北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)文科数学试题

东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学（文科） 2013.3命题学校：北京五十五中学学校： 班级： 姓名： 成绩：一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合{}1>=x x P ，{}02>-=x x x Q ，则下列结论中正确的是A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆2.若复数z 满足()i i i +=-2z （i 为虚数单位），则z 等于 A.i --1B.i -1C.i 31+-D.i 21-3.“1=m ”是“直线0=-y x 和直线0=+my x 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱 柱的体积为 A.4 B.29 C.5D.2115.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若C c B b A a sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定6.若定义域为R 的函数()x f 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是 A.()()x f x f x -≠-∈∀,R B.()()x f x f x =-∈∀,R C.()()000,x f x f x =-∈∃R D.()()000,x f x f x -≠-∈∃R7.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤1,0,1x y x y 表示的平面区域为Ω，不等式组⎩⎨⎧≥+-≤0,1y x y 表示的平面区域为M .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为 A.21 B.31 C.41 D.328.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标为()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a A.208 B.212 C.216D.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.已知32sin =α，则()απ2cos -的值等于_______________.10.已知2,1==b a ，且b a +与a 垂直，则向量a 与b 的夹角大小是___________. 11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 的值是___________． 12.设函数()⎩⎨⎧>+-≤-=,1,34,1,442x x x x x x f 则函数()()x x f x g 4log -=的零点个数为_____________.13.若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为_______________.14.对于函数()x f ，若存在区间[])(,b a b a M <=，使得(){}MM x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的一个“稳定区间”.给出下列三个函数：①()3x x f =；②()x x f 2cosπ=；③()x e x f =.其中存在稳定区间的函数有_________________.（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题共13分）已知函数()())2,0,0(sinπϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）求函数A nD nB nO xy C n())44cos(2ππ++=x x f y ])32,6[(--∈x 的最大值和最小值．16.（本小题共13分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别 候车时间人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五[20,25]1（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．17.（本小题共13分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥AD 平面ABE ，2==BE AE ，22=AB . （Ⅰ）求证：CE AE ⊥；（Ⅱ）设M 是线段AB 的中点，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 平面ADE .18.（本小题共13分）MCABED已知函数)(ln )(22R ∈+-=a ax x a x x f . （Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离等于3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在经过点)23,0(Q ，斜率为k 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,，并且BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由．20.（本小题共14分）已知函数()x x x f +=2，当)](1,[+∈+∈N n n n x 时，()x f 的值中所有整数值的个数记为()n g .（Ⅰ）求()2g 的值，并求()n g 的表达式；（Ⅱ）设())(3223+∈+=N n n g n n a n ，求数列{}n n a 1)1(--的前n 项和n T ；（Ⅲ）设()nn n g b 2=，)(21+∈+++=N n b b b S n n ，若对任意的+∈N n ，都有)(Z ∈<L L S n 成立，求L 的最小值.东城区普通高中示范校高三综合练习（二） 高三数学（文科）答题纸 2013,3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9._____________ 10.______________ 11.____________ 12.____________ 13.______________ 14.____________ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）（Ⅰ）： 成绩：…O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O（Ⅱ）16.（本小题共13分）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）17.（本小题共13分）（Ⅰ）（Ⅱ）MC ABE D姓名： 学号： 成绩：……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O18.（本小题共13分）（Ⅰ）（Ⅱ）19.（本小题共14分） （Ⅰ）（Ⅱ）班级： 姓名： 学号： 成绩：……O ……密……O ……封……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O20.（本小题共14分）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）B （6）D （7）A （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）91-（10）32π （11）4（12）3 （13）23 （14）①②三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）解：（Ⅰ）由图可知：2=A ，-------------------------------1分最小正周期82==ωπT ，所以4πω=.----------------------2分 2)1(=f ，即1)4sin(=+ϕπ，又2πϕ<，所以4πϕ=.--------5分 所以)44sin(2)(ππ+=x x f .