河北省石家庄市2020届高三数学二模试题理(含解析)

精品文档！河北省石家庄市2020届高三数学二模试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A. 1i -+ B. -1i -C. 1i +D. 1i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，化简复数1i1i i+=-，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()1i (i)1i 1i i i (i)+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()⋂=U C A B （ ） A. {}|12x x <≤ B. {}12x x ＃C. {}11x x -≤< D. {}|1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】由补集的运算求得{}1U C A x x =≥，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}{}1,12A x x B x x =<=-≤≤，则{}1U C A x x =≥， 根据集合的并集运算，可得()⋂=U C A B {}12x x ≤≤，故选B ．【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图： 第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 32-D. 2-【答案】A 【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组210210x yx yy-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y=-+，化为直线3y x z=+，当直线3y x z=+过点A时，此时直线3y x z=+在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由210x yy-+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A-，所以目标函数的最大值为3(1)03z=-⨯-+=，故选A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5.将函数()sin2f x x=的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（）A.12πB.6πC.3πD.4π【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A. 623+B. 622+C. 442+D.443+【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P −ABC ，正方体的棱长为2， 该几何体的表面积：111122222242222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 故选C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 7.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A.15B.25C.35D.110【答案】B 【解析】 【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数2353C 10n C ==，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数22123234m C C C C =+=， ∴6和28恰好在同一组的概率42105m p n ===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.54B. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，可得102m m -=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件知：0x <时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，1x >时，()0y xf x '=->，由此即可求解．【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>； 所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<， 当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->， 可得选项B 符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，主要导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A. m n >B. ||||m n <C. m n <D. m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果． 【详解】解：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos 022xf x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选C ．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A. 322-B. 233-C. 23-D.22-【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4mmx x-=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),(1m 1)H -<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4mmx x-=+++， 当0x =时，0m =，当0x ≠2124(1)4112x xx x⎫=⎪⎪++⎣⎭+++，21103221m m m-∴≤<⇒<≤-+， 综上：0322m ≤≤-． 故选A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( )A.112V B. 18VC. 16VD. 19V【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327V a =，进一步求出四面体1AMND 的体积即可．【详解】解：如图，∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，∴11111,33BM BB C C N C == 设正方体1AC 的棱长为3a ，则327a V =，∴327V a =． 取13BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，12212212222211111112(3)(3)32,(3)10,(32)(2)22,cos 21022255319sin 25511sin =223192192D NA AD a a a D N a a a AN a a a D NA a a D NA S D N AN D NA AD aa h h ∆=+==+==+=∴∠==⋅⋅∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，设M 到平面1AGND 的距离为2h ，22111111[(2)322]3231922219222M AGN A MGNa a V V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=⋅⋅= 123131933919AMND a V V a ∴===.故选D ．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知直线4x y b -=被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则b 的值为__ 【答案】3 【解析】 【分析】根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得． 