3．已知数列{a n}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（）A．B．C．2 D．-24．某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．47, 45, 56 B．46, 45, 53C．46, 45, 56 D．45, 47, 536．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+ 3y的最小值为A．6 B．7 C．8 D．237、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．5海里B．10海里C．5海里D．5海里8．已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：①4x+3y2=0；②4x2+4y2=1；③x2+2y2=2；④x2－3y2=3其中，“双正曲线”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第二部分非选择题（共1 1 0分）二、填空题（本大题分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
2021年高三二模数学(理)试题含解析
2021年高三二模数学（理）试题含解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）=（）A． B． C． D．【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解析】：解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设a=logπ，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）4A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4•a8=4，则a5•a6•a7=（）A．4 B．8 C．16 D．64【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【解析】：解：∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】：解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解析】：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．6．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．[1，11] C．[1，3] D．[﹣1，11]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=（）A．336 B．355 C．1676 D．xx【考点】：数列与函数的综合．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解析】：解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，xx=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．8．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解析】：解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解析】：解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（5分）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．【解析】：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4【点评】：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．11．（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a=．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．【解析】：解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．【解析】：解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线=1，可得y=±b，由题意可得，b=2b，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解析】：解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．【点评】：本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．14．（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．其中所有正确命题的序号为①②③．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解析】：解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【解析】：解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．16．（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解析】：（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（4分）（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：．…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE⊄平面AGF，HG⊂平面AGF，所以CE∥平面AGF．（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB⊂平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m•n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．18．（13分）已知函数f（x）=x+a•e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．【解析】：解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（﹣2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）．设A（﹣2，0），M（x1，y1），则﹣2，x1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP的方程为：y=kx．由得（1+4k2）x2﹣4=0．设P（x0，y0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得S n+1=2S n+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n=，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有C n=2n+1，依题意由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．【解析】：解：（1）a n+1=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．=24930 6162 慢D("K30566 7766 睦36539 8EBB 躻c34584 8718 蜘33691 839B 莛28418 6F02 漂33860 8444 葄21443 53C3 參。
2021年高三第二次模拟考试理数试题 含解析
2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】试题分析：复数，所以复数为虚数单位）的共轭复数是，其对应的点位于第一象限，故选A.考点：1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、集合的概念；2、子集.3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：作出约束条件对应的可行域如下，，其中表示可行域内的点到直线的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，所以的最大值为故选A.123-1-2-3-1-212xyOABC(-2,2)x-y=0x=-2x+3y-4=0x-3y=0考点：线性规划．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】考点：充分条件与必要条件．5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.考点：平面向量．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A． B．C． D．【答案】D【解析】考点：程序框图．7.