1.1《矩形的性质与判定》
1.1矩形的性质和判定教案：2021-2022学年九年级数学北师大版上册
本节课核心素养目标为：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作矩形模型，让学生形成对矩形的直观认识，理解矩形的性质及其判定方法，提高空间想象力和几何直观能力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在学习矩形性质和判定过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握从特殊到一般、从具体到抽象的推理方法。
1.教学重点
-矩形的定义：确保学生理解矩形作为平行四边形特殊类型的本质特征，即四个角都是直角。
-矩形的性质：包括对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分且相等。这些性质是解决矩形相关问题的关键。
-矩形的判定方法：掌握至少三种判定矩形的方法，能够识别并证明一个图形是矩形。
-矩形的应用：能够将矩形的性质和判定方法应用于解决实际问题，如计算矩形的面积和周长。
2.矩形的判定方法：
-若一个四边形的对角线互相平分且相等，则该四边形为矩形。
-若一个四边形有一个角为直角且对边相等，则该四边形为矩形。
-若一个四边形的对边平行且相等，则该四边形为矩形。
3.矩形的应用：
-利用矩形的性质解决实际问题，如计算矩形的面积和周长。
-利用矩形的判定方法判断给定图形是否为矩形。
二、核心素养目标
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的性质和判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过长方形或正方形的物品？”（如书本、桌面等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的性质和判定的奥秘。
五、教学反思
在本次《矩形的性质和判定》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的地方。首先，我发现学生们在理解矩形对角线性质这一部分内容时，普遍存在一定的难度。这让我意识到，对于这类几何性质的教学，需要更多实际操作和动态演示来帮助学生形象地理解。
矩形的性质和判定公开课教案
矩形的性质和判定公开课教案第一章：矩形的定义和性质1.1 矩形的定义介绍矩形的定义：矩形是一个四边形，其中所有内角都是直角。
通过图形和实际例子来说明矩形的特征。
1.2 矩形的性质矩形的对边相等：解释并证明矩形的对边长度相等。
矩形的对角相等：解释并证明矩形的对角线相等。
矩形的对边平行：解释并证明矩形的对边互相平行。
第二章：矩形的判定2.1 判定一个四边形为矩形的条件介绍判定一个四边形为矩形的条件：所有内角都是直角。
通过图形和证明来说明如何判断一个四边形是矩形。
2.2 判定矩形的特殊情况介绍特殊情况下矩形的判定：正方形和长方形。
解释正方形和长方形的性质，并说明它们是矩形的特殊情况。
第三章：矩形的对称性3.1 矩形的轴对称性介绍矩形的轴对称性：矩形关于其对角线对称。
通过图形和实际例子来说明矩形的轴对称性。
3.2 矩形的中心对称性介绍矩形的中心对称性：矩形关于其中心对称。
通过图形和实际例子来说明矩形的中心对称性。
第四章：矩形的面积和周长4.1 矩形的面积介绍矩形的面积公式：面积= 长×宽。
通过例题和练习来说明如何计算矩形的面积。
4.2 矩形的周长介绍矩形的周长公式：周长= 2 ×(长+ 宽)。
通过例题和练习来说明如何计算矩形的周长。
第五章：矩形的应用5.1 矩形在几何图形中的应用介绍矩形在几何图形中的应用：例如，矩形可以用来构造平行四边形和其他多边形。
通过例题和练习来说明矩形在几何图形中的应用。
5.2 矩形在日常生活中的应用介绍矩形在日常生活中的应用：例如，矩形可以用来设计图形、计算面积等。
通过实际例子来说明矩形在日常生活中的应用。
第六章：矩形的对角线性质6.1 矩形对角线的长度介绍矩形对角线的长度性质：矩形的对角线相等。
通过图形和证明来说明矩形对角线的长度性质。
6.2 矩形对角线的交点介绍矩形对角线的交点性质：矩形的对角线交于一点，即对角线的中点重合。
通过图形和证明来说明矩形对角线的交点性质。
矩形的性质与判定(一)
O B C
练 习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积.
第七环节：反思交流，反馈提高
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质 （4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等 的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全 等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直 角三角形或等腰三角形的问题来解决。
矩形的定义：有一个内角是直角的平行 四边形是矩形
第二环节：分组讨论，探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有 平行四边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线
对称 性
中心 对边平行 对角线互 矩形 对角相等 对称 且相等 相平分 图形
结论 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
第一章
特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定（一）
第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
问题2：利用一个活动的平行四边形教具 演示,使平行四边形的一个内角变化， 请同学们注意观察：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的 平行四边形是什么图形?
