人教版数学九年级上册课件：21.2 解一元二次方程2(共29张PPT)
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新部编人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程【全套】》精品PPT优质课件
方程的两根为
x1 7 x2 1
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直
接
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
开 步 骤 (x+n)2=p (p ≥0).
平
方 法
基本思路
一 元 降次 二次
两个一 元一次
方 程 直接开平方法 方程
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
∴x1=30, x2=－30.
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 x 3 5,
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点）
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a . 3.如果 x2=64 ,则x= ±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗？
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元 一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方 程了.
x1 7 x2 1
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直
接
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
开 步 骤 (x+n)2=p (p ≥0).
平
方 法
基本思路
一 元 降次 二次
两个一 元一次
方 程 直接开平方法 方程
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
∴x1=30, x2=－30.
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 x 3 5,
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点）
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a . 3.如果 x2=64 ,则x= ±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗？
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元 一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方 程了.
人教版九年级上册数学21.2.2 解一元二次方程课件 (29张PPT)
本课小结
公式法
求根 公式
步骤
b b2 4ac x
2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）
（3）方程4x2－4x+1=0中，a= 4 ，b= -4 ， c= 1 ； b2－4ac= 0 .
课堂练习
2.解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
（4）３y2 1 2 3y.
答案:
1 x1 2; x2 4.
探究：根的判别式
已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必 有两个不相等的实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
★公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
3x2 4x 4 0 1 x2 x 1 0 x2 1 0
3
3
0
1
4
3
有两个相等 的实数根没Leabharlann 实数根有两个不相 等的实数根
根的判别式
★根的判别式使用方法
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2、计算的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
例题：公式法解方程
x
b 2a
2
人教版九年级上册数学 21.2解一元二次方程——21.2.2公式法 课件(共31张PPT)
三、合作探究，形成知识
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2-4ac≥0时，它的根是 x b b2 4ac 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
四、例题分析，综合应用
例：用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0； 解：（1）a =1，b=-4，c=-7．
方程有两个相等的实数根
x b
2
2
2．
2a 2 2 2
即
x1 x2
2． 2
当b2－4ac=0时，x1 = x2，即 方程的两根相等．
四、例题分析，综合应用
（3）5x2 3x x 1 ；
解：方程可化为 5x2－4x－1=0． a =5，b =－4，c =－1． b2－4ac = (－4) 2－4×5×(－1) = 36＞0．
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac．
三、合作探究，形成知识
三、合作探究，形成知识
归纳： 一元二次方程的根与判别式的关系： 当 Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； 当 Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当 Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
三、合作探究，形成知识
x
b 2a
只有当
2
b2
b2 4ac （Ⅱ） 4a2
当
b
2
4ac 4a2
＜0
时，
方程有实数根吗
4ac 4a2
≥0，
即
b2-4ac≥0且a≠0
时，
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
人教版九年级上册21.2.3解一元二次方程---因式分解法 课件(共19张PPT)
2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，
人教版初中数学课标版九年级上册21.2解一元二次方程(共20张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
51
5
②
x1x2
b7 a3
x1x2
c93 a3
我能行1
例1、根据一元二次方程根与系数的关系，求下 列方程两根的和与积
① x26x15 0 ② 3x27x90 ③ 5x14x2
解：③ 原方程可化为：4x25x10
b 5 5 x1x2a44
x1
x2
c a
1 4
1、不解方程，求下列方程两根的和与积
(1)x2 3x15
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》PPT课件
面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
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你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程
消元 一元一次方程
降次
思考：如何解一元二次方程．
2．推导求根公式
问题2 解方程 x2 = 25，依据是什么？ 解得 x1 = 5，x2 = - 5． 平方根的意义 请解下列方程： x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
x2 + 6x = -4 ③
两边加 9
9，即（
6 2
）2 = 3 2 = 9
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项 系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
2．推导求根公式
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？
x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
4．归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为（x + n）2 = p 的形式，运用开平方法， 降次求解． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? （3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题?