若函数为奇函数，则的解集为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签 的标号的平均数是的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：问题等价于“取出的张标签的标号的和是”，又等价于“选出两张并且和为”，而这样的选法有共种，而所有的取法有，从而所求概率是，故选A. 考点：古典概型．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足 的，有，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】试题分析：由条件可知，再根据题意可知,由于，所以不妨设1122332,222424x x x x ππππϕϕ=⇒=-=⇒=+，那么，故选D. 考点：三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由的解析式进而得到的解析式，再根据题目条件得出关于参数的式子，并从中解得参数的值，问题得到解决.10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B考点：1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于的一个不等式，再结合，即可求得双曲线的离心率的取值范围，并最终使问题得以解决.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.函数的定义域为______.【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案填.考点：1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式.12.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天） 3 4 5 6 7 繁殖个数y（千个） c 3 4 4.5 6则上表中丢失的实验数据的值为______.【答案】考点：回归分析.13.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由于不等式的解集不是空集，所以，而，所以即，故答案填.考点：1、绝对值不等式；2、极端不等式.14.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】【解析】考点：1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.15.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.【答案】【解析】考点：1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、三角形正弦定理；2、三角形面积.17.（本小题满分12分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】（Ⅱ）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件. 则，.由题意知的所有可能取值为，（5分） 由事件的独立性和互斥性，得 .（6分）278)32(312)()5(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（7分） 9231)32(32)31()()10(22321321=⨯+⨯=+==B B B B B B P X P .（8分）27432)31(2)()15(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（9分）.（10分） 所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望3202712027415921027852780)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .（12分） 考点：1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】因为平面，所以.（6分）在中，，在中，，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以的面积.设点到平面的距离为，由，得，得.（10分）设直线与平面所成的角为，则.（11分）所以直线与平面所成的角的正弦值为.（12分）考点：1、线线垂直；2、线面角.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、通项公式及前项和公式；2、错位相减法及裂项相消法. 20.（本小题满分13分）已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点. （1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅱ）（1）设，则，且，所以直线，即①.（5分）直线，即.②（6分）联立①②，解得，（7分） 所以点的坐标是. 则222222222)52(4936648025)52(3)52(4)85(34--++-=-+--=+m m m m m n m m y x B B 所以点恒在椭圆上.（9分）（2）设直线，，考点：1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】所以，即当时，满足题设条件.（8分）2）当，即时，设是方程的两个实根，且，由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意有，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.所以时，也满足题设条件.（9分）综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.（10分）考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.922514 57F2 埲36356 8E04 踄\24747 60AB 悫=h31082 796A 祪$33230 81CE 臎h36440 8E58 蹘22237 56DD 囝25362 6312 挒38142 94FE 链。
2021年高三上学期第二次摸底考试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第二次摸底考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=( )A．{0} B．{1} C．{（0，1）} D．{（1，0）}2．已知复数Z==( )A.2+iB.2-iC.-l-2iD.-1+2ix|﹣1的零点个数为3．函数f（x）=（x+1）|log2A．1B． 2 C． 3 D．44．下列说法中，不正确的是( )A．已知，命题“若，则a<b”为真命题；B．命题“”的否定是：“”；C．命题“p且q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题；D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．5．现有四个函数：①;②;③; ④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A．④①②③B．①④③② C．①④②③ D．③④②①6．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P(n，S n)和Q(n＋1，S n＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于A．52 B．40 C．26 D．207．执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，则输入的整数p的最大值为（）A．7 B． 15C．31 D． 638. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+2 B．4+2C．6 D 89．若函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．C．D．（0，2]10．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若△OAB （O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 11．已知各项都是正数的等比数列{a n}中，存在两项a m，a n(m，n∈N*)使得a m a n＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则1m＋4n的最小值是( )A .32 B.43 C.23D .3 412．已知a、b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（）A．﹣1 B．0C．D．1本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．若变量x、y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为__________．14．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与C2：﹣=1（a＞0，b＞0），给出下列四个结论：①C1与C2的焦距相等；②C1与C2的离心率相等；③C1与C2的渐近线相同；④C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等．其中一定正确的结论是（填序号）___________．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为__________．