---------------------------------6分 （Ⅱ）)44cos(2)44sin(2)44cos(2)(ππππππ+++=++=x x x x f yx 4cos22π=.--------------------------------------------9分 由326-≤≤-x 得6423πππ-≤≤-x ，-----------------------11分所以，当ππ-=x 4，即4-=x 时，y 取最小值22-；--------12分当64ππ-=x ，即32-=x 时，y 取最大值6.----------------13分16.（共13分）解：（Ⅰ）由图表得：1515.221525.171545.121565.71525.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.10=，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于3215860=⨯.------6分（Ⅲ）设第三组的乘客为d c b a ,,,，第四组的乘客为f e ,，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A .-------------------------------------7分所得基本事件共有15种，即),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(d b c b f a e a d a b a c a),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(f e f d e d f c e c d c f b e b ，--------------10分其中事件A 包含基本事件8种，由古典概型可得158)(=A P ，即所求概率等于158.--------------------------------------------------------13分17.（共13分）证明：（Ⅰ）∵22,2===AB EB AE ， ∴222AB BE AE =+，∴BE AE ⊥.----------------------2分 ∵⊥AD 平面ABE ，∴AE AD ⊥，又AD BC //，∴AE BC ⊥，---------------------4分 又E BE BC =⋂， ∴⊥AE 平面BCE ，∴CE AE ⊥.----------------------6分（Ⅱ）设BE 的中点为F ，CE 的中点为N ，连接NF MF MN ,,，----7分 又M 是AB 的中点，∴AE MF //，AD BC NF ////.∵⊄MF 平面ADE ，⊂AE 平面ADE ，∴//MF 平面ADE .-----------------------------9分 同理可证//NF 平面ADE ， 又F NF MF =⋂，∴平面//MNF 平面ADE ，∴//MN 平面ADE .----------------------------12分 所以，当N 为CE 中点时，//MN 平面ADE .------13分 18.（共13分）解：（Ⅰ）当1=a 时，)0(ln )(2>+-=x x x x x f ，xx x x xx f )1)(12(121)('-+=+-=.----------------------------2分由0)('=x f 得21-=x （舍）或1=x .---------------------------3分当10<<x 时，0)('>x f ，当1>x 时，0)('<x f ，所以，当1=x 时，)(x f 取极大值0)1(=f ，)(x f 无极小值.-------6分 （Ⅱ）)0()1)(12()('>-+=x xax ax x f ，------------------------8分当0=a 时，在区间),0(+∞上0)('>x f ，所以)(x f 的增区间是),0(+∞；-------------9分NFMCAB ED当0≠a 时，由0)('=x f 得ax 21-=或ax 1=.当0>a 时，在区间)1,0(a上0)('>x f ，在区间),1(+∞a上0)('<x f ， 所以)(x f 的增区间是)1,0(a，减区间是),1(+∞a；----------------11分当0<a 时，在区间)21,0(a-上0)('>x f ，在区间),21(+∞-a上0)('<x f ，所以)(x f 的增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a.------------13分19.（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by ax ，其右焦点的坐标为)0)(0,(>c c .由已知得1=b .由3222=+c 得2=c ，所以3222=+=c b a .----4分所以，椭圆C 的方程为1322=+yx.-------------------------------5分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l ，设),(),,(,23:2211y x N y x M kx y l +=，MN 的中点为P .---------------------------------------------6分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=13,2322y x kx y 得04159)13(22=+++kx x k ，------------------8分 则139221+-=+kk x x ，且由0>∆得1252>k .------------------10分由BN BM =得MN BP ⊥，所以1-=⋅k k BP ，----------------11分 即12122121-=⋅+++k x x y y ，所以，122522121-=⋅+++⋅k x x x x k ，将139221+-=+kk x x 代入解得125322>=k，所以36±=k .--------------------------------------------13分故存在满足条件的直线，其方程为2336+±=x y .-------------14分【注】其它解法酌情给分.20.（共14分）解：（Ⅰ）当2=n 时，)(x f 在]3,2[上递增，所以，12)(6≤≤x f ，7)2(=g .----------------------------2分 因为)(x f 在)](1,[+∈+N n n n 上单调递增，所以，23)1()1()(222++=+++≤≤+n n n n x f n n ，从而321)()23()(22+=++-++=n n n n n n g .------------------4分（Ⅱ）因为223233232)(32n n n n n g n n a n =++=+=，-------------------5分所以n n n a a a a a T 14321)1(--++-+-=212222)1(4321n n --++-+-= .----------------------------6分当n 是偶数时，])1[()43()21(222222n n T n --++-+-= -----7分2)1(])1(4321[+-=+-+++++-=n n n n ；-----------------8分当n 是奇数时，2222222])1()2[()43()21(n n n T n +---++-+-==2)1(+n n .--------------------------------------------------10分（Ⅲ）nnn n n g b 2322)(+==，-----------------------------------11分nn n n n S 232212272512++++++=- ，122322122521++++++=n nn n n S ，错位相减得112232)212121(2521+-+-++++=n n n n S ，-----------12分所以，n n n S 2727+-=.---------------------------------------13分因为72727<+-=nn n S ,若对任意的+∈N n ，都有)(Z ∈<L L S n 成立，则7≥L ，所以，L 的最小值为7.----------------------------------------14分。