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条 对角线的一个交角为120°，则矩形的长和 宽分别为 _____。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质和判定
矩形旳特征 ：
(1) 矩形旳四个角都是直角； (2) 矩形旳对角线相等。
范例讲解
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例1、如图，矩形ABCD旳两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线旳长。
解：∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ AC=BD
且 OA= 1 AC，OD= 1 BD
D
2
求证：△ABC是直角三角形。
O
证明：延长BO至D，使OD=OB。
∵OB为中线
B
C
∴OA=OC
中线加倍法
∴四边形ABCD是平行四边形 ∵OB= 1 AC
2
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴△ABC是直角三角形
巩固练习
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
1、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于
一种内角为直角
平行四边形
一种内角为直角
矩形
新知归纳
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
矩形旳定义 ： 有一种内角是直角旳平行四边形叫做矩形。
A
D
A 一种内角
D
是直角
B
C
B
C
合作交流
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ⅰ、矩形是特殊旳平行四边形，它具有一般平行四边形 旳全部性质，你能列举某些这么旳性质吗？
点O，AB=6，OA=4，求BD与AD旳长.
A
D
O
B
C
巩固练习
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
2、一种矩形旳对角线长6cm，对角线与另一边旳夹角 是45°，求这个矩形旳各边长.
矩形的性质与判定(第一课时)(无答案)
阅读教材P11～13，完成以下效果：
(一)知识探求
1．有______________的平行四边形叫做矩形．
2．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质．
3．矩形的________都是直角．
4．矩形的对角线________．
5.矩形的对称性：既是_________对称图形；又是__________对称图形，有_______条对称轴
第一章矩形的性质与判定（第一课时）（无答案）
课题：1.1 矩形的性质与判定〔第一课时〕
★学习目的★
1．掌握矩形的定义，了解矩形与平行四边形的关系．
2．了解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理停止推导证明．(重点)
3．会初步运用矩形的定义、性质来处置有关效果，进一步培育先生的剖析才干．(难点)
★学习进程★
C．∠AED＝90° D．AC＝2DE
6．在直角三角形中，两条直角边的长区分为12和5，那么斜边上的中线长为________．
7．矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60°，那么矩形的宽为________cm.
8.矩形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，区分交AD，BC于点E，F，那么AE的长为_________cm.
（2）BE与AC有怎样的关系？
（3）由上述关系你能失掉什么结论？
【新知归结3】
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【协作交流3】
你能写出〝直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〞的逆命题吗？
※典型范例※
例1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.
矩形的性质与判定-应用课件
根据对角线判定
总结词
矩形的对角线相等且互相平分。
详细描述
根据矩形的性质，我们知道矩形的对角线不仅相等，而且互相平分。因此，如 果一个四边形的对角线相等且互相平分，那么这个四边形就是矩形。
根据四边判定
总结词
如果一个四边形的两组对边分别平行且等长，则这个四边形 是矩形。
详细描述
如果一个四边形的两组对边分别平行且等长，那么这个四边 形就是矩形。这是因为矩形的定义和对角线的性质可以证明 这种四边形是矩形。
在日常生活中的应用
矩形在日常生活中的应用非常广泛
在日常生活中，矩形随处可见。例如，家具的形状、门窗的设计、书架的排列等都采用了矩形的形状 。这主要是因为矩形具有易于制作、方便使用等优点。
矩形的判定在日常生活中的应用
在日常生活中，我们常常需要根据一些条件判断一个图形是否为矩形。例如，在装修时需要判断一块 木板是否为矩形；在制作纸箱时需要判断纸箱的侧面是否为矩形。掌握矩形的判定方法可以帮助我们 更好地解决这些问题。
对边性质
对边平行
矩形的两组对边分别平行。
对边相等
矩形两组对边长度相等。
对边平行且相等
矩形的两组对边平行且长度相等。
角性质
01
02
03
四个角都是直角
矩形四个内角都是直角， 每个角为90度。
相对角相等
矩形相对的两个角大小相 等。
邻角互补
矩形相邻的两个角之和为 180度。
面积与周长
面积计算公式
矩形面积 = 长 × 宽。
VS
详细描述
矩形也是菱形的一个子集，它具有菱形的 所有性质，如四边相等、对角线互相垂直 且平分对方等。与菱形不同的是，矩形的 四个角都是直角。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定矩形作为数学中重要的几何概念之一，具有独特的性质和判定方法。
本文将结合图示，讨论矩形的性质及相关的判定方法。
1. 矩形的定义矩形是由四条相交于直角的直线段所形成的四边形。
具体而言，矩形的对边平行且相等，且相邻边相交成直角。
如下图所示：（图1：矩形示例）2. 矩形的性质2.1 对角线相等在矩形中，对角线相等。
如下图所示：（图2：矩形对角线示例）证明：设ABCD为矩形的四个顶点，连接AC和BD两条对角线。
由于矩形的性质，可知AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等。
根据平行线性质，我们可以得知△ABD与△CDB是全等三角形，进而可以得到AC与BD相等。
2.2 内角和为360度矩形的内角和为360度。
由于矩形的性质，相邻两条边垂直，因此内角和为4个直角，即360度。
2.3 任意一边都是矩形的对角线的一半在矩形中，任意一边都是矩形的对角线的一半。
如下图所示：（图3：矩形边与对角线示例）证明：设AD为矩形的一条边，连接AC和BD两条对角线。