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．18．已知某种集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．(I)求集成电路E需要维修的概率；(II)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．19．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．（1）若二面角A′﹣BD﹣C的余弦值为，求证：A′C⊥平面BCD；（2）当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．20．已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y﹣9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）△FAB与△FCB的面积之比．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，求证：+＞2ae．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB 的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．（已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；（2）当a＜﹣时，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{（0，1）} D．{（1，0）}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接作出两个集合中函数的图象得答案．解答：解：作出函数y=3x与y=2﹣x的图象如图，由图可知，A∩B={（0，1）}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．2．（5分）选：C．点评：本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题．3．（5分）函数f（x）=（x+1）|log2x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C． 3 D． 4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=0，得|log2x|=，然后在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数．解答：解：∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴由f（x）=0，得log2x=，在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有2个交点，∴函数f（x）=（x+1）|log2x|﹣1的零点个数为2个．故选：B．点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键．4．（5分）选 B5．（5分）选：C．6．（5分B．C．D．（0，2]考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数的增区间求出三角函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的增区间，取k=0得一个增区间为，由求得ω的取值范围．解答：解：由ωx﹣，得，取k=0，得，∵函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，∴，即ω≤．又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，]．故选：A．点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的一个单调区间，求ω的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出椭圆C的方程．解答：解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）与抛物线y2=x交于A、B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为2，∴设A（x，），B（x，﹣），，解得x=2，由已知得，解得a=2，b=2，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用．11．（5分）≥16(5＋4)＝32.] 故选A12．（5分）已知a、b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（）A．﹣1 B．0C．D． 1考点：函数恒成立问题；基本不等式．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：令y=lnx﹣ax﹣b，求出导数，当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．当a＞0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a﹣1﹣lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值．解答：解：令y=lnx﹣ax﹣b，则y=（x＞0），当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．当a＞0时，0＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值，且为﹣lna﹣1﹣b．当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，即有﹣lna﹣1﹣b≤0，即b≥﹣1﹣lna，a+b≥a﹣1﹣lna，令f（a）=a﹣1﹣lna，f′（a）=1﹣=，当a＞1时，f′（a）＞0，f（a）递增；当0＜a＜1时，f′（a）＜0，f（a）递减．则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0．即有a+b≥0．即有a+b的最小值为0．故选：B．点评：本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题．本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）若变量x、y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得z=2x﹣y的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z与y=2x+2重合时，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与C2：﹣=1（a＞0，b＞0），给出下列四个结论：①C1与C2的焦距相等；②C1与C2的离心率相等；③C1与C2的渐近线相同；④C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等．其中一定正确的结论是①③（填序号）．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：C1与C2的c都等于，∴①C1与C2的焦距相等；双曲线C1离心率为，双曲线C2离心率为，∴②C1与C2的离心率不一定相等；③双曲线C1与C2的渐近线都为y=±x，即C1与C2的渐近线相同；④C1的焦点（c，0）到其渐近线的距离=b，C2的焦点（0，c）到其渐近线的距离=a，故C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离不一定相等．故答案为：①③．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P 是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，∴=3x+，∴=1，∴2x+y=．∵x，y＞0，∵，，当且仅当y=2x=时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比．解答：解：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，设三棱柱是直三棱柱，底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA1=2，∵QB=1，MB=1，NC=1，PC1=1，棱柱体积V==4，∴下部分体积V下=V P﹣AQC﹣﹣V M﹣AQB==，上部分体积V上=V﹣V下=4﹣=，∴较小部分与较大部分的体积之比为：==．故答案为：．点评：本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．18.解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件，则. 依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分 ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分 所以,集成电路E 需要维修的概率为． ……………6分（Ⅱ）设为维修集成电路的个数，则，而，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k k P X k P k C k ξ-===== …………9分的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX∴=⨯+⨯+⨯=或. …………12分19．