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都可以 转化为一般形式
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 你能用配方法得出它的解吗？
2．推导求根公式
此时可以用开平方法求解吗？
（x2ba） 2 b24a42ac
xb 2a
b2 4ac 4a2
xb b24ac
2a
2a
xbb 24 a c bb 24 ac
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以 上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全
身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕
像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
A
解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
C
x2=2（2-x），
整理得 x2 + 2x - 4 = 0．
B
1．创设情境，导入新知
怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？
怎样把方
解：
移项
程①化成方程
x2 + 6x = -4 ③
②的形式呢？
两边加 9 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 左边写成平方形式
怎样保证 变形的正确性 呢？
即 （x + 3）2 = 5 由此可得…
2．推导求根公式
回顾解方程 x2 + 6x + 4 = 0 过程：
21.2 解一元二次方程
• 学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况；
3．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元 二次方程；
• 学习重点： 解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）的形 式； （5）用直接开平方法求得方程的解．
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
2．推导求根公式
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）移项； （2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
3．归纳配方法解方程的步骤
问题5 通过解方程 x2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程 是怎样解的？
结构特征：方程可化成（x + n）2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
结构特征：方程可化成 x2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
平方根 的意义
降次
x p
问题3 解方程：（x + 3）2= 5．
2．推导求根公式
问题4 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ①？
x2 + 6x + 9 = 5 ② （x + 3）2 = 5
2．推导求根公式
试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较，
平方根 的意义 降次
xn p
3．归纳配方法解方程的步骤
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为（x + n）2 = p 的形式，运用开平方法， 降次求解． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
3．归纳配方法解方程的步骤
解一元二 次方程的一般 步骤：
x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = -4
当 b2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实根； 当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根； 当 b2 - 4ac＜0 时，方程没有实根.
3．归纳公式法解方程的步骤
例1 用公式法解下列方程： （1） x2 - 4x - 7 = 0； （2）2 x 2 22 x 1 0 ； （3）5x2 - 3x = x + 1； （4）x2 + 17 = 8x．
2 a 2 a
2 a
2．推导求根公式
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根 由方程的系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程的根：
xb b24ac 2a
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
2．推导求根公式
你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过 程中要注意那些问题？
3．归纳公式法解方程的步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
4．练习巩固公式法
回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x2 + 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程：
（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部 应是多少？4 m 呢？
二元、三元 一次方程组
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程
消元 一元一次方程
降次
思考：如何解一元二次方程．
2．推导求根公式
问题2 解方程 x2 = 25，依据是什么？ 解得 x1 = 5，x2 = - 5． 平方根的意义 请解下列方程： x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
x2 + 6x = -4 ③
两边加 9
9，即（
6 2
）2 = 3 2 = 9
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项 系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
2．推导求根公式
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？
x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
4．归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为（x + n）2 = p 的形式，运用开平方法， 降次求解． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? （3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题?
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都可以 转化为一般形式
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 你能用配方法得出它的解吗？
2．推导求根公式
此时可以用开平方法求解吗？
（x2ba） 2 b24a42ac
xb 2a
b2 4ac 4a2
xb b24ac
2a
2a
xbb 24 a c bb 24 ac
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以 上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全
身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕
像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
A
解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
C
x2=2（2-x），
整理得 x2 + 2x - 4 = 0．
B
1．创设情境，导入新知
怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？
怎样把方
解：
移项
程①化成方程
x2 + 6x = -4 ③
②的形式呢？
两边加 9 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 左边写成平方形式
怎样保证 变形的正确性 呢？
即 （x + 3）2 = 5 由此可得…
2．推导求根公式
回顾解方程 x2 + 6x + 4 = 0 过程：
21.2 解一元二次方程
• 学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况；
3．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元 二次方程；
• 学习重点： 解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）的形 式； （5）用直接开平方法求得方程的解．
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
2．推导求根公式
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）移项； （2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
3．归纳配方法解方程的步骤
问题5 通过解方程 x2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程 是怎样解的？
结构特征：方程可化成（x + n）2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
结构特征：方程可化成 x2 = p 的形式，
（当 p≥0 时）
平方根 的意义
降次
x p
问题3 解方程：（x + 3）2= 5．
2．推导求根公式
问题4 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ①？
x2 + 6x + 9 = 5 ② （x + 3）2 = 5
2．推导求根公式
试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较，
平方根 的意义 降次
xn p
3．归纳配方法解方程的步骤
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为（x + n）2 = p 的形式，运用开平方法， 降次求解． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
3．归纳配方法解方程的步骤
解一元二 次方程的一般 步骤：
x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = -4
当 b2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实根； 当 b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根； 当 b2 - 4ac＜0 时，方程没有实根.
3．归纳公式法解方程的步骤
例1 用公式法解下列方程： （1） x2 - 4x - 7 = 0； （2）2 x 2 22 x 1 0 ； （3）5x2 - 3x = x + 1； （4）x2 + 17 = 8x．
2 a 2 a
2 a
2．推导求根公式
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根 由方程的系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程的根：
xb b24ac 2a
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
2．推导求根公式
你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过 程中要注意那些问题？
3．归纳公式法解方程的步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
4．练习巩固公式法
回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x2 + 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程：
（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部 应是多少？4 m 呢？