由于矩形的性质，可知△ABC与△CDA是全等三角形，进而可以得到AC与AD相等。
同理，可以得到△ACD与△CDB是全等三角形，进而可以得到BD与AD相等。
因此，AD即为矩形的对角线AC和BD的一半。
3. 矩形的判定方法3.1 边长相等且相邻边垂直通过观察边长和相邻边的垂直关系，可以判断一个四边形是否为矩形。
若四边形的边长相等且相邻边垂直，则可以确定该四边形是矩形。
3.2 对角线相等且相交于中点如果一个四边形的对角线相等且相交于对角线的中点，那么可以判断该四边形是矩形。
因为只有矩形的对角线相等且相交于对角线的中点。
3.3 两组对边平行且相等四边形的两组对边平行且相等，即可判断该四边形是矩形。
根据矩形性质的定义，只有矩形满足这个条件。
4. 结论综上所述，矩形具有对角线相等、内角和为360度、任意一边都是对角线的一半等性质。
判定一个四边形为矩形的方法通过边长相等且相邻边垂直、对角线相等且相交于中点、两组对边平行且相等等方法进行判断。
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1.2矩形的判定和性质（一）
学习目标:
1、掌握矩形的定义和性质;
2、学会判定矩形;
3、平行四边形和矩形的区别和联系;
新知学习 复习；菱形的性质和判定 性质: 判定:
、矩形的定义 如图，如果一个平行四边形有一个角是直角， 那么这个平行四边形会有怎样的变
化？
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
二、矩形的性质。
矩形具有平行四边形的所有性质。
请结合着平行四边形的性质请你探索矩形的性质， 你可以写出几条，会证明吗?
边的性质：对边平行且相等.
角的性质：四个角都是直角.
对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 组对边
分另U 平
矩形的性质：
对角线性质：对角线互相平分且相等.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形中，30 °角所对的边等于斜边的一半 D
C
矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直 线。
练习:
(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是(
例题精讲
【例1】、1如图，矩形 ABCD 中，AC 与BD 交于点0, BE 丄AC 于
丄BD 于F . (1) 线段BE 与CF 相等吗？请说明理由；
(2) 当 AB=2, / AOB=6° 时，求 BE 的值.
A 、对边相等
B 、对角相等
C 、对角线相等
D 、对边平行
⑵矩形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于0,/A0B = 60°
AC = 10cm ，贝U AB cm BC =
cm. (3) 在△ABC 中，/ C = 90° AC = 5, BC = 3,则 AB 边上的中线 CD
= (4) 2 2 3(5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿 AE 向上折叠，使 点B 落在DC 边上的F 点处.若△AFD 的周长为9, AECF 的周长为3,则矩
形ABCD 的周长为
⑹矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和 是86cm ,对角线是13cm ,那么矩形的周长是
(7)如图，矩形 ABCD 中，E 是BC 的中点，且/ AED=90 .当AD=10cm 时, AB 等于( )
B. 5 匚572
(8)如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ ,那么图中矩形 AMRP 的面积S 1,与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是
( )
A. S 1>
B. S i = S 2
C. S i < S 2
D.不能确定 E ，CF
2.已知：如图，矩形 ABCD , AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长.
3■如图，点E 是矩形ABCD 中BC 边上一点，AE=AD ,过点D 作DF 丄AE 于F , 连接DE ，求证：DF=DC.
课后练习
周长为
2、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3和5两部分，则该矩形的周长是
3、形的两条对角线的夹角是 60° 一条对角线与矩形短边的和为 15,那么矩形 对角线的长为 ____________ ，短边长为 _______ .
4、 一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为 ____________________
5、 在△ABC 中，AM 是中线，N B AC= 90°, AB=6cm , AC=8cm ，那么 AM 的
4如图，四边形 ABCD 为矩形，
长线于点G , DE 丄AG ,垂足为
F 为BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延 E , DE = DC .求证：AF=BC 1、已知矩形的一条对角线长是 8cm ,两条对角线的一个交角为 60°则矩形的
D
长为
6、如图所示，将△ABC 绕AC 的中点0顺时针旋转180°得到MDA ,添加一个 DE 和BF ，分别取 DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，
BC= 3逅，则图中阴影部分的面积为 ____________ 。
8、如图所示，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C 的位置，旋转角 为 a (00 " <900)若 4 =1100，则 a =( )
9、(黑龙江)如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4,如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是
10、菱形具有而矩形不一定具有的性质是(
，使四边形ABCD 为矩形。
7、( 2013江西)如图，矩形 ABCD 中，点
E 、
F 分别是 AB 、CD 的中点，连接
CN ，MN ，若 AB=4, A 、 20°
B 、 30°
40° 50° A 、对角线互相垂直
B 、对角线相等
C 、对角线互相平分
D 、对
第12题
条件 D
F 3
©
D
A E 角互补 第11题
11、如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，
AB=10cm，按如图的方式折叠, 使点B与点D重合.折痕为EF，则DE长为
12、图所示，矩形ABCD 中，AE 丄BD 于E，/ BAE=30，BE=1cm，那么DE
的长为。