（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．（1）若二面角A′﹣BD﹣C的余弦值为，求证：A′C⊥平面BCD；（2）当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设AC，BD交于点O，CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，将△ABD沿BD 折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，，CO=，∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，设A′C=x，，解得A′C=2，由勾股定理得BC⊥A′C，DC⊥A′C，由此能证明A′C⊥平面BCD．（2）三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，A′C⊥平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．解答：解：（1）证明：在图（1）中，设AC，BD交于点O，∵四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，∴CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，∴将△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，，CO=，∴∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，设A′C=x，∵二面角A′﹣BD﹣C的余弦值为，∴，解得x=2，即A′C=2，∵BC=DC=2，A′B=A′D=2，∴BC2+A′C2=A′B2，CD2+A′C2=A′D2，∴BC⊥A′C，DC⊥A′C，又BC∩CD=C，∴A′C⊥平面BCD．（2）解：三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，A′C⊥平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA′为z轴，建立空间直角坐标系，0 100 200A′（0，0，2），D（0，2，0），=（0，2，﹣2），平面A′BC的法向量=（0，1，0），设直线A′D与平面A′BC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．∴直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值为．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、折叠问题等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（12分）已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y﹣9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）△FAB与△FCB的面积之比．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等．可得动点P的轨迹E是抛物线．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，，相减可得2y0•k AB=4，由直线l的斜率k l=﹣，可得k AB=2，解得y0，代入直线l的方程可得M，利用点斜式可得直线AB的方程．（ii）令x=﹣1，代入直线AB的方程解得C．联立，解得A，B，利用=即可得出．解答：解：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等．∴动点P的轨迹E是抛物线：点F为焦点，直线x=﹣1为准线，可得方程为：y2=4x．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，，相减可得=4，∴2y0•k AB=4，∵，∴k AB=2．∴2y0=2，解得y0=1，代入方程2x+4y﹣9=0可得2x0+4﹣9=0，解得x0=．∴M，可得直线AB的方程为：，化为2x﹣y﹣4=0．（ii）令x=﹣1，代入直线AB的方程2x﹣y﹣4=0，解得y=﹣6，∴C（﹣1，﹣6）．联立，解得或，∴A（4，4），B（1，﹣2），|AB|==，|BC|==2．∴==．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得出交点、两点之间的距离公式、三角形面积之比、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，求证：+＞2ae．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导函数，切线斜率k=f′（1），利用切线的定义，即可求出切线方程；（2）函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令＞1，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=xlnx﹣x2，f′（x）=lnx+1﹣x2，∴f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x；（2）g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，，若时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，若时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴＞0，∴0．不妨设x2＞x1＞0，∵，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），先证，即证，即证令，即证设φ（t）=，则φ′（t）==函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴证：+＞2，又∵ae＜1，∴+＞2ae．点评：本题考查了，利用导数求函数的切线，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式．是一道导数综合题，难题较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE 于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．解答：证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）把消去θ化为普通方程，由极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2=﹣4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O 到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．解答：解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=．点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；（2）当a＜﹣时，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥2、x≤﹣、﹣＜x＜2时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，即可解出实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，当x≥2时，f（x）≤4，即为（2x+1）+（x﹣2）≤4，即x≤成立，则有2≤x≤；当x≤﹣时，f（x）≤4，即为﹣（2x+1）﹣（x﹣2）≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤﹣；当﹣＜x＜2时，f（x）≤4，即为（2x+1）﹣（x﹣2）≤4，即x≤1，则有﹣＜x≤1．则原不等式的解集为；（2）由a＜﹣，x≤﹣可得f（x）+x=，∵存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，∴3≥|f（x）+x|min=﹣a﹣1，∴求得a≥﹣4，则a的取值范围为[﹣4，﹣）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题．40343 9D97 鶗35262 89BE 覾>_g40620 9EAC 麬t37217 9161 酡! _34900 8854 衔b。