【详解】解：圆222210x y x y +--+=的圆心为（1，1），半径1r =， 因为直线4x y b -=被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2， 所以直线40x y b --=经过圆心（1，1），410b ∴--=，解得3b =．故答案为3．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．14.已知230x dx n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为__【答案】12． 【解析】 【分析】由题意求定积分得到n 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中2x y的系数．【详解】∵已知24032044x x dx n ⎰===，则4( 1)(1)n x y x y ++=++，它表示4个因式(1)x y ++的乘积．故其中有2个因式取x ，一个因式取y ，剩下的一个因式取1，可得2x y 的项．故展开式中2x y 的系数21142112C C C ⋅⋅=．故答案为12．【点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．15.在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u u r u u u r ____________．【答案】52【解析】 【分析】设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r，则1,2a b ==r r ，得到12AE b a =+u u u r r r ，2133AF a b =+u u u r r r ，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r，则1,2a b ==r r ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE b a =+u u u r r r ，221()333AF b a b a b =+-=+u u u r r r r r r ，所以22121151()()233363AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u r u u u r r r r r r r r r2021515112cos6023632=⨯+⨯⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin 3)40a a B B -++=，27b =ABC ∆的面积为__．【答案】3【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入1sin 2ABC S ac B ∆=，计算可得所求．【详解】解：把22(sin )40a a B B -+=看成关于a 的二次方程，则0∆≥，即24(sin )160B B +-≥， 即为242sin 1603B π⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化为2sin 13B π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，而2sin 13B π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 则2sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由于0B π<<，可得4333B πππ<+<， 可得32B ππ+=，即6B π=，代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，由余弦定理可得，2428cos 622c c π+-==⨯，解得：c =，111sin 2222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．故答案为【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=．（1）求n a ． （2）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.已知三棱锥P ABC -中，ABC △为等腰直角三角形，1, AB AC PB PC ====点E 为PA 中点，点D 为AC 中点，点F 为PB 上一点，且2PF FB =．（1）证明：//BD 平面CEF ；（2）若PA AC ⊥，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 26【解析】 【分析】（1）连接PD 交CE 于G 点，连接FG ，通过证//BD FG ，并说明FG ⊂平面CEF ，来证明//BD 平面CEF（2）采用建系法以AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别表示出对应的点,,,BC P E 坐标，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，结合直线对应的CE u u u r 和法向量n r，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可【详解】()1证明：如图，连接PD 交CE 于G 点，连接FG ，Q 点E 为PA 的中点，点D 为AC 的中点，∴点G 为PAC ∆的重心，则2PG GD =，2PF FB =Q ，//FG BD ∴，又FG⊂Q平面CEF，BD⊂/平面CEF，//BD∴平面CEF；()2AB AC=Q，PB PC=，PA PA=，PAB PAC∴∆≅∆，PA AC⊥Q，PA AB∴⊥，可得2PA=，又AB AC⊥Q，则以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，则()0,0,0A，()1,0,0B，()0,1,0C，()002P,,，()0,0,1E(1,1,0)BC=-u u u r，(1,0,2)BP=-u u u r，(0,1,1)CE=-u u u r．设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=r，由·0·20n BC x yn BP x z⎧=-+=⎨=-+=⎩u u u vru u u vr，取1z=，得(2,2,1)n=r．设直线CE与平面PBC所成角为θ，则2sin|cos,|23n CEθ=<>==⨯u u u rr．∴直线CE与平面PBC2．【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式sin|cos,|n CEθ=<>u u u rr使用广泛，需要识记19.在平面直角坐标系中，(2,0)A-，(2,0)B，且ABC∆满足1tan tan2A B=（1）求点C的轨迹E的方程；（2）过(2F，0)作直线MN交轨迹E于M，N两点，若MAB∆的面积是NAB∆面积的2倍，求直线MN的方程．【答案】（1）221(0)42x yy+=≠．（2）MN的方程为142x y=-【解析】【分析】（1）令(,)C x y ，则1222y y x x ⋅=--+，由此能求出点C 的轨迹方程． （2）令()()1122,,,M x y N x y，令直线:MN x my =-得()22220m y +--=，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程． 【详解】解：（1）因为1tan tan 2A B =，即直线AC,BC斜率分别为12,k k 且1212k k ⋅=-， 设点(,)C x y ，则1222y y x x ⋅=--+， 整理得221(0)42x y y +=≠.（2）令()()1122,,,M x y N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，令直线:MN x my =22142x y +=联立得()22220m y +--=，所以有12122220,,22y y y y mm -∆>+==++， 由2MAB NAB S S ∆∆=，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即7m =±． 