2021年高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A考点：集合的运算.2.若复数满足是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：，，对应的点在第四象限.考点：1.复数的概念与几何意义；2.复数的运算.3.已知为不共线的三点，则“”是“是钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得到,即,即，可以得到为钝角，即是钝角三角形；但是钝角三角形时，角可能是钝角或锐角，不一定得到；所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件. 考点：四种条件的判定.4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，可得3,4121)311[(21421311;2,31311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⨯+⨯===⨯=i S i S ； 5536)111101211(21]1119110181)5131(4121311[21,=--+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⋅S ,，结束循环，输出结果为.考点：1.程序框图；2.裂项抵消法. 5.不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，得表示数轴上的点到点的距离之和，易知，当或时，；所以的解集为.考点：1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式.6.设满足约束条件，若目标函数 的最大值为，则的图 象向右平移后的表达式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.考点：1.简单的线性规划；2.三角函数图像的变换. 7.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.增函数B.周期函数C.奇函数D.偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：对于任意整数，都有[][][])()()(x f x x k x k x k x k x k x f =-=+-+=+-+=+，所以是周期函数. 考点：函数的性质.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析:当正方体如图1放置时，其正视图是侧面,其面积为；当正方体如图2放置时，其正视图为对角面，其面积为，则无论如何放置，其正视图的面积在和，所以选A.图1 图2考点：几何体的三视图.9.已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.10.已知函数，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，不等式化为，即，而，即；当，不等式化为，即，令，则；令，则；当时，，即在为减函数，且，所以，即在为减函数，即无限接近0，则；所以的取值范围是.考点：1.分段函数；2.分类讨论思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11.已知的取值如下表：从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 .【答案】【解析】试题分析：由所给数据，得，，将代入到回归方程，得，解得.考点：回归直线过样本点的中心.12.若在内任取一个实数，则使与圆无公共点的概率为 .【答案】考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.13.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 【答案】180【解析】试题分析：因为二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，即；则的展开式通项为，令，即，即展开式常数项为.考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理.14.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则，即2121222222≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x x，所以的最大值为. 考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.15.设抛物线的焦点为，直线过与交于两点，若，则的方程为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由题意，得抛物线的焦点，设，；则由得，即；联立，得，则，解得，又，即，，即直线的方程为.考点：1.抛物线的焦半径公式；2.直线与抛物线的位置关系.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 中所对的边分别为,且. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若求的面积并判断的形状. 【答案】（1）；（2），等边三角形.考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.三角形的面积公式.17.（本小题满分12分）盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列略；.【解析】试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.试题解析：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件，……… 1分则……… 4分（Ⅱ）可能取的值是，……… 5分, ……… 6分, ……… 7分，… 8分 . ……… 9分∴的分布列为：10分399311051523456.2828281428284EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故所求的数学期望为. ……… 12分考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令，其中，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）设出的公差为，的公比为利用等差数列、等比数列的通项及求和公式得到关于的方程组，解得即可求解；（2）利用分组求和法和错位相减法进行求解. 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，依题意有， ………2分解得：或（舍去）， ……… 4分 ，. ……… 6分（Ⅱ）)()2()(212243121112n n n n nb a a b a a b a a c T ++++++++++=-+， ……… 7分令nn n n nb b b M 22322223221⨯++⨯+⨯+=+++= ①14322232222+⨯++⨯+⨯+=∴n n n M ②①-②得：22)1(22122222211112--=⨯---=⨯-+++=-++++n n n n nn n n n M……… 9分 ， ……… 10分1212122)1(4322)1(41+++-++=+-++=∴n n n n n n n T . ……… 12分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.分组求和法；4.错位相减法. 19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，,是上的动点，且,是的中点. （Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，试求的值.【答案】（1）证明略；（2）. 【解析】试题分析：（1）：取中点，连结，得到平行四边形和线线平行，利用线面垂直的性质和等边三角形的三线合一证得线线垂直，进而得到线面垂直和面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结，则有与平行且相等. ∴四边形为平行四边形， ……1分∵面,∴,又为等边三角形，平面平面,…………3分 又平面,∴平面平面.……………4分（Ⅱ）以为轴，轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，)2,0,(),2,0,1()1,23,21(),0,0,1(1λλM B N B ，)1,23,21(),0,0,1()21,2321(==--=，，λλ ……6分ACBA 1C 1B 1MN设是平面的一个法向量，则∴，令∴…………8分 设与面所成角为 则431)21(43)21()12(2323,cos sin 221=+-++--+=><=λλλθn ………10分 ,化简得或由题意知， ∴ . …………………12分考点：1.空间中线面关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用. 20．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点. （Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程得到其焦点坐标，即值，代入点即可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，用坐标表示出，再进行求解. 试题解析：(Ⅰ）设方程为，因为抛物线的准线， …………1分 由点在椭圆上， ………3分 ∴椭圆C 的方程为. …………4分(Ⅱ)由题意知，直线斜率存在.设直线的方程为，代入，得 ， ……5分 设由韦达定理得. ……6分由题意知121231233331222,,11142y y k k k k k x x --+====+++-+ ………8分 ，代人得1212121212231132()22112()1x x k k k k x x x x x x ++∴+=-+=-+++++ ……10分 2222222886343221412843243k k k k k k k k k -+++=-=+--+++ ………12分 ………13分考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若对，总有成立.（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，不等式恒成立.【答案】（1）当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；（2）；证明略.【解析】试题分析：（1）求导，确定出导函数的三个零点，讨论与0,1的大小关系确定其单调区间；（2）作差构造函数，利用导数证明函数的最大值非负即可；利用恒成立，将合理放缩：，再利用裂项抵消法进行证明.试题解析：（Ⅰ）x a x a x x g x f x h )1(ln 21)()()(2+-+=-=，定义域为， xa x x x a x a x a x x a x h ))(1()1()1()(2'--=++-=+-+=， …… 1分 （1）当时，令，，，令， ；（2）当时，令，则或，令， ； …… 3分（3）当时，恒成立；（4）当时，令，则或，令， ； …… 4分综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为. ……5分（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，只需. ……6分由第（Ⅰ）知：，显然当时， ，此时对任意，不能恒成立； （或者分逐个讨论） …… 8分当时，，；综上：的取值范围为. …… 9分（2）证明：由（1）知：当时，，……10分即，当且仅当时等号成立.当时，可以变换为， …… 12分在上面的不等式中，令，则有))(1(1)2)(1(1)1(1n m n m m m m m +-+++++++> )111()2111()111(nm n m m m m m +--++++-+++-= 不等式恒成立. …… 14分考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.放缩法；4.裂项抵消法.30206 75FE 痾25656 6438 搸25209 6279 批F*c23955 5D93 嶓26549 67B5 枵TD22700 58AC 墬31907 7CA3 粣.26995 6973 楳。
2021年高三第二次高考模拟试题 数学理 含答案
2021年高三第二次高考模拟试题数学理含答案注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第I卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．定义运算(a，b)※((c，d) =ac－bd，则符合条件(z，1+2i)※(1+i，1－i)=0的复数z所对应的点在A.第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为A. －1B.0C．1 D．53．把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为A. y=5cosx B．y=5cos4xC．y=－5 cosx D．y=－5 cos4x4．已知直线a，b，平画，且a⊥，，则“a⊥b”是“∥”的A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．三个实数a、b、c成等比数列，若a+-b+c=l成立，则b的取值范围是A．(0，] B．[-1，] c．[－，0) D．6．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，－1)，B(，－1)，C （，1），D(0，1)，正弦曲线 和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点， 则该点落在阴影区域内的概率是 A ． B ． C ． D ． 7．设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成．若．的所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为 A ． B ． C ． D ． 8．已知点E 、F 、G 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1、 DD 1的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、AG 、BE-、C 1B 1上．以 M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥P-MNQ 的俯视图不可能是9．对于任意的x ∈R ，不等式恒成立．则实数a 的取值范围是 A. a<2 B ．a≤2 C ．a≤3D ．a<310.已知O 为坐标原点，向量.若平面区域D 由所有满足(22,11)OC OA OB λμλμ=+-≤≤-≤≤的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ． B. C ． D ．11.已知双曲线是实轴顶点，F 是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得△P i A 1A 2 (i=l ，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．12.斜率为k （k≠0）的两条直线分别切函数的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为y=2x －l ，则t 十k 的值为 A.8 B ．7 C ．6 D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2021年高三下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题 含答案
正(主)视图2021年高三下学期第二次教学质量检测（二模）数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上相应区域，写在本试卷上或超出相应答题区域的答案无效．4．保持卷面清洁，字迹工整，笔记清晰，不折叠．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则( ) A ． B ． C ． D ． 2．若复数是纯虚数，则的值为( )A ．B ．C ．D ．3. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如右图所示，若这个四棱锥的 体积为，则此四棱锥最长的侧棱长为（ ） A. B. C. D.4.已知双曲线的离心率为,则该双曲线的 渐近线方程为（ ）A． B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有种，则展开式的常数项为（）A． B． C．D．6.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生,将他们的数学测试成绩分为组：, , , , , 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）A． B． C． D．7.设是数列的前项和，时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为()A. B． C． D．8.算法程序框图如右图所示，若，，，则输出的结果是（）A. B. C. D.9．已知实数，，成等比数列，函数的极小值为，则等于（）A． B． C． D．10．给出下列五个结论：①回归直线一定过样本中心点；②命题均有的否定是：使得；③将函数的图像向右平移后，所得到的图像关于y轴对称；④是幂函数，且在上递增；⑤函数恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A．①②④ B．①②⑤ C．④⑤ D．②③⑤11.如图，长方形中，为坐标原点，点在轴上且，曲线经过点，现将一质点随机投入长方形中，若质点落在图中阴影区域的概率是，则实数的值为（）A．B．C． D．12.定义在上的函数，是其导数，且满足，，则不等式 (其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答；第22题～第24题为选做题，考生根据要求作答.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．）否是否是输出c输出b 输出ab≥c? a≥c?开始输入a,b,ca≥b?否是结束13.已知函数,则．14．已知两点，设向量，，若，那么实数．15.已知实数满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为．16．如图，正方形中，坐标原点为的中点，正方形的边长为，若为抛物线的焦点，且此抛物线经过．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（本小题满分12分）若向量，其中，记函数，且函数的图像相邻两条对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求的表达式及的单调递增区间；（Ⅱ）设三内角的对应边分别为，若，，，求的面积．18.（本小题满分12分）某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如下表：题号 A B C答卷份数160 240 320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析.（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为，求的分布列及其数学期望．19.