所以直线MN 的方程为x y =- 【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用⋯⋯等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望．【答案】（1）李某月应缴纳的个税金额为2910元，（2）分布列详见解析，期望为1150元【解析】【分析】（1）分段计算个人所得税额；（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．【详解】解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元， 月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；3(990),51(1190),101(1390) ,51(1590)10P X P X P X P X ========． 所以随机变量X 的分布列为：3111E(x)9901190139015901150510510=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题． 21.已知函数1()lnxf x x+=（1）若1()f x ax x<+恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>． 【答案】（1）1(,)2e+∞（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）将原不等式转化为2ln x a x >，构造函数2ln ()xg x x =，求得()g x 的最大值即可；（2）首先通过求导判断()f x 的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数()()(2)h x f x f x =--，将问题转化为证明()0h x <，探究()h x 在区间内的最大值即可得证．【详解】解：（1）由1()f x ax x <+，即ln x ax x <， 即2ln xa x >， 令2ln (),(0)xg x x x =>，则只需max ()a g x >，312ln ()xg x x'-=，令()0g x '=，得x = ()g x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max 1()2g x g e∴==， a ∴的取值范围是1(,)2e+∞； （2）证明：不妨设'122ln ,()xx x f x x <=-， ∴当(0,1)x ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减，1(1)1,0f f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭Q ，当x →+∞时，()0f x →，1210m 1,1x x e∴<<<<<，要证122x x +>，即证212x x >-， 由211,21,()x x f x >->在(1,)+∞上单调递增，只需证明()()212f x f x <-，由()()12f x f x =，只需证明()()112f x f x <-， 令()()(2)h x f x f x =--，(0,1)x ∈， 只需证明()0h x <，易知22ln ln(2)(1)0,()()(2)(2)x x h h x f x f x x x '''-==+-=---， 由(0,1)x ∈，故22ln 0,(2)x x x -><-， 22ln ln(2)ln[(2)]()0(2)(2)x x x x h x x x '-----∴>=>--， 从而()h x 在(0,1)上单调递增，由(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x <，故122x x +>，证毕．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．（二）选考题：共10分请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22.在极坐标系中，曲线C 的方程为()2cos sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标，直线l的参数方程为2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为()20x ay a =>，直线l 的普通方程为10x y +-= ； (2) 1a =【解析】【分析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)把l 的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得12t t +=，1282t t a =+，可得到2211,,PM N MN t t t t P ===-，根据因为PM ，MN ，PN 成等比数列，列出方程，即可求解．【详解】(1)由题意，曲线C 的极坐标方程可化为()22cos sin ,0a a ρθρθ=>， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线C 的直角坐标方程为()20x ay a =>， 由直线l的参数方程为2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得10x y +-=，即直线l 的普通方程为10x y +-=；(2)把l的参数方程221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线方程中，得()()2820t t a -++=，由2280a a ∆=+>，设方程的两根分别为1t ，2t ，则120t t +=>，12820t t a =+>，可得10,t >，20t >． 所以12MN t t =-，1PM t =，2PN t =． 因为PM ，MN ，PN 成等比数列，所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，则()()2582a =+，解得解得1a =或4a =-（舍）， 所以实数1a =.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．23.设函数()22f x x x a =-+-．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）当()2f x x a =-+时，求实数x 的取值范围．【答案】(1) (][),02,-∞+∞U (2) 当4a ≤时，x 的取值范围为22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22a x ≤≤． 【解析】【分析】 （1）当1a =时，分类讨论把不等式()3f x ≥化为等价不等式组，即可求解．(2)由绝对值的三角不等式，可得()()222f x x a x x a ≥---=-+，当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，分类讨论，即可求解．【详解】（1）当1a =时，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 不等式()3f x ≥可化为33312x x -+≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或13122x x +≥⎧⎪⎨<<⎪⎩或3332x x -≥⎧⎨≥⎩ ， 解得不等式的解集为(][),02,-∞+∞U ．(2)由绝对值的三角不等式，可得()()22222f x x x a x a x x a =-+-≥---=-+， 当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，所以当4a ≤时，x 的取值范围为22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22a x ≤≤． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。