（本小题满分12分）已知四棱锥,其中,,且,平面,为的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）设是的中点，若与平面所成角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，若圆被直线截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点为动直线，与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，，为切点.，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求圆的面积．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设是直线上任意一点，过做圆切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若当时，关于实数的不等式恒成立，求实数的取值范围.汉中市xx 届高三年级第二次教学质量检测考试数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 14 . 15 . 16.三．解答题：本大题共6小题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x ωωωω==211()3cos sin sin(2)226f x a b x x x x πωωωω=⋅-=+-=-…………3分 由题意可知其周期为，故，则 ………………4分 由 得的单调递增区间，………………6分 （Ⅱ）由，得 ∵，∴，∴，解得 ………………8分 又∵，，由余弦定理得，∴，即 …………………10分由面积公式得面积为．…………………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从A ，B ，C 题的答卷中抽出2份、3份、4份。
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2021年高三数学二模试题理新人教A版考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合，，则中元素的个数为A．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.A． B. C. 1 D. 63. 已知等差数列的公差是2，若成等比数列，则等于A. B. C. D.4. “是“直线与圆相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 总数s A. B. C. D.6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C.D.7. 已知函数（R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在上与函数的单调性相同的是 A. B. C. D.8. 已知四面体满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体的体积的取值集合是侧 视图俯视图A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则_______, .11. 在中，若，，，则边__________.12.如图,在菱形中,,, 为的中点,则的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线被直线分成两个区域（包括边界）， 圆（1）若，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)BCDEAMBODPCNA已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数的解析式； （II ）求函数 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. （I ） 求证：；（II ）求二面角的余弦值；（III）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；(II) 在（I）的条件下，求函数的单调区间；(III) 若恒成立，求实数a的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.（I）求椭圆的标准方程；(II) 已知直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的动点.（i）若直线的斜率都存在，证明：;(ii) 若，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交于点（异于点），求证：,,三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第行，第列的数记作,，如.(II) 若求的值；(只需写出结论)（III）设， (), 记数列的前项和为,求；并求正整数，使得对任意，均有．昌平区xx年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. ,三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)解：（I）由题意可知，,，得,，解得.，即，，所以，故. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636 g x x x=π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x xx-x=x=π-由故.……………13分16. (本小题满分13分)解：（I）设事件：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有人．则．解得．所以．…………… 4分（II）设事件：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则．……………7分（III）由题意，的可能取值为，，，．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以，，，．所以的分布列为所以1721721012312040402410E=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形是平行四边形，所以，故.又因为所以,即,所以四边形是平行四边形.所以故.因为平面平面, 平面平面,平面所以平面.因为平面, 所以.因为, 、平面,所以平面. ……………5分(II) 以为轴, 为轴, 为轴建立空间直角坐标系，则, , , .平面的法向量为.设平面的法向量为, 因为，,, 令得, .所以, 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. ……………10分(III) 存在点P,使得平面. ……………11分法一: 取线段中点P，中点Q，连结.则，且.又因为四边形是平行四边形，所以.因为为的中点，则.所以四边形是平行四边形，则.又因为平面,所以平面.所以在线段上存在点，使得平面，. ……………14分法二：设在线段上存在点，使得平面,设,(),，因为.所以.因为平面, 所以,所以, 解得, 又因为平面,所以在线段上存在点，使得平面，．……………14分xyE CDMB1z18.（本小题满分13分）解：（I）定义域为依题意，.所以，解得……………4分（II）时，，定义域为，当或时,，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.----8分（III）解法一：由，得在时恒成立，令，则令，则在为增函数， .故，故在为增函数. ，所以，即实数的取值范围为. ……………13分解法二：令，则，（i）当，即时，恒成立，在上单调递增，，即，所以；(ii)当，即时，恒成立，在上单调递增，，即，所以；(iii)当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，当时，，在上单调递增，则，即，所以；若，的两个根，，且在是连续不断的函数所以总存在，使得，不满足题意.综上，实数的取值范围为. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为，则，解得，所以.故椭圆的标准方程为. ……………5分（Ⅱ）(i)证明：设，则两式作差得.因为直线的斜率都存在，所以.所以，即.所以，当的斜率都存在时， . ……………9分(ii) 证明：时， .设的斜率为，则的斜率为，直线，，直线, ，所以直线，直线，联立，可得交点.因为，所以点在椭圆上.即直线与直线的交点在椭圆上，即，，三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I）， . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50，b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数，所以b n =( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) = 4 n2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…；精品文档实用文档 因为 所以，故.…………10分因为 ；当时，，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得，所以当时，，综上对任意恒有，故．…………13分40587 9E8B 麋39417 99F9 駹25937 6551 救s33250 81E2 臢23343 5B2F 嬯V 31464 7AE8 竨28170 6E0A 渊22365 575D 坝$.27446 